Šoninio paviršiaus plotas ir nupjautos piramidės tūris: formulės ir tipinės problemos sprendimo pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Tiriant figūrų savybes trimatėje erdvėje stereometrijos rėmuose, dažnai tenka spręsti tūrio ir paviršiaus ploto nustatymo uždavinius. Šiame straipsnyje parodysime, kaip apskaičiuoti nupjautos piramidės tūrį ir šoninio paviršiaus plotą naudojant gerai žinomas formules.

Geometrijos piramidė

Geometrijoje įprasta piramidė yra erdvės figūra, pastatyta ant plokščio n kampo. Visos jo viršūnės yra sujungtos su vienu tašku, esančiu už daugiakampio plokštumos. Pavyzdžiui, čia yra nuotrauka, kurioje pavaizduota penkiakampė piramidė.

Šią figūrą sudaro veidai, viršūnės ir briaunos. Penkiakampis veidas vadinamas pagrindu. Likę trikampiai paviršiai sudaro šoninį paviršių. Visų trikampių susikirtimo taškas yra pagrindinė piramidės viršūnė. Jei statmenas nuleidžiamas nuo jo iki pagrindo, galimi du susikirtimo taško padėties variantai:

• geometriniame centre, tada piramidė vadinama tiesia linija;
• neįeinageometrinis centras, tada figūra bus įstriža.

Toliau nagrinėsime tik tiesias figūras su taisyklingu n kampu pagrindu.

Kas tai per figūra – nupjauta piramidė?

Norint nustatyti nupjautos piramidės tūrį, būtina aiškiai suprasti, apie kurią figūrą konkrečiai kalbama. Išsiaiškinkime šią problemą.

Tarkime, paimame pjovimo plokštumą, lygiagrečią paprastos piramidės pagrindui, ir ja nupjauname dalį šoninio paviršiaus. Jei ši operacija bus atlikta su aukščiau parodyta penkiakampe piramide, gausite tokią figūrą, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

Iš nuotraukos matosi, kad ši piramidė jau turi du pagrindus, o viršutinė panaši į apatinę, tačiau yra mažesnio dydžio. Šoninis paviršius vaizduojamas nebe trikampiais, o trapecijomis. Jie yra lygiašoniai, o jų skaičius atitinka pagrindo kraštinių skaičių. Sutrumpinta figūra neturi pagrindinės viršūnės, kaip taisyklinga piramidė, o jos aukštis nustatomas pagal atstumą tarp lygiagrečių pagrindų.

Paprastu atveju, jei nagrinėjama figūra sudaryta iš n kampų pagrindų, ji turi n+2 paviršius arba kraštines, 2n viršūnių ir 3n briaunų. Tai yra, nupjautoji piramidė yra daugiakampis.

Sutrumpintos piramidės tūrio formulė

Prisiminkite, kad paprastos piramidės tūris yra 1/3 jos aukščio ir pagrindo ploto sandaugos. Ši formulė netinka nupjautajai piramidei, nes ji turi du pagrindus. Ir jo apimtisvisada bus mažesnė už tą pačią įprastos figūros, iš kurios ji gaunama, reikšmę.

Nesigilindami į matematines išraiškos gavimo detales, pateikiame galutinę nupjautos piramidės tūrio formulę. Tai parašyta taip:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Čia S₁ ir S_{2 yra atitinkamai apatinio ir viršutinio pagrindo plotai, h yra figūros aukštis. Rašytinė išraiška galioja ne tik tiesiai taisyklingai nupjautinei piramidei, bet ir bet kuriai šios klasės figūrai. Be to, nepriklausomai nuo bazinių daugiakampių tipo. Vienintelė sąlyga, ribojanti V išraiškos naudojimą, yra būtinybė, kad piramidės pagrindai būtų lygiagrečiai vienas kitam.}

Ištyrus šios formulės savybes, galima padaryti keletą svarbių išvadų. Taigi, jei viršutinės bazės plotas yra lygus nuliui, mes gauname įprastos piramidės V formulę. Jei pagrindų plotai lygūs vienas kitam, tai gausime prizmės tūrio formulę.

Kaip nustatyti šoninio paviršiaus plotą?

Norint žinoti nupjautinės piramidės charakteristikas, reikia ne tik mokėti apskaičiuoti jos tūrį, bet ir žinoti, kaip nustatyti šoninio paviršiaus plotą.

Sutrumpintą piramidę sudaro dviejų tipų paviršiai:

• lygiašonės trapecijos;
• daugiakampiai pagrindai.

Jei pagrinduose yra taisyklingas daugiakampis, tada jo ploto apskaičiavimas nėra didelissunkumų. Norėdami tai padaryti, jums tereikia žinoti kraštinės a ilgį ir jų skaičių n.

Šoninio paviršiaus atveju, apskaičiuojant jo plotą, ši vertė nustatoma kiekvienai iš n trapecijos. Jei n-kampis yra teisingas, tada šoninio paviršiaus ploto formulė tampa:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Čia h_b yra trapecijos aukštis, kuris vadinamas figūros apotema. Dydžiai a₁ ir a_{2yra taisyklingų n kampų pagrindų kraštinių ilgiai.}

Kiekvienai taisyklingai n kampų sutrumpintai piramidei apotema h_b gali būti vienareikšmiškai apibrėžta naudojant parametrus a₁ ir a _{2ir formos aukštis h.}

Užduotis apskaičiuoti figūros tūrį ir plotą

Duota taisyklinga trikampė nupjauta piramidė. Yra žinoma, kad jos aukštis h yra 10 cm, o pagrindų kraštinių ilgiai yra 5 cm ir 3 cm. Koks yra nupjautinės piramidės tūris ir jos šoninio paviršiaus plotas?

Pirmiausia apskaičiuokime reikšmę V. Norėdami tai padaryti, raskite lygiašonių trikampių, esančių figūros pagrinduose, plotus. Turime:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Pakeiskite duomenis į formulę V, gausime norimą tūrį:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Norėdami nustatyti šoninį paviršių, turėtumėte žinotiapotemos ilgis h_{b. Atsižvelgdami į atitinkamą stačiakampį trikampį piramidės viduje, galime parašyti jo lygybę:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Apotemos reikšmė ir trikampio pagrindo kraštinės pakeičiamos į išraišką S_{bir gauname atsakymą:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Taigi mes atsakėme į visus problemos klausimus: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.