Skaičių sistemos – kas tai? Net ir nežinodami atsakymo į šį klausimą, kiekvienas iš mūsų gyvenime nevalingai naudojamės skaičių sistemomis ir to neįtariame. Teisingai, daugiskaita! Tai yra, ne vienas, o keli. Prieš pateikdami nepozicinių skaičių sistemų pavyzdžius, supraskime šią problemą, taip pat pakalbėkime apie padėties sistemas.
Reikalinga sąskaita faktūra
Nuo senų senovės žmonės turėjo poreikį skaičiuoti, tai yra, jie intuityviai suvokė, kad reikia kažkaip išreikšti kiekybinę dalykų ir įvykių viziją. Smegenys pasiūlė, kad skaičiavimui reikia naudoti daiktus. Pirštai visada buvo patogiausi, ir tai suprantama, nes jie visada yra prieinami (su retomis išimtimis).
Taigi senovės žmonių giminės atstovai turėjo sulenkti pirštus tiesiogine prasme – pavyzdžiui, nurodyti nužudytų mamutų skaičių. Tokie paskyros elementai dar neturėjo pavadinimų, o tik vaizdinį vaizdą, palyginimą.
Šiuolaikinės pozicinių skaičių sistemos
Skaičių sistema yra kiekybinių reikšmių ir dydžių atvaizdavimo metodas (būdas), naudojant tam tikrus ženklus (simbolius ar raides).
Prieš pateikiant nepozicinių skaičių sistemų pavyzdžius, būtina suprasti, kas skaičiuojant yra pozicinis ir nepozicinis. Yra daug pozicinių skaičių sistemų. Dabar įvairiose žinių srityse naudojami šie: dvejetainis (apima tik du reikšmingus elementus: 0 ir 1), šešioliktainis (simbolių skaičius - 6), aštuntainis (simbolių - 8), dvylikadienis (dvylika simbolių), šešioliktainis (apima šešiolika personažai). Be to, kiekviena simbolių eilutė sistemose prasideda nuo nulio. Šiuolaikinės kompiuterinės technologijos yra pagrįstos dvejetainių kodų – dvejetainių pozicinių skaičių sistemos – naudojimu.
Dešimtainė skaičių sistema
Pozicionalumas – tai įvairaus laipsnio reikšmingų pozicijų, ant kurių yra skaičiaus ženklai, buvimas. Tai geriausiai galima parodyti naudojant dešimtainių skaičių sistemos pavyzdį. Juk mes įpratę jį naudoti nuo vaikystės. Šioje sistemoje yra dešimt ženklų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Paimkite skaičių 327. Jame yra trys ženklai: 3, 2, 7. Kiekvienas iš jų yra savo poziciją (vietą). Septyni užima atskiroms reikšmėms (vienetams) skirtą poziciją, du - dešimtys, o trys - šimtai. Kadangi skaičius yra triženklis, jame yra tik trys pozicijos.
Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, taitriženklį dešimtainį skaičių galima apibūdinti taip: trys šimtai, dvi dešimtys ir septyni vienetai. Be to, pozicijų reikšmingumas (svarbumas) skaičiuojamas iš kairės į dešinę, nuo silpnos pozicijos (viena) iki stipresnės (šimtai).
Labai patogiai jaučiamės dešimtainių pozicinių skaičių sistemoje. Mes turime dešimt pirštų ant rankų ir tiek pat ant kojų. Penki plius penki – taigi pirštų dėka iš vaikystės nesunkiai įsivaizduojame tuziną. Štai kodėl vaikams lengva išmokti penkių ir dešimties daugybos lenteles. Be to, taip lengva išmokti skaičiuoti banknotus, kurie dažniausiai yra kartotiniai (ty dalijami be liekanos) iš penkių ir dešimt.
