Tiesios prizmės paviršiaus plotas: formulės ir problemos pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Tūris ir paviršiaus plotas yra dvi svarbios bet kurio kūno, turinčio baigtinių matmenų trimatėje erdvėje, charakteristikos. Šiame straipsnyje aptariame gerai žinomą daugiakampių klasę - prizmes. Visų pirma bus atskleistas klausimas, kaip rasti tiesios prizmės paviršiaus plotą.

Kas yra prizmė?

Prizmė yra bet koks daugiakampis, kurį riboja keli lygiagrečiai ir du identiški daugiakampiai, esantys lygiagrečiose plokštumose. Šie daugiakampiai laikomi figūros pagrindais, o jos lygiagrečiai – kraštinėmis. Pagrindo kraštinių (kampų) skaičius lemia figūros pavadinimą. Pavyzdžiui, toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota penkiakampė prizmė.

Atstumas tarp pagrindų vadinamas figūros aukščiu. Jei aukštis lygus bet kurio šoninio krašto ilgiui, tada tokia prizmė bus tiesi. Antroji pakankama tiesios prizmės savybė yra ta, kad visos jos kraštinės yra stačiakampiai arba kvadratai. Jei vis dėltoJei viena pusė yra bendras lygiagretainis, tada figūra bus pasvirusi. Žemiau galite pamatyti, kaip vizualiai skiriasi tiesios ir įstrižos prizmės keturkampių figūrų pavyzdyje.

Tiesios prizmės paviršiaus plotas

Jei geometrinė figūra turi n kampų pagrindą, tada ją sudaro n+2 paviršiai, iš kurių n yra stačiakampiai. Pažymėkime pagrindo kraštinių ilgius kaip a_i, kur i=1, 2, …, n, ir pažymime figūros aukštį, lygų šoninis kraštas, kaip h. Norėdami nustatyti visų paviršių paviršiaus plotą (S), pridėkite kiekvieno pagrindo plotą S_{o ir visus kraštinių plotus (stačiakampius). Taigi formulę S bendra forma galima parašyti taip:}

S=2S_o+ S_b

Kur S_{b yra šoninio paviršiaus plotas.}

Kadangi tiesios prizmės pagrindas gali būti absoliučiai bet koks plokščias daugiakampis, tai vienos formulės S_{oapskaičiuoti negalima, o norint nustatyti šią reikšmę, bendrai Tokiu atveju reikia atlikti geometrinę analizę. Pavyzdžiui, jei pagrindas yra taisyklingas n-kampis, kurio kraštinė yra a, tada jo plotas apskaičiuojamas pagal formulę:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Kalbant apie S_{b reikšmę, galima pateikti jos skaičiavimo išraišką. Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Tai yra vertėS_{b apskaičiuojamas kaip figūros aukščio ir jos pagrindo perimetro sandauga.}

Problemos sprendimo pavyzdys

Įgytas žinias pritaikykime sprendžiant šią geometrinę problemą. Duota prizmė, kurios pagrindas yra stačiakampis trikampis, kurio kraštinės yra stačiu kampu 5 cm ir 7 cm. Figūros aukštis 10 cm. Reikia rasti stačios trikampės prizmės paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime trikampio hipotenuzę. Jis bus lygus:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Dabar atlikime dar vieną parengiamąjį matematinį veiksmą – apskaičiuokime pagrindo perimetrą. Tai bus:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Figūros šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas kaip vertės P ir aukščio h=10 cm sandauga, tai yra, S_b=206 cm ^2.

Norint rasti viso paviršiaus plotą, prie rastos vertės reikia pridėti du bazinius plotus. Kadangi stačiojo trikampio plotą lemia pusė kojų sandaugos, gauname:

2S_o=257/2=35 cm²

Tada gauname, kad tiesios trikampės prizmės paviršiaus plotas yra 35 + 206=241 cm2.