Bertrando paradoksas yra klasikinio tikimybių teorijos aiškinimo problema. Džozefas jį pristatė savo darbe Calcul des probabilités (1889) kaip pavyzdį, kad tikimybės negali būti tiksliai apibrėžtos, jei mechanizmas ar metodas sukuria atsitiktinį kintamąjį.
Problemos pareiškimas
Bertrando paradoksas yra toks.
Pirmiausia apsvarstykite lygiakraštį trikampį, įbrėžtą apskritime. Tokiu atveju skersmuo parenkamas atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad jis ilgesnis už trikampio kraštinę?
Bertrandas pateikė tris argumentus, kurie visi atrodo teisingi, tačiau duoda skirtingus rezultatus.
Atsitiktinis pabaigos taško metodas
Turite pasirinkti dvi apskritimo vietas ir nubrėžti jas jungiantį lanką. Skaičiavimui atsižvelgiama į Bertrano tikimybių paradoksą. Reikia įsivaizduoti, kad trikampis pasuktas taip, kad jo viršūnė sutaptų su vienu iš stygos galinių taškų. Verta mokėtiatkreipkite dėmesį, kad jei kita dalis yra lanke tarp dviejų vietų, apskritimas yra ilgesnis už trikampio kraštinę. Lanko ilgis yra trečdalis apskritimo, todėl tikimybė, kad atsitiktinė styga yra ilgesnė, yra 1/3.
Pasirinkimo metodas
Būtina pasirinkti apskritimo spindulį ir tašką ant jo. Po to per šią vietą reikia pastatyti stygą, statmeną skersmeniui. Norint apskaičiuoti svarstytą tikimybių teorijos Bertrano paradoksą, reikia įsivaizduoti, kad trikampis pasuktas taip, kad kraštinė būtų statmena spinduliui. Akordas yra ilgesnis už koją, jei pasirinktas taškas yra arčiau apskritimo centro. Ir šiuo atveju trikampio kraštinė dalija spindulį. Todėl tikimybė, kad styga yra ilgesnė už įrašytos figūros kraštinę, yra 1/2.
Atsitiktiniai akordai
Vidurio taško metodas. Būtina pasirinkti vietą ant apskritimo ir sukurti akordą su nurodytu viduriu. Ašis yra ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštą, jei pasirinkta vieta yra koncentriniame apskritime, kurio spindulys yra 1/2. Mažesnio apskritimo plotas yra ketvirtadalis didesnės figūros. Todėl atsitiktinės stygos tikimybė yra ilgesnė už įbrėžto trikampio kraštinę ir lygi 1/4.
Kaip aprašyta aukščiau, atrankos metodai skiriasi svoriu, kurį jie suteikia tam tikroms stygoms, ty skersmenims. 1 metodu kiekvieną stygą galima pasirinkti tiksliai vienu būdu, nesvarbu, ar tai skersmuo, ar ne.
Taikant 2 metodą, kiekvieną tiesę galima pasirinkti dviem būdais. Tuo tarpu bus pasirinktas bet koks kitas akordastik viena iš galimybių.
Taikant 3 metodą, kiekvienas vidurio taško pasirinkimas turi vieną parametrą. Išskyrus apskritimo centrą, kuris yra visų skersmenų vidurio taškas. Šių problemų galima išvengti „užsakius“visus klausimus, kad būtų neįtraukti parametrai, nedarant įtakos gaunamoms tikimybėms.
Pasirinktus metodus taip pat galima vizualizuoti taip. Jei styga nėra skersmens, ji vienareikšmiškai identifikuojama pagal vidurio tašką. Kiekvienas iš trijų aukščiau pateiktų atrankos būdų sukuria skirtingą vidurio paskirstymą. 1 ir 2 parinktys suteikia du skirtingus nevienodus skaidinius, o 3 metodas suteikia vienodą paskirstymą.
Klasikinis Bertrano problemos sprendimo paradoksas priklauso nuo metodo, kuriuo akordas parenkamas „atsitiktinai“. Pasirodo, jei atsitiktinės atrankos metodas yra nurodytas iš anksto, problema turi aiškiai apibrėžtą sprendimą. Taip yra todėl, kad kiekvienas atskiras metodas turi savo akordų pasiskirstymą. Trys Bertrand pateiktos nutartys atitinka skirtingus atrankos būdus ir, nesant papildomos informacijos, nėra pagrindo teikti pirmenybės vienam prieš kitą. Atitinkamai, nurodyta problema neturi vieno sprendimo.