Kitos pozicinių skaičių sistemos
Daugelio nuostabai, reikėtų pasakyti, kad mūsų smegenys yra įpratusios atlikti kai kuriuos skaičiavimus ne tik dešimtainėje skaičiavimo sistemoje. Iki šiol žmonija naudojo šešių ir dvyliktainių skaičių sistemas. Tai reiškia, kad tokioje sistemoje yra tik šeši simboliai (šešioliktaine): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Dvylikadienyje jų yra dvylika: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kur A – reiškia skaičių 10, B – skaičių 11 (nes ženklas turi būti vienas).
Spręskite patys. Mes laiką skaičiuojame šešiese, ar ne? Viena valanda – šešiasdešimt minučių (šešios dešimtys), viena diena – dvidešimt keturios valandos (du kartus dvylika), metai – dvylika mėnesių ir taip toliau… Visi laiko intervalai nesunkiai telpa į šešių ir dvylikadienių eilutes. Bet mes taip įpratę, kad net nesusimąstome skaičiuodami laiką.
Nepozicinės skaičių sistemos. Unary
Būtina apibrėžti, kas tai yra – nepozicinė skaičių sistema. Tai tokia ženklų sistema, kurioje skaičiaus ženklų pozicijų nėra arba skaičiaus „skaitymo“principas nepriklauso nuo padėties. Ji taip pat turi savo rašymo ar skaičiavimo taisykles.
Pateikime nepozicinių skaičių sistemų pavyzdžių. Grįžkime į senovę. Žmonėms prireikė paskyros ir jie sugalvojo paprasčiausią išradimą – mazgus. Nepozicinė skaičių sistema yra mazginė. Pavyzdžiui, perkant ar parduodant buvo suskaičiuota viena prekė (ryžių maišelis, jautis, šieno kupeta ir kt.) ir užrištas mazgas ant virvelės.
Dėl to ant virvės buvo padaryta tiek mazgų, kiek nupirkta maišų ryžių (pavyzdžiui). Bet tai gali būti ir įpjovos ant medinio pagaliuko, akmens plokštės ir pan. Tokia skaičių sistema tapo žinoma kaip mazginė. Ji turi antrą vardą – unary arba viengungis ("uno" lotyniškai reiškia "vienas").
Akivaizdu, kad ši skaičių sistema yra nepozicinė. Juk apie kokias pozicijas galima kalbėti, kai tai (pareigos) yra tik viena! Kaip bebūtų keista, kai kuriose Žemės dalyse vis dar naudojama vienkartinė nepozicinė skaičių sistema.
Be to, nepozicinės skaičių sistemos apima:
- Romaniškas (raidės naudojamos skaičiams rašyti – lotyniški simboliai);
- senovės egiptiečių (panašiai į romėnišką, taip pat buvo naudojami simboliai);
- abėcėlė (naudotos abėcėlės raidės);
- Babiloniečių (dantiraštis – vartojamas tiesiogiai irapverstas "pleištas");
- Graikų (taip pat vadinama abėcėle).
Romėniškų skaičių sistema
Senovės Romos imperija, kaip ir jos mokslas, buvo labai progresyvi. Romėnai davė pasauliui daug naudingų mokslo ir meno išradimų, įskaitant jų skaičiavimo sistemą. Prieš du šimtus metų verslo dokumentuose sumoms žymėti buvo naudojami romėniški skaitmenys (taip buvo išvengta padirbinėjimo).
Romėniškas numeravimas yra nepozicinės skaičių sistemos pavyzdys, dabar tai žinome. Taip pat aktyviai naudojama romėniška sistema, bet ne matematiniams skaičiavimams, o siauriems veiksmams. Pavyzdžiui, naudojant romėniškus skaičius, knygų leidiniuose įprasta žymėti istorines datas, šimtmečius, tomų numerius, skyrius ir skyrius. Romėniški ženklai dažnai naudojami papuošti laikrodžių ciferblatus. Be to, romėniškas numeravimas yra nepozicinės skaičių sistemos pavyzdys.
