Pirmosios eilės tiesinės ir vienalytės diferencialinės lygtys. Sprendimo pavyzdžiai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Manau, kad turėtume pradėti nuo tokio šlovingo matematinio įrankio kaip diferencialinės lygtys istorijos. Kaip ir visus diferencialinius ir integralinius skaičiavimus, šias lygtis XVII amžiaus pabaigoje išrado Niutonas. Patį savo atradimą jis laikė tokiu svarbiu, kad net užšifravo žinią, kurią šiandien galima išversti maždaug taip: „Visi gamtos dėsniai aprašomi diferencialinėmis lygtimis“. Tai gali atrodyti perdėta, bet tai tiesa. Bet kuris fizikos, chemijos, biologijos dėsnis gali būti apibūdintas šiomis lygtimis.

Matematikai Euleris ir Lagranžas įnešė didžiulį indėlį kuriant ir kuriant diferencialinių lygčių teoriją. Jau XVIII amžiuje jie atrado ir išplėtojo tai, ką dabar studijuoja vyresniuosiuose universitetų kursuose.

Naujas diferencialinių lygčių tyrimo etapas prasidėjo Henri Poincare dėka. Jis sukūrė „kokybinę diferencialinių lygčių teoriją“, kuri kartu su sudėtingo kintamojo funkcijų teorija reikšmingai prisidėjo prie topologijos – erdvės ir jos mokslo – pagrindo.savybės.

Kas yra diferencialinės lygtys?

Daugelis žmonių bijo vienos frazės „diferencialinė lygtis“. Tačiau šiame straipsnyje papasakosime apie visą šio labai naudingo matematinio aparato esmę, kuri iš tikrųjų nėra tokia sudėtinga, kaip atrodo iš pavadinimo. Norėdami pradėti kalbėti apie pirmos eilės diferencialines lygtis, pirmiausia turėtumėte susipažinti su pagrindinėmis sąvokomis, kurios yra iš esmės susijusios su šiuo apibrėžimu. Ir pradėsime nuo diferencialo.

Diferencinis

Daugelis šią sąvoką žino iš mokyklos laikų. Tačiau pažvelkime į tai atidžiau. Įsivaizduokite funkcijos grafiką. Galime jį padidinti tiek, kad bet kuris jo segmentas būtų tiesios formos. Ant jo paimame du taškus, kurie yra be galo arti vienas kito. Skirtumas tarp jų koordinačių (x arba y) bus be galo maža. Jis vadinamas diferencialu ir žymimas ženklais dy (diferencialas nuo y) ir dx (diferencialas nuo x). Labai svarbu suprasti, kad diferencialas nėra baigtinė reikšmė, o tai yra jo reikšmė ir pagrindinė funkcija.

O dabar turime apsvarstyti kitą elementą, kuris mums bus naudingas aiškinant diferencialinės lygties sąvoką. Tai išvestinė.

Išvestinė

Turbūt visi girdėjome mokykloje ir šią sąvoką. Sakoma, kad išvestinė yra funkcijos augimo arba mažėjimo greitis. Tačiau iš šio apibrėžimodaug kas pasidaro neaišku. Pabandykime išvestinę paaiškinti diferencialais. Grįžkime prie be galo mažos funkcijos segmento su dviem taškais, kurie yra mažiausiu atstumu vienas nuo kito. Tačiau net ir esant šiam atstumui funkcija sugeba kažkiek pasikeisti. Ir šiam pokyčiui apibūdinti jie sugalvojo išvestinę, kurią kitu atveju galima parašyti kaip skirtumų santykį: f(x)'=df/dx.

Dabar verta apsvarstyti pagrindines darinio savybes. Jų yra tik trys:

1. Sumos arba skirtumo išvestinė gali būti pateikiama kaip išvestinių išvestinių suma arba skirtumas: (a+b)'=a'+b' ir (a-b)'=a'-b'.
2. Antra savybė yra susijusi su daugyba. Produkto išvestinė yra vienos funkcijos ir kitos funkcijos sandaugų suma: (ab)'=a'b+ab'.
3. Skirtumo išvestinę galima parašyti kaip tokią lygybę: (a/b)'=(a'b-ab')/b².

Visos šios savybės bus naudingos ieškant pirmosios eilės diferencialinių lygčių sprendimų.

Yra ir dalinių darinių. Tarkime, kad turime funkciją z, kuri priklauso nuo kintamųjų x ir y. Norėdami apskaičiuoti šios funkcijos dalinę išvestinę, tarkime, x atžvilgiu, turime paimti kintamąjį y kaip konstantą ir tiesiog diferencijuoti.

