Nupjauto kūgio plotas. Formulės ir problemos pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Triant jų charakteristikas ir savybes, geometrijos revoliucijos figūroms skiriamas ypatingas dėmesys. Vienas iš jų – nupjautas kūgis. Šiuo straipsniu siekiama atsakyti į klausimą, kokia formulė gali būti naudojama nupjauto kūgio plotui apskaičiuoti.

Apie kurią figūrą mes kalbame?

Prieš aprašant nupjauto kūgio plotą, būtina pateikti tikslų geometrinį šios figūros apibrėžimą. Nupjautas yra toks kūgis, kuris gaunamas plokštuma nupjovus įprasto kūgio viršūnę. Šiame apibrėžime reikėtų pabrėžti keletą niuansų. Pirma, pjūvio plokštuma turi būti lygiagreti kūgio pagrindo plokštumai. Antra, originali figūra turi būti apskrito kūgio. Žinoma, tai gali būti elipsės, hiperbolinės ir kitokio tipo figūros, tačiau šiame straipsnyje apsiribosime apvaliu kūgiu. Pastarasis parodytas paveikslėlyje žemiau.

Lengva atspėti, kad jį galima gauti ne tik atkarpos plokštuma pagalba, bet ir sukimo operacijos pagalba. DėlNorėdami tai padaryti, turite paimti trapeciją, turinčią du stačius kampus, ir pasukti ją aplink šoną, kuris yra greta šių stačių kampų. Dėl to trapecijos pagrindai taps nupjauto kūgio pagrindų spinduliais, o į šoną pasvirusi trapecijos pusė apibūdins kūginį paviršių.

Formos lavinimas

Atsižvelgiant į nupjauto kūgio paviršiaus plotą, naudinga pateikti jo raidą, tai yra, trimatės figūros paviršiaus vaizdą plokštumoje. Toliau pateikiamas tiriamos figūros nuskaitymas su savavališkais parametrais.

Matyti, kad figūros plotą sudaro trys komponentai: du apskritimai ir vienas nupjautas apskritimas. Akivaizdu, kad norint nustatyti reikiamą plotą, reikia susumuoti visų įvardintų figūrų plotus. Išspręskime šią problemą kitoje pastraipoje.

Nupjauto kūgio sritis

Kad būtų lengviau suprasti šiuos samprotavimus, pateikiame tokį užrašą:

• r1, r2 - atitinkamai didžiojo ir mažojo pagrindo spinduliai;
• h – figūros aukštis;
• g – kūgio generatorius (trapecijos įstrižosios kraštinės ilgis).

Nupjauto kūgio pagrindų plotą lengva apskaičiuoti. Parašykime atitinkamas išraiškas:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Apskrito segmento dalies plotą nustatyti šiek tiek sunkiau. Jei įsivaizduosime, kad šio apskritimo sektoriaus centras nėra iškirptas, tai jo spindulys bus lygus reikšmei G. Jį nesunku apskaičiuoti, jei atsižvelgsime į atitinkamąpanašūs stačiakampiai kūgio trikampiai. Jis lygus:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Tuomet viso apskritimo sektoriaus, kurio spindulys G ir kuris remiasi 2pir₁ ilgio lanku, plotas bus lygus kam:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Dabar nustatykime mažo apskritimo sektoriaus S₂ plotą, kurį reikės atimti iš S₁. Jis lygus:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) – g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Kūginio nupjauto paviršiaus plotas S_b yra lygus skirtumui tarp S₁ ir S ₂. Gauname:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Nepaisant kai kurių sudėtingų skaičiavimų, gavome gana paprastą figūros šoninio paviršiaus ploto išraišką.

Pridėjus pagrindų plotus ir S_b, gauname nupjauto kūgio ploto formulę:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Taigi, norėdami apskaičiuoti tiriamos figūros S reikšmę, turite žinoti tris jos tiesinius parametrus.

Problemos pavyzdys

Apvalus tiesus kūgis10 cm spinduliu ir 15 cm aukščiu buvo nupjauta plokštuma taip, kad gautas taisyklingas nupjautas kūgis. Žinant, kad atstumas tarp nupjautos figūros pagrindų yra 10 cm, reikia rasti jos paviršiaus plotą.

Norėdami naudoti nupjauto kūgio ploto formulę, turite rasti tris jo parametrus. Mes žinome vieną:

r₁=10 cm.

Kitus du nesunku apskaičiuoti, jei atsižvelgsime į panašius stačiakampius trikampius, kurie gaunami nustačius kūgio ašinį pjūvį. Atsižvelgdami į problemos būklę, gauname:

r₂=105/15=3,33 cm.

Galiausiai nupjauto kūgio g kreiptuvas bus toks:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Dabar galite pakeisti reikšmes r₁, r₂ ir g į formulę S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Norimas figūros paviršiaus plotas yra maždaug 852 cm².