Pakreipta prizmė ir jos tūris. Problemos sprendimo pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Gebėjimas nustatyti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant geometrinius ir praktinius uždavinius. Viena iš šių figūrų yra prizmė. Straipsnyje apsvarstysime, kas tai yra, ir parodysime, kaip apskaičiuoti pasvirosios prizmės tūrį.

Ką geometrijoje reiškia prizmė?

Tai taisyklingas daugiakampis (daugiakampis), kurį sudaro du identiški pagrindai, esantys lygiagrečiose plokštumose, ir keli lygiagrečiai, jungiantys pažymėtus pagrindus.

Prizmų pagrindai gali būti savavališki daugiakampiai, tokie kaip trikampis, keturkampis, septyniakampis ir pan. Be to, daugiakampio kampų (kraštinių) skaičius lemia figūros pavadinimą.

Bet kuri prizmė su n kampu pagrindu (n yra kraštinių skaičius) susideda iš n+2 paviršių, 2 × n viršūnių ir 3 × n briaunų. Iš pateiktų skaičių matyti, kad prizmės elementų skaičius atitinka Eilerio teoremą:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo trikampės ir keturkampės prizmės iš stiklo.

Figūrų tipai. Pakreipta prizmė

Aukščiau jau buvo pasakyta, kad prizmės pavadinimas nustatomas pagal daugiakampio kraštinių skaičių prie pagrindo. Tačiau jos struktūroje yra ir kitų ypatybių, kurios lemia figūros savybes. Taigi, jei visi lygiagrečiai, sudarantys šoninį prizmės paviršių, yra pavaizduoti stačiakampiais arba kvadratais, tada tokia figūra vadinama tiesia linija. Tiesioje prizmėje atstumas tarp pagrindų yra lygus bet kurio stačiakampio šoninio krašto ilgiui.

Jei kai kurios arba visos kraštinės yra lygiagretainiai, tai kalbame apie pasvirusią prizmę. Jo aukštis jau bus mažesnis už šoninio šonkaulio ilgį.

Kitas kriterijus, pagal kurį klasifikuojamos nagrinėjamos figūros, yra daugiakampio kraštinių ilgiai ir kampai prie pagrindo. Jei jie yra lygūs vienas kitam, daugiakampis bus teisingas. Tiesi figūra, kurios pagrinduose yra taisyklingas daugiakampis, vadinama taisyklingu. Su juo patogu dirbti nustatant paviršiaus plotą ir tūrį. Pasvirusi prizmė šiuo atžvilgiu kelia tam tikrų sunkumų.

Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotos dvi prizmės su kvadratiniu pagrindu. 90° kampas parodo esminį skirtumą tarp tiesios ir įstrižos prizmės.

Figūros tūrio nustatymo formulė

Erdvės dalis, kurią riboja prizmės paviršiai, vadinama jos tūriu. Šią reikšmę bet kokio tipo skaičiams galima nustatyti pagal šią formulę:

V=h × S_o

Čia simbolis h reiškia prizmės aukštį,kuris yra atstumo tarp dviejų bazių matas. Simbolis S_o – vienas pagrindinis kvadratas.

Pagrindinį plotą lengva rasti. Atsižvelgdami į tai, ar daugiakampis yra taisyklingas, ar ne, ir žinodami jo kraštinių skaičių, turėtumėte pritaikyti atitinkamą formulę ir gauti S_o. Pavyzdžiui, įprasto n kampo, kurio kraštinės ilgis a, plotas bus:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

Dabar pereikime prie h aukščio. Tiesiajai prizmei nustatyti aukštį nėra sunku, tačiau įstrižai tai nėra lengva užduotis. Ją galima išspręsti įvairiais geometriniais metodais, pradedant nuo konkrečių pradinių sąlygų. Tačiau yra universalus būdas nustatyti figūros aukštį. Trumpai apibūdinkime.

Idėja yra rasti atstumą nuo erdvės taško iki plokštumos. Tarkime, kad plokštuma pateikiama pagal lygtį:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Tada lėktuvas bus per atstumą:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

Jei koordinačių ašys yra išdėstytos taip, kad taškas (0; 0; 0) yra prizmės apatinio pagrindo plokštumoje, tada pagrindo plokštumos lygtį galima parašyti taip:

z=0

Tai reiškia, kad bus parašyta aukščio formulėtaigi:

h=z₁

Pakanka rasti bet kurio viršutinio pagrindo taško z koordinatę, kad būtų nustatytas figūros aukštis.

Problemos sprendimo pavyzdys

Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė prizmė. Pasvirosios prizmės pagrindas yra kvadratas, kurio kraštinė yra 10 cm. Jo tūrį reikia apskaičiuoti, jei žinoma, kad šoninės briaunos ilgis yra 15 cm, o priekinio lygiagretainio smailusis kampas yra 70 °.

Kadangi figūros aukštis h yra ir lygiagretainio aukštis, mes naudojame formules, kad nustatytų jo plotą, kad surastume h. Lygiagretainio kraštines pažymėkime taip:

a=10 cm;

b=15 cm

Tada galite parašyti šias formules, kad nustatytų plotą S_p:

S_p=a × b × sin (α);

S_p=a × h

Iš kur gauname:

h=b × sin (α)

Čia α yra smailusis lygiagretainio kampas. Kadangi pagrindas yra kvadratas, pasvirosios prizmės tūrio formulė bus tokia:

V=a² × b × sin (α)

Duomenis iš sąlygos pakeičiame į formulę ir gauname atsakymą: V ≈ 1410 cm³.