Integralus

Kita svarbi sąvoka yra integralas. Tiesą sakant, tai yra tiesioginė priešingybė išvestinei. Yra keletas integralų tipų, tačiau norint išspręsti paprasčiausias diferencialines lygtis, mums reikia pačių trivialiausių neapibrėžtų integralų.

Taigi, kas yra integralas? Tarkime, kad turime tam tikrą priklausomybę fnuo x. Iš jo paimame integralą ir gauname funkciją F (x) (dažnai vadinamą antidariniu), kurios išvestinė lygi pradinei funkcijai. Taigi F(x)'=f(x). Iš to taip pat išplaukia, kad išvestinės integralas yra lygus pradinei funkcijai.

Spręsdami diferencialines lygtis, labai svarbu suprasti integralo reikšmę ir funkciją, nes norint rasti sprendimą, teks jas vartoti labai dažnai.

Lygtys skiriasi priklausomai nuo jų pobūdžio. Kitame skyriuje apžvelgsime pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, o tada išmoksime jas išspręsti.

Diferencialinių lygčių klasės

„Diffury“skirstomi pagal juose dalyvaujančių darinių eiliškumą. Taigi, yra pirma, antra, trečia ir daugiau eilės. Juos taip pat galima suskirstyti į kelias klases: paprastus ir dalinius išvestinius.

Šiame straipsnyje nagrinėsime įprastas pirmos eilės diferencialines lygtis. Tolesniuose skyriuose taip pat aptarsime pavyzdžius ir jų sprendimo būdus. Mes apsvarstysime tik ODE, nes tai yra labiausiai paplitę lygčių tipai. Paprastieji skirstomi į porūšius: su atskiriamais kintamaisiais, vienarūšius ir nevienalyčius. Tada sužinosite, kuo jie skiriasi vienas nuo kito, ir sužinosite, kaip juos išspręsti.

Be to, šias lygtis galima sujungti taip, kad gautume pirmos eilės diferencialinių lygčių sistemą. Taip pat apsvarstysime tokias sistemas ir išmoksime jas išspręsti.

Kodėl svarstome tik pirmąjį užsakymą? Nes reikia pradėti nuo paprasto ir aprašyti viską, kas susiję su diferencialulygtis, viename straipsnyje tiesiog neįmanoma.

Atskiriamos kintamųjų lygtys

Tai bene paprasčiausios pirmos eilės diferencialinės lygtys. Tai apima pavyzdžius, kuriuos galima parašyti taip: y'=f(x)f(y). Norėdami išspręsti šią lygtį, mums reikia formulės, kaip išvestinę pavaizduoti diferencialų santykiu: y'=dy/dx. Ją naudodami gauname tokią lygtį: dy/dx=f(x)f(y). Dabar galime pereiti prie standartinių pavyzdžių sprendimo metodo: kintamuosius suskirstysime į dalis, t.y. viską su y kintamuoju perkelsime į tą dalį, kurioje yra dy, taip pat darysime su kintamuoju x. Gauname formos lygtį: dy/f(y)=f(x)dx, kuri išsprendžiama imant abiejų dalių integralus. Nepamirškite apie konstantą, kurią reikia nustatyti paėmus integralą.

Bet kurio „skirtumo“sprendimas yra x priklausomybės nuo y funkcija (mūsų atveju) arba, jei yra skaitinė sąlyga, atsakymas pateikiamas skaičiaus forma. Išanalizuokime visą sprendimo eigą naudodami konkretų pavyzdį:

y'=2ysin(x)

Perkelkite kintamuosius skirtingomis kryptimis:

dy/y=2sin(x)dx

Dabar imame integralus. Visus juos galima rasti specialioje integralų lentelėje. Ir mes gauname:

ln(y)=-2cos(x) + C

Jei reikia, „y“galime išreikšti kaip „x“funkciją. Dabar galime pasakyti, kad mūsų diferencialinė lygtis yra išspręsta, jei nepateikta jokia sąlyga. Galima pateikti sąlygą, pavyzdžiui, y(n/2)=e. Tada mes tiesiog pakeičiame šių kintamųjų reikšmę į sprendimą irraskite konstantos reikšmę. Mūsų pavyzdyje jis lygus 1.