Pavyzdys, kaip padaryti bendrą atsakymą unikalų, yra nurodyti, kad stygos galiniai taškai būtų tolygiai išdėstyti tarp 0 ir c, kur c yra apskritimo perimetras. Šis skirstinys yra toks pat, kaip ir pirmajame Bertrand argumente, o gauta unikali tikimybė bus 1/3.
Šis Bertrand Russell paradoksas ir kiti klasikos unikalumaigalimybės interpretacijos pateisina griežtesnes formuluotes. Įskaitant tikimybių dažnį ir subjektyvistinę Bajeso teoriją.
Kas yra Bertrando paradokso pagrindas
Savo 1973 m. straipsnyje „Gerai iškelta problema“Edwinas Jaynesas pasiūlė savo unikalų sprendimą. Jis pažymėjo, kad Bertrano paradoksas remiasi prielaida, paremta „maksimalaus nežinojimo“principu. Tai reiškia, kad neturėtumėte naudoti jokios informacijos, kuri nepateikta problemos pareiškime. Jaynesas atkreipė dėmesį, kad Bertrano problema neapsprendžia apskritimo padėties ar dydžio. Ir tvirtino, kad todėl bet koks konkretus ir objektyvus sprendimas turi būti „abejingas“dydžiui ir pozicijai.
Iliustracijos tikslais
Darant prielaidą, kad visi akordai yra atsitiktinai išdėstyti 2 cm apskritime, dabar reikia mesti į jį šiaudelius iš tolo.
Tada reikia paimti kitą mažesnio skersmens (pavyzdžiui, 1 centimetro) apskritimą, kuris tilptų į didesnę figūrą. Tada akordų pasiskirstymas šiame mažesniame apskritime turėtų būti toks pat kaip ir didžiausiame. Jei antroji figūra taip pat juda pirmosios viduje, tikimybė iš esmės neturėtų keistis. Labai lengva pastebėti, kad 3 metodo atveju įvyks toks pokytis: akordų pasiskirstymas ant mažo raudono apskritimo kokybiškai skirsis nuo pasiskirstymo dideliame apskritime.
Tas pats atsitinka ir 1 metodui. Nors grafiniame vaizde jį pamatyti sunkiau.
2 metodas yra vieninteliskuris pasirodo esąs ir mastelis, ir vertimo invariantas.
Atrodo, kad 3 metodas yra tiesiog išplečiamas.
1 metodas nėra nė vienas.
Tačiau Janes nenaudojo invariantų, kad priimtų ar atmestų šiuos metodus. Taip būtų palikta galimybė, kad yra dar vienas neaprašytas metodas, kuris atitiktų jo pagrįstos prasmės aspektus. Jaynes pritaikė integralines lygtis, apibūdinančias invariancijas. Tiesiogiai nustatyti tikimybių skirstinį. Jo uždavinyje integralinės lygtys iš tiesų turi unikalų sprendimą, ir būtent tai aukščiau buvo vadinama antruoju atsitiktinio spindulio metodu.
2015 m. straipsnyje Alonas Drory teigia, kad Jayneso principas taip pat gali duoti dar du Bertrand sprendimus. Autorius tikina, kad minėtų invariantiškumo savybių matematinis įgyvendinimas nėra unikalus, o priklauso nuo pagrindinės atsitiktinės atrankos procedūros, kurią žmogus nusprendžia naudoti. Jis parodo, kad kiekvienas iš trijų Bertrand sprendimų gali būti gaunamas naudojant rotacinį, mastelio keitimą ir transliacinį invariantą. Tuo pat metu darant išvadą, kad Jaynes principas yra lygiai taip pat interpretuojamas kaip ir pats abejingumo būdas.
Fizikiniai eksperimentai
2 metodas yra vienintelis sprendimas, kuris tenkina transformacijos invariantus, esančius konkrečiose fiziologinėse koncepcijose, tokiose kaip statistinė mechanika ir dujų struktūra. Taip pat siūlomameJanes eksperimentas mėtant šiaudelius iš mažo apskritimo.
Tačiau galima sukurti ir kitus praktinius eksperimentus, kurie atsakymus pateikia kitais metodais. Pavyzdžiui, norėdami rasti pirmojo atsitiktinio galutinio taško metodo sprendimą, galite pridėti skaitiklį prie srities centro. Ir tegul dviejų nepriklausomų sukimų rezultatai išryškina galutines akordo vietas. Norint rasti sprendimą dėl trečiojo metodo, galima uždengti apskritimą, pavyzdžiui, melasa ir pažymėti pirmąjį tašką, ant kurio musė nusileidžia, kaip vidurinį stygą. Keletas kontempliatorių sukūrė tyrimus, kad padarytų skirtingas išvadas, ir empiriškai patvirtino rezultatus.