Romėnai skaičius žymėjo lotyniškomis raidėmis. Be to, jie užrašė skaičius pagal tam tikras taisykles. Yra romėniškų skaičių sistemos pagrindinių simbolių sąrašas, kurio pagalba buvo rašomi visi be išimties skaičiai.
| Skaičius (dešimtainis) | romėniškas skaitmuo (lotyniškos abėcėlės raidė) |
| 1 | Aš |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Skaičių komponavimo taisyklės
Reikalingas skaičius gautas sudėjus ženklus (lotyniškas raides) ir apskaičiavus jų sumą. Panagrinėkime, kaip simboliai rašomi ženklai romėnų sistemoje ir kaip juos reikėtų „skaityti“. Išvardinkime pagrindinius skaičių formavimosi dėsnius romėniškoje nepozicinių skaičių sistemoje.
- Skaičius keturi – IV susideda iš dviejų simbolių (I, V – vienas ir penki). Jis gaunamas atimant mažesnį ženklą iš didesnio, jei jis yra kairėje. Kai mažesnis ženklas yra dešinėje, reikia pridėti, tada gausite skaičių šeši - VI.
- Būtina pridėti du identiškus ženklus vienas šalia kito. Pavyzdžiui: SS yra 200 (C yra 100) arba XX yra 20.
- Jei pirmasis skaičiaus ženklas yra mažesnis nei antrasis, tada trečiasis simbolis šioje eilutėje gali būti simbolis, kurio reikšmė yra net mažesnė už pirmąjį. Kad išvengtumėte painiavos, pateikiamas pavyzdys: CDX – 410 (dešimtainiu tikslumu).
- Kai kurie dideli skaičiai gali būti pavaizduoti skirtingai, o tai yra vienas iš romėniškos skaičiavimo sistemos trūkumų. Štai keli pavyzdžiai: MVM (romėnų)=1000 + (1000 - 5)=1995 (dešimtainis) arba MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Ir tai dar ne viskas.
Aritmetiniai triukai
Nepozicinė skaičių sistema kartais yra sudėtingas skaičių formavimo, jų apdorojimo (veiksmų su jais) taisyklių rinkinys. Aritmetiniai veiksmai nepozicinėse skaičių sistemose nėra lengvišiuolaikiniams žmonėms. Mes nepavydime senovės Romos matematikams!
Papildymo pavyzdys. Pabandykime pridėti du skaičius: XIX + XXVI=XXXV, ši užduotis atliekama dviem etapais:
- Pirma – paimkite ir sudėkite mažesnes skaičių trupmenas: IX + VI=XV (I po V ir aš prieš X "sunaikina" vienas kitą).
- Antra – pridėkite dideles dviejų skaičių trupmenas: X + XX=XXX.
Atimtis yra šiek tiek sudėtingesnė. Sumažintinas skaičius turi būti padalintas į jo sudedamąsias dalis, o tada pasikartojančius simbolius reikia sumažinti ir atimti. Atimkite 263 iš 500:
D – CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII – CCLXIII=CCXXXVII.
Romėniškų skaičių daugyba. Beje, būtina paminėti, kad romėnai neturėjo aritmetinių veiksmų ženklų, juos tiesiog žymėjo žodžiais.
Kelių skaičių reikėjo padauginti iš kiekvieno atskiro daugiklio simbolio, todėl reikėjo pridėti kelis produktus. Taip dauginami daugianariai.
Kalbant apie padalijimą, šis procesas romėniškų skaičių sistemoje buvo ir išlieka sunkiausias. Čia buvo naudojamas senovės romėnų abakas. Dirbti su juo žmonės buvo specialiai apmokyti (ir ne kiekvienam pavyko įvaldyti tokį mokslą).
Apie nepozicinių sistemų trūkumus
Kaip minėta, nepozicinės skaičių sistemos turi savo trūkumų, naudojimo nepatogumų. Vienalytis yra pakankamai paprastas paprastam skaičiavimui, bet aritmetiniams ir sudėtingiems skaičiavimams – nepakankamai gerai.
Romanų kalboje nėra vienodų didelių skaičių formavimo taisyklių ir kyla painiavos, be to, joje labai sunku atlikti skaičiavimus. Be to, didžiausias skaičius, kurį senovės romėnai galėjo užrašyti savo metodu, buvo 100 000.