Pirmos eilės homogeninės diferencialinės lygtys

Dabar pereikite prie sunkesnės dalies. Pirmosios eilės vienarūšes diferencialines lygtis bendra forma galima užrašyti taip: y'=z(x, y). Reikia pažymėti, kad teisinga dviejų kintamųjų funkcija yra vienalytė ir negali būti padalinta į dvi priklausomybes: z nuo x ir z nuo y. Patikrinti, ar lygtis vienalytė, ar ne, yra gana paprasta: pakeičiame x=kx ir y=ky. Dabar atšaukiame visus k. Jei visos šios raidės yra sumažintos, lygtis yra vienalytė ir galite saugiai ją išspręsti. Žvelgiant į ateitį, tarkime: šių pavyzdžių sprendimo principas taip pat labai paprastas.

Turime atlikti pakaitalą: y=t(x)x, kur t yra funkcija, kuri taip pat priklauso nuo x. Tada galime išreikšti išvestinę: y'=t'(x)x+t. Visa tai pakeitę mūsų pradine lygtimi ir ją supaprastinę, gauname pavyzdį su atskiriamais kintamaisiais t ir x. Jį išsprendžiame ir gauname priklausomybę t(x). Kai gauname, tiesiog pakeičiame y=t(x)x į ankstesnį pakeitimą. Tada gauname y priklausomybę nuo x.

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į pavyzdį: xy'=y-xe^y/x.

Tikrinant su pakeitimu, viskas sumažėja. Taigi lygtis tikrai vienalytė. Dabar atliekame kitą pakaitalą, apie kurį kalbėjome: y=t(x)x ir y'=t'(x)x+t(x). Supaprastinus gauname tokią lygtį: t'(x)x=-e^t. Gautą pavyzdį išsprendžiame atskirtais kintamaisiais ir gauname: e^-t=ln(Cx). Tereikia t pakeisti y/x (juk jei y=tx, tai t=y/x), ir gausimeatsakymas: e^-y/x=ln(xC).

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Atėjo laikas kitai svarbiai temai. Išanalizuosime nehomogenines pirmos eilės diferencialines lygtis. Kuo jie skiriasi nuo ankstesnių dviejų? Išsiaiškinkime. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys bendrosios formos gali būti parašytos taip: y' + g(x)y=z(x). Verta paaiškinti, kad z(x) ir g(x) gali būti konstantos.

O dabar pavyzdys: y' - yx=x².

Yra du būdai tai išspręsti, ir mes nagrinėsime abu eilės tvarka. Pirmasis yra savavališkų konstantų kitimo metodas.

Norėdami išspręsti lygtį tokiu būdu, pirmiausia turite prilyginti dešinę pusę nuliui ir išspręsti gautą lygtį, kuri pajudinus dalis įgaus tokią formą:

y'=yx;

dy/dx=yx;

dy/y=xdx;

ln|y|=x²/2 + C;

y=e^x2/2y^C=C₁e^x2/2.

Dabar turime pakeisti konstantą C₁ funkcija v(x), kurią turime rasti.

y=ve^x2/2.

Pakeiskime išvestinę:

y'=v'e^x2/2-xve^x2/2.

Ir pakeiskite šias išraiškas į pradinę lygtį:

v'e^x2/2 - xve^x2/2 + xve^{x2 /2} =x².

Kairėje pusėje matote, kad du terminai atšaukiami. Jei tam tikru pavyzdžiu taip neatsitiko, vadinasi, padarėte kažką ne taip. Tęsti:

v'e^x2/2 =x².

Dabar išsprendžiame įprastą lygtį, kurioje turime atskirti kintamuosius:

dv/dx=x²/e^x2/2;

dv=x²e^-x2/2dx.

Norėdami išskirti integralą, čia turime taikyti integravimą dalimis. Tačiau tai nėra mūsų straipsnio tema. Jei jus domina, galite išmokti patys atlikti tokius veiksmus. Tai nesunku, o turint pakankamai įgūdžių ir dėmesio neužima daug laiko.

Pereikime prie antrojo nehomogeninių lygčių sprendimo metodo: Bernulio metodo. Kuris būdas greitesnis ir lengvesnis, priklauso nuo jūsų.

Taigi, sprendžiant lygtį šiuo metodu, turime pakeisti: y=kn. Čia k ir n yra kai kurios nuo x priklausomos funkcijos. Tada išvestinė atrodys taip: y'=k'n+kn'. Pakeiskite abu pakaitalus į lygtį:

k'n+kn'+xkn=x².

Grupė:

k'n+k(n'+xn)=x².