Naujausi įvykiai
Savo 2007 m. straipsnyje „Bertrando paradoksas ir abejingumo principas“Nicholas Shackel teigia, kad praėjus daugiau nei šimtmečiui problema vis dar neišspręsta. Toliau ji paneigia abejingumo principą. Be to, savo 2013 m. darbe „The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical“Darrellas R. Robottomas parodo, kad visi siūlomi sprendimai neturi nieko bendra su jo paties klausimu. Taigi paaiškėjo, kad paradoksą išspręsti bus daug sunkiau, nei manyta anksčiau.
Shackel pabrėžia, kad iki šiol daugelis mokslininkų ir toli nuo mokslo žmonių bandė išspręsti Bertrando paradoksą. Tai vis dar įveikiama naudojant du skirtingus metodus.
Tos, kuriose buvo svarstomas skirtumas tarp nelygiaverčių problemų, ir tie, kuriuose problema visada buvo laikoma teisinga. Shackelis savo knygose cituoja LouisąMarinoffas (kaip tipiškas diferenciacijos strategijos eksponentas) ir Edwinas Jaynesas (kaip gerai apgalvotos teorijos autorius).
Tačiau naujausiame savo darbe Solving a Complex Problem Diederik Aerts ir Massimiliano Sassoli de Bianchi mano, kad norint išspręsti Bertrano paradoksą, reikia ieškoti prielaidų taikant mišrią strategiją. Pasak šių autorių, pirmiausia reikia išspręsti problemą, aiškiai nurodant atsitiktinės atrankos subjekto pobūdį. Ir tik tai padarius, bet kokia problema gali būti laikoma teisinga. Taip galvoja Džeinsas.
Taigi sprendžiant ją galima pasitelkti maksimalaus nežinojimo principą. Šiuo tikslu ir kadangi problema nenurodo, kaip reikia pasirinkti akordą, principas taikomas ne įvairių galimybių lygmenyje, o daug giliau.
Dalių pasirinkimas
Ši problemos dalis reikalauja apskaičiuoti metavidurkį visais įmanomais būdais, kuriuos autoriai vadina universaliu vidurkiu. Norėdami tai išspręsti, jie naudoja diskretizacijos metodą. Įkvėptas to, kas daroma apibrėžiant tikimybės dėsnį Vynerio procesuose. Jų rezultatas atitinka skaitinį Jayneso rezultatą, nors jų gerai iškelta problema skiriasi nuo pradinio autoriaus problemos.
Ekonomikos ir komercijos srityje Bertrano paradoksas, pavadintas jo kūrėjo Josepho Bertrando vardu, apibūdina situaciją, kai du žaidėjai (firmos) pasiekia Nešo pusiausvyrą. Kai abi firmos nustato ribiniams kaštams lygią kainą(MS).
Bertrando paradoksas pagrįstas prielaida. Taip yra dėl to, kad tokiuose modeliuose kaip Cournot konkurencija įmonių skaičiaus padidėjimas siejamas su kainų konvergencija su ribiniais kaštais. Šiuose alternatyviuose modeliuose Bertrano paradoksas yra kelių įmonių, kurios uždirba teigiamą pelną taikydamos kainas, viršijančias savikainą, oligopoliją.
Pradžioje verta daryti prielaidą, kad dvi įmonės A ir B parduoda vienarūšį produktą, kurių kiekvienos gamybos ir platinimo sąnaudos yra vienodos. Iš to išplaukia, kad pirkėjai prekę renkasi tik pagal kainą. Tai reiškia, kad paklausa yra be galo elastinga kainai. Nei A, nei B nenustatys didesnės kainos už kitus, nes dėl to visas Bertrano paradoksas žlugtų. Vienas iš rinkos dalyvių nusileis savo konkurentui. Jei nustato tą pačią kainą, įmonės pasidalins pelnu.
Kita vertus, jei kuri nors įmonė nors šiek tiek sumažins savo kainą, ji gaus visą rinką ir žymiai didesnę grąžą. Kadangi A ir B tai žino, kiekvienas bandys numušti konkurentą tol, kol produktas bus parduotas be jokio ekonominio pelno.
Neseniai atliktas darbas parodė, kad Bertrand mišrios strategijos paradokso pusiausvyra gali būti papildoma su teigiamu ekonominiu pelnu, jei monopolijos suma yra begalinė. Galutinio pelno atveju buvo parodyta, kad teigiamas kainų konkurencijos padidėjimas neįmanomas esant mišrioms pusiausvyroms ir netgi bendresniu atveju.susijusios sistemos.
