Studijuojant stereometriją viena pagrindinių temų yra „Cilindras“. Šoninio paviršiaus plotas laikomas jei ne pagrindine, tai svarbia formule sprendžiant geometrines problemas. Tačiau svarbu atsiminti apibrėžimus, kurie padės naršyti pavyzdžiuose ir įrodinėjant įvairias teoremas.
Cilindro koncepcija
Pirmiausia turime apsvarstyti keletą apibrėžimų. Tik juos ištyrus, galima pradėti svarstyti cilindro šoninio paviršiaus ploto formulės klausimą. Remiantis šiuo įrašu, galima apskaičiuoti kitas išraiškas.
- Cilindrinis paviršius suprantamas kaip generatoriaus aprašyta plokštuma, judanti ir išliekanti lygiagreti nurodyta kryptimi, slenkanti esama kreive.
- Yra ir antras apibrėžimas: cilindrinį paviršių sudaro lygiagrečių linijų rinkinys, kertantis nurodytą kreivę.
- Generatyvinis paprastai vadinamas cilindro aukščiu. Kai jis juda aplink ašį, einančią per pagrindo centrą,gaunamas nurodytas geometrinis kūnas.
- Po ašimi reiškia tiesi linija, einanti per abu figūros pagrindus.
- Cilindras yra stereometrinis kūnas, kurį riboja susikertantis šoninis paviršius ir 2 lygiagrečios plokštumos.
Yra šios trimatės figūros atmainų:
- Apskritimas yra cilindras, kurio kreiptuvas yra apskritimas. Pagrindiniai jo komponentai yra pagrindo spindulys ir generatrix. Pastarasis yra lygus figūros aukščiui.
- Yra tiesus cilindras. Jis gavo savo pavadinimą dėl generatrix statmenumo figūros pagrindams.
- Trečioji rūšis yra nuožulnus cilindras. Vadovėliuose taip pat galite rasti kitą pavadinimą - "apvalus cilindras su nuožulniu pagrindu". Šis skaičius apibrėžia pagrindo spindulį, mažiausią ir didžiausią aukštį.
- Lygiakrais cilindras suprantamas kaip kūnas, kurio apskritimo plokštumos aukštis ir skersmuo vienodas.
Simboliai
Tradiciškai pagrindiniai cilindro „komponentai“vadinami taip:
- Pagrindo spindulys yra R (jis taip pat pakeičia tą pačią stereometrinės figūros reikšmę).
- Generative – L.
- Augtis – H.
- Pagrindo sritis - Sbazė (kitaip tariant, reikia rasti nurodytą apskritimo parametrą).
- Nužudytų cilindrų aukščiai – h1, h2(minimalus ir didžiausias).
- Šoninio paviršiaus plotas – Sšonas (jei jį išplėsite, gausitetarsi stačiakampis).
- Stereometrinės figūros tūris – V.
- Bendras paviršiaus plotas – S.
Stereometrinės figūros „komponentai“
Tiriant cilindrą, šoninio paviršiaus plotas vaidina svarbų vaidmenį. Taip yra dėl to, kad ši formulė įtraukta į keletą kitų, sudėtingesnių. Todėl būtina gerai išmanyti teoriją.
Pagrindiniai figūros komponentai yra:
- Šoninis paviršius. Kaip žinote, jis gaunamas dėl generatoriaus judėjimo tam tikra kreive.
- Visas paviršius apima esamus pagrindus ir šoninę plokštumą.
- Cilindro pjūvis, kaip taisyklė, yra stačiakampis, esantis lygiagrečiai figūros ašiai. Priešingu atveju jis vadinamas lėktuvu. Pasirodo, ilgis ir plotis yra neakivaizdiniai kitų figūrų komponentai. Taigi, sąlyginai, atkarpos ilgiai yra generatoriai. Plotis – lygiagrečios stereometrinės figūros stygos.
- Ašinė pjūvis reiškia plokštumos vietą per kūno centrą.
- Ir galiausiai galutinis apibrėžimas. Liestinė yra plokštuma, einanti per cilindro generatrix ir stačiu kampu į ašinę pjūvį. Tokiu atveju turi būti įvykdyta viena sąlyga. Nurodytas generatorius turi būti įtrauktas į ašinės pjūvio plokštumą.
Pagrindinės formulės dirbant su cilindru
Norint atsakyti į klausimą, kaip rasti cilindro paviršiaus plotą, būtina išstudijuoti pagrindinius stereometrinės figūros „komponentus“ir jų radimo formules.