Dabar turime prilyginti nuliui tai, kas yra skliausteliuose. Dabar, jei sujungsite dvi gautas lygtis, gausite pirmos eilės diferencialinių lygčių sistemą, kurią turėsite išspręsti:

n'+xn=0;

k'n=x².

Pirmoji lygybė išspręsta kaip įprasta lygtis. Norėdami tai padaryti, turite atskirti kintamuosius:

dn/dx=xv;

dn/n=xdx.

Paimkite integralą ir gaukite: ln(n)=x²/2. Tada, jei išreiškiame n:

n=e^x2/2.

Dabar gautą lygybę pakeisime antrąja sistemos lygtimi:

k'e^x2/2=x².

Ir transformuodami gauname tokią pat lygybę kaip ir pirmuoju metodu:

dk=x²/e^x2/2.

Mes taip pat nesiimsime tolesnių veiksmų. Verta pasakyti, kad iš pradžių pirmosios eilės diferencialinių lygčių sprendimas sukelia didelių sunkumų. Tačiau pasineriant į temą ji pradeda gerėti ir gerėti.

Kur naudojamos diferencialinės lygtys?

Diferencialinės lygtys labai aktyviai naudojamos fizikoje, nes beveik visi pagrindiniai dėsniai parašyti diferencine forma, o formulės, kurias matome, yra šių lygčių sprendimas. Chemijoje jie naudojami dėl tos pačios priežasties: iš jų išvedami pagrindiniai dėsniai. Biologijoje diferencialinės lygtys naudojamos sistemų, pvz., plėšrūnų ir grobio, elgsenai modeliuoti. Jie taip pat gali būti naudojami kuriant, tarkime, mikroorganizmų kolonijos reprodukcijos modelius.

Kaip diferencialinės lygtys padės gyvenime?

Atsakymas į šį klausimą paprastas: jokiu būdu. Jei nesate mokslininkas ar inžinierius, vargu ar jie jums bus naudingi. Tačiau bendram vystymuisi nepakenks žinoti, kas yra diferencialinė lygtis ir kaip ji išspręsta. Ir tada sūnaus ar dukters klausimas "kas yra diferencialinė lygtis?" tavęs nesupainios. Na, o jei esi mokslininkas ar inžinierius, vadinasi, pats supranti šios temos svarbą bet kuriame moksle. Tačiau svarbiausias dalykas yra tai, kad dabar kyla klausimas "kaip išspręsti pirmos eilės diferencialinę lygtį?" visada gali atsakyti. Sutikite, visada malonukai supranti tai, ką žmonės net bijo suprasti.

Pagrindinės mokymosi problemos

Pagrindinė šios temos supratimo problema yra prasti funkcijų integravimo ir diferencijavimo įgūdžiai. Jei blogai mokate išvestines ir integralus, tikriausiai turėtumėte sužinoti daugiau, įsisavinti skirtingus integravimo ir diferencijavimo metodus ir tik tada pradėti studijuoti medžiagą, kuri buvo aprašyta straipsnyje.

Kai kurie žmonės nustemba sužinoję, kad dx galima perkelti, nes anksčiau (mokykloje) buvo teigiama, kad trupmena dy/dx yra nedaloma. Čia reikia perskaityti literatūrą apie išvestinę ir suprasti, kad tai yra be galo mažų dydžių santykis, kuriuo galima manipuliuoti sprendžiant lygtis.

Daugelis iš karto nesuvokia, kad pirmos eilės diferencialinių lygčių sprendimas dažnai yra funkcija arba integralas, kurio negalima imti, ir šis kliedesys sukelia jiems daug rūpesčių.

Ką dar galima ištirti, kad geriau suprastumėte?

Tolimesnį pasinerimą į diferencialinio skaičiavimo pasaulį geriausia pradėti nuo specializuotų vadovėlių, pavyzdžiui, skaičiavimo ne matematinių specialybių studentams. Tada galite pereiti prie labiau specializuotos literatūros.

Reikia pasakyti, kad, be diferencialinių lygčių, yra ir integralinių lygčių, todėl visada turėsite ko siekti ir ką studijuoti.

Išvada

Tikimės, kad perskaitęŠis straipsnis suteikė jums supratimą apie tai, kas yra diferencialinės lygtys ir kaip jas teisingai išspręsti.

Bet kokiu atveju matematika mums kažkaip pravers gyvenime. Tai ugdo logiką ir dėmesį, be kurių kiekvienas žmogus yra kaip be rankų.