Taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus plotas: formulės ir uždavinių pavyzdžiai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Tipinės geometrinės problemos plokštumoje ir trimatėje erdvėje yra skirtingų formų paviršiaus plotų nustatymo problemos. Šiame straipsnyje pateikiame taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę.

Kas yra piramidė?

Pateikime griežtą geometrinį piramidės apibrėžimą. Tarkime, kad yra koks nors daugiakampis su n kraštinių ir n kampų. Parenkame savavališką erdvės tašką, kuris nebus nurodyto n kampo plokštumoje, ir sujungiame jį su kiekviena daugiakampio viršūne. Gausime figūrą, kuri turi tam tikrą tūrį, kuri vadinama n kampine piramide. Pavyzdžiui, toliau esančiame paveikslėlyje parodykime, kaip atrodo penkiakampė piramidė.

Du svarbūs bet kurios piramidės elementai yra jos pagrindas (n-kampis) ir viršus. Šie elementai yra sujungti vienas su kitu n trikampių, kurie apskritai nėra lygūs vienas kitam. Statmenas nukrito nuoiš viršaus į apačią vadinamas figūros aukščiu. Jeigu ji kerta pagrindą geometriniame centre (sutampa su daugiakampio masės centru), tai tokia piramidė vadinama tiesia linija. Jei, be šios sąlygos, pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, tai visa piramidė vadinama taisyklingu. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo įprastos piramidės, kurių pagrindai yra trikampiai, keturkampiai, penkiakampiai ir šešiakampiai.

Piramidės paviršius

Prieš pereidami prie taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus ploto klausimo, turėtume pasilikti ties paties paviršiaus samprata.

Kaip minėta aukščiau ir parodyta paveiksluose, bet kurią piramidę sudaro paviršių arba šonų rinkinys. Viena kraštinė yra pagrindas, o n kraštinių yra trikampiai. Visos figūros paviršius yra kiekvienos jos kraštinės plotų suma.

Paviršių patogu tyrinėti figūros išsiskleidžiančios pavyzdžiu. Taisyklingos keturkampės piramidės nuskaitymas parodytas toliau pateiktuose paveikslėliuose.

Matome, kad jo paviršiaus plotas lygus keturių vienodų lygiašonių trikampių plotų ir kvadrato ploto sumai.

Bendras visų trikampių, sudarančių figūros kraštines, plotas vadinamas šoninio paviršiaus plotu. Toliau parodysime, kaip jį apskaičiuoti taisyklingai keturkampei piramidei.

Keturkampės taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas

Skaičiuoti šoninės dalies plotąnurodytos figūros paviršių, vėl pereiname prie aukščiau pateikto nuskaitymo. Tarkime, kad žinome kvadratinio pagrindo pusę. Pažymėkime simboliu a. Matyti, kad kiekvienas iš keturių vienodų trikampių turi a ilgio pagrindą. Norėdami apskaičiuoti jų bendrą plotą, turite žinoti šią vieno trikampio vertę. Iš geometrijos kurso žinoma, kad trikampio plotas S_{t yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, kurią reikia padalyti per pusę. Tai yra:}

S_t=1/2h_ba.

Kur h_b yra lygiašonio trikampio, nubrėžto iki pagrindo a, aukštis. Piramidei šis aukštis yra apotema. Dabar belieka gautą išraišką padauginti iš 4, kad gautumėte nagrinėjamos piramidės šoninio paviršiaus plotą S_b:

S_b=4S_t=2h_ba.

Šią formulę sudaro du parametrai: apotemas ir pagrindo pusė. Jei pastarasis yra žinomas daugeliu uždavinių sąlygų, tai pirmasis turi būti skaičiuojamas žinant kitus dydžius. Štai formulės, skirtos apotemos h_{b apskaičiavimui dviem atvejais:}

• kai žinomas šoninio šonkaulio ilgis;
• kai žinomas piramidės aukštis.

Jei šoninės briaunos (lygiašonio trikampio kraštinės) ilgį pažymėsime simboliu L, tai apotema h_{b nustatoma pagal formulę:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Ši išraiška yra Pitagoro teoremos taikymo šoniniam paviršiaus trikampiui rezultatas.

Jei žinomapiramidės aukštis h, tada apotema h_{b gali būti apskaičiuojama taip:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Gauti šią išraišką taip pat nėra sunku, jei piramidės viduje laikysime stačiakampį trikampį, sudarytą iš kojų h ir a/2 bei hipotenuzos h_b.

Parodykime, kaip pritaikyti šias formules, išspręsdami dvi įdomias problemas.

Problema dėl žinomo paviršiaus ploto

Žinoma, kad taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus plotas yra 108 cm². Būtina apskaičiuoti jos apotemos ilgio reikšmę h_{b, jei piramidės aukštis yra 7 cm.}

Parašykime šoninio paviršiaus per aukštį ploto S_{b formulę. Turime:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Čia mes ką tik pakeitėme atitinkamą apotemos formulę į S_{b išraišką. Palyginkime abi lygties puses kvadratu:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Norėdami rasti a reikšmę, pakeiskime kintamuosius:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Dabar pakeičiame žinomas reikšmes ir išsprendžiame kvadratinę lygtį:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Mes išrašėme tik teigiamą šios lygties šaknį. Tada piramidės pagrindo kraštinės bus:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Norėdami sužinoti apotemos trukmę,tiesiog naudokite formulę:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 žr.}

Šoninis Cheopso piramidės paviršius

Nustatykite didžiausios Egipto piramidės šoninio paviršiaus ploto vertę. Yra žinoma, kad jo bazėje yra kvadratas, kurio kraštinės ilgis yra 230 363 metrai. Iš pradžių statinio aukštis buvo 146,5 metro. Pakeiskite šiuos skaičius į atitinkamą formulę S_{b, gausime:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Rasta vertė yra šiek tiek didesnė už 17 futbolo aikščių plotą.