Atsižvelgiant į figūras erdvėje, dažnai kyla problemų nustatant jų paviršiaus plotą. Viena iš tokių figūrų yra kūgis. Straipsnyje apsvarstykite, koks yra kūgio su apvaliu pagrindu, taip pat nupjautu kūgiu, šoninis paviršius.
Kūgis su apvaliu pagrindu
Prieš pradėdami svarstyti šoninį kūgio paviršių, parodysime, kokia tai figūra ir kaip ją gauti naudojant geometrinius metodus.
Paimkite stačiakampį trikampį ABC, kur AB ir AC yra kojos. Padėkime šį trikampį ant kojos AC ir pasukime aplink koją AB. Dėl to kraštinės AC ir BC apibūdina du toliau pateikto paveikslo paviršius.
Sukant gauta figūra vadinama apvaliu tiesiu kūgiu. Jis yra apvalus, nes jo pagrindas yra apskritimas, ir tiesus, nes statmuo, nubrėžtas iš figūros viršaus (taškas B), kerta apskritimą jo centre. Šio statmens ilgis vadinamas aukščiu. Akivaizdu, kad tai lygi kojai AB. Aukštis paprastai žymimas raide h.
Be aukščio, nagrinėjamas kūgis apibūdinamas dar dviem linijinėmis charakteristikomis:
- generavimas arba generatrix (hipotenūza BC);
- pagrindo spindulys (kojos AC).
Spindulys bus pažymėtas raide r, o generatorius - g. Tada, atsižvelgdami į Pitagoro teoremą, galime užrašyti nagrinėjamai figūrai svarbią lygybę:
g2=h2+ r2
Kūginis paviršius
Visų generatricų visuma sudaro kūginį arba šoninį kūgio paviršių. Iš išvaizdos sunku pasakyti, kurią plokščią figūrą ji atitinka. Pastarąjį svarbu žinoti nustatant kūginio paviršiaus plotą. Norėdami išspręsti šią problemą, naudojamas šlavimo metodas. Jį sudaro taip: paviršius mintyse išpjaunamas išilgai savavališkos generatrix, o tada išskleidžiamas plokštumoje. Taikant šį šlavimo metodą, susidaro tokia plokščia figūra.
Kaip galite atspėti, apskritimas atitinka pagrindą, tačiau apskritimas yra kūginis paviršius, kurio plotas mus domina. Sektorių riboja dvi generatricos ir lankas. Pastarojo ilgis yra tiksliai lygus pagrindo apskritimo perimetrui (ilgiui). Šios charakteristikos vienareikšmiškai lemia visas apskrito sektoriaus savybes. Mes nepateiksime tarpinių matematinių skaičiavimų, o iš karto užrašykite galutinę formulę, pagal kurią galite apskaičiuoti kūgio šoninio paviršiaus plotą. Formulė yra:
Sb=pigr
Kūginio paviršiaus plotas Sb yra lygus dviejų parametrų ir Pi sandaugai.
Nupjautas kūgis ir jo paviršius
Jei paimsime paprastą kūgį ir lygiagrečia plokštuma nupjausime jo viršūnę, likusi figūra bus nupjautas kūgis. Jo šoninį paviršių riboja du apvalūs pagrindai. Pažymime jų spindulius R ir r. Figūros aukštį žymime h, o generatrix – g. Žemiau yra šios figūros iškarpa iš popieriaus.
Matyti, kad šoninis paviršius nebėra apskritas sektorius, jis yra mažesnio ploto, nes nuo jo buvo nupjauta centrinė dalis. Kūrimas apsiriboja keturiomis linijomis, dvi iš jų yra tiesių linijų atkarpos-generatoriai, kitos dvi – lankai su atitinkamų nupjauto kūgio pagrindų apskritimų ilgiais.
Šoninis paviršius Sbapskaičiuojamas taip:
Sb=pig(r + R)
Generatrica, spinduliai ir aukštis yra susiję su šia lygybe:
g2=h2+ (R - r)2
Figūnų plotų lygybės problema
Duotas kūgis, kurio aukštis 20 cm, o pagrindo spindulys 8 cm. Reikia rasti nupjauto kūgio aukštį, kurio šoninio paviršiaus plotas bus toks pat kaip ir šio kūgio. Sutrumpinta figūra pastatyta ant to paties pagrindo, o viršutinio pagrindo spindulys yra 3 cm.
Pirmiausia užsirašykime kūgio ir nupjautos figūros plotų lygybės sąlygą. Turime:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Dabar parašykime kiekvienos formos generatricų išraiškas:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Pakeiskite g1 ir g2 į lygių plotų formulę ir kairę bei dešinę puses kvadratu, gausime:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Iš kur gauname išraišką h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Mes nesupaprastinsime šios lygybės, o tiesiog pakeisime duomenis, žinomus iš sąlygos:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Taigi, norint sulyginti figūrų šoninių paviršių plotus, nupjautas kūgis turi turėti parametrus: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