Tiesą sakant, Bertrano paradoksas ekonomikoje retai pastebimas praktikoje, nes tikri produktai beveik visada skiriasi kažkuo, o ne kaina (pavyzdžiui, permokama už etiketę). Įmonės turi ribotas galimybes gaminti ir platinti. Štai kodėl dvi įmonės retai turi vienodas išlaidas.
Bertrand rezultatas yra paradoksalus, nes jei įmonių skaičius padidėja nuo vienos iki dviejų, kaina iš monopolijos krenta į konkurencingą ir išlieka tame pačiame lygyje kaip ir vėliau didėjančių įmonių skaičius. Tai nėra labai realu, nes iš tikrųjų rinkose, kuriose yra nedaug įmonių, turinčių galią rinkoje, paprastai taikomos kainos, viršijančios ribinius kaštus. Empirinė analizė rodo, kad dauguma pramonės šakų su dviem konkurentais generuoja teigiamą pelną.
Šiuolaikiniame pasaulyje mokslininkai bando rasti paradokso sprendimus, kurie labiau atitiktų Cournot konkurencijos modelį. Kai dvi įmonės rinkoje uždirba teigiamą pelną, kuris yra kažkur tarp tobulos konkurencijos ir monopolijos lygio.
Kai kurios priežastys, kodėl Bertrano paradoksas nėra tiesiogiai susijęs su ekonomika:
- Pajėgumo ribos. Kartais įmonės neturi pakankamai pajėgumų patenkinti visą paklausą. Pirmą kartą šį klausimą iškėlė Francis Edgeworth ir paskatino Bertrand-Edgeworth modelį.
- Sveikos kainos. Kainos, viršijančios MC, neįtraukiamos, nes viena įmonė gali atsitiktinai sumažinti kitą.mažas kiekis. Jei kainos yra atskiros (pavyzdžiui, jos turi būti sveikųjų skaičių), tada viena įmonė turi numušti kitą bent vienu rubliu. Tai reiškia, kad smulkios valiutos vertė viršija MC. Jei kita firma nustato jai didesnę kainą, kita įmonė gali ją sumažinti ir užimti visą rinką, Bertrano paradoksas būtent tai ir yra. Tai jai neduos jokios naudos. Ši įmonė mieliau dalinsis pardavimu 50/50 su kita įmone ir gaus tik teigiamas pajamas.
- Gaminių diferencijavimas. Jei skirtingų firmų produktai skiriasi viena nuo kitos, vartotojai gali ne visiškai pereiti prie pigesnių produktų.
- Dinaminė konkurencija. Pasikartojanti sąveika arba pakartotinė kainų konkurencija gali lemti vertės pusiausvyrą.
- Daugiau prekių už didesnę sumą. Tai išplaukia iš kartotinės sąveikos. Jei viena įmonė nustatys šiek tiek didesnę kainą, ji vis tiek gaus maždaug tiek pat pirkimų, bet daugiau pelno už prekę. Todėl kita įmonė padidins savo antkainį ir pan. (Tik pakartojimų metu, kitaip dinamika pasisuks kita kryptimi).
Oligopolija
Jei dvi įmonės gali susitarti dėl kainos, jos yra suinteresuotos laikytis susitarimo ilgalaikėje perspektyvoje: pajamos iš vertės mažinimo yra mažesnės nei dvigubai didesnės nei pajamos iš susitarimo laikymosi ir trunka tik tol, kol kita įmonė sumažins savo kainą. nuosavos kainos.
Teorijatikimybės (kaip ir visa kita matematika) iš tikrųjų yra naujausias išradimas. Ir plėtra nebuvo sklandi. Pirmuosius bandymus formalizuoti tikimybių skaičiavimą atliko markizas de Laplasas, kuris pasiūlė sąvoką apibrėžti kaip įvykių, vedančių į rezultatą, skaičiaus santykį.
Tai, žinoma, prasminga tik tuo atveju, jei visų galimų įvykių skaičius yra baigtinis. Be to, visi įvykiai yra vienodai tikėtini.
Taigi, tuo metu atrodė, kad šios sąvokos neturėjo tvirto pagrindo. Bandymai išplėsti apibrėžimą, kad jis apimtų begalinį įvykių skaičių, sukėlė dar didesnių sunkumų. Bertrano paradoksas yra vienas iš tokių atradimų, dėl kurių matematikai buvo atsargūs dėl visos tikimybės sampratos.