Šios formulės skiriasi tuo, kad pirmiausia pateikiamos nuožulniojo cilindro išraiškos, o po to - tiesios.
Dekonstruoti pavyzdžiai
1 užduotis.
Būtina žinoti cilindro šoninio paviršiaus plotą. Pateikta pjūvio įstrižainė AC=8 cm (be to, ašinė). Kai liečiasi su generatoriumi, pasirodo <ACD=30°
Sprendimas. Kadangi įstrižainės ir kampo reikšmės yra žinomos, tai šiuo atveju:
CD=ACcos 30°
Komentuoti. Šiame konkrečiame pavyzdyje ACD trikampis yra stačiakampis. Tai reiškia, kad dalijimosi CD ir AC koeficientas=duoto kampo kosinusas. Trigonometrinių funkcijų reikšmę galima rasti specialioje lentelėje.
Panašiai galite rasti ir AD reikšmę:
AD=ACsin 30°
Dabar reikia apskaičiuoti norimą rezultatą pagal šią formulę: cilindro šoninio paviršiaus plotas yra lygus dvigubam rezultatui, padauginus „pi“, figūros spindulį ir jo aukštį. Taip pat turėtų būti naudojama kita formulė: cilindro pagrindo plotas. Jis lygus rezultatui, padauginus "pi" iš spindulio kvadrato. Ir galiausiai paskutinė formulė: bendras paviršiaus plotas. Ji lygi ankstesnių dviejų sričių sumai.
2 užduotis.
Cilindrai pateikiami. Jų tūris=128n cm³. Kuris cilindras yra mažiausiasvisas paviršius?
Sprendimas. Pirmiausia turite naudoti formules figūros tūriui ir aukščiui nustatyti.
Kadangi bendras cilindro paviršiaus plotas yra žinomas iš teorijos, reikia taikyti jo formulę.
Jei gautą formulę laikysime cilindro ploto funkcija, tada minimalus „rodiklis“bus pasiektas kraštutiniame taške. Norėdami gauti paskutinę reikšmę, turite naudoti diferencijavimą.
Formules galima peržiūrėti specialioje išvestinių išvestinių duomenų lentelėje. Ateityje rastas rezultatas prilyginamas nuliui ir randamas lygties sprendinys.
Atsakymas: Smin bus pasiektas ties h=1/32 cm, R=64 cm.
3 problema.
Duota stereometrinė figūra – cilindras ir sekcija. Pastaroji atliekama taip, kad ji būtų lygiagreti stereometrinio kūno ašiai. Cilindras turi tokius parametrus: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Būtina rasti atstumą tarp pjūvio ir ašies.
Sprendimas.
Kadangi cilindro skerspjūvis suprantamas kaip VSCM, t. y. stačiakampis, jo kraštinė VM=h. Reikia atsižvelgti į WMC. Trikampis yra stačiakampis. Remdamiesi šiuo teiginiu, galime padaryti teisingą prielaidą, kad MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² – VM²
MK²=17²–15²
MK²=64
MK=8
Iš čia galime daryti išvadą, kad MK=BC=8 cm.
Kitas žingsnis yra nubrėžti atkarpą per figūros pagrindą. Būtina atsižvelgti į gautą plokštumą.
AD – stereometrinės figūros skersmuo. Jis yra lygiagretus problemos teiginyje minėtam skyriui.
BC yra tiesi linija, esanti esamo stačiakampio plokštumoje.
ABCD yra trapecija. Konkrečiu atveju jis laikomas lygiašoniu, nes aplink jį aprašomas apskritimas.
Jei rasite gautos trapecijos aukštį, galite gauti atsakymą, pateiktą uždavinio pradžioje. Būtent: atstumo tarp ašies ir nubrėžtos atkarpos radimas.
Norėdami tai padaryti, turite rasti AD ir OS reikšmes.
Atsakymas: atkarpa yra 3 cm atstumu nuo ašies.
Medžiagos konsolidavimo problemos
1 pavyzdys.
Duotas cilindras. Tolimesniame tirpale naudojamas šoninio paviršiaus plotas. Kiti variantai žinomi. Pagrindo plotas Q, ašinės pjūvio plotas M. Reikia rasti S. Kitaip tariant, bendras cilindro plotas.
2 pavyzdys.
Duotas cilindras. Šoninio paviršiaus plotas turi būti rastas viename iš problemos sprendimo žingsnių. Yra žinoma, kad aukštis=4 cm, spindulys=2 cm. Reikia rasti bendrą stereometrinės figūros plotą.
