Kūgio ploto formulės išvestis. Problemos sprendimo pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Erdvinių figūrų savybių tyrimas vaidina svarbų vaidmenį sprendžiant praktines problemas. Mokslas, nagrinėjantis figūras erdvėje, vadinamas stereometrija. Šiame straipsnyje kietosios geometrijos požiūriu apžvelgsime kūgį ir parodysime, kaip rasti kūgio plotą.

Kūgis su apvaliu pagrindu

Paprastu atveju kūgis yra paviršius, pastatytas ant kokios nors plokštumos kreivės, kurios visi taškai yra sujungti atkarpomis su vienu erdvės tašku. Pastaroji vadinama kūgio viršūne.

Iš pirmiau pateikto apibrėžimo aišku, kad kreivė gali turėti savavališką formą, pvz., parabolinę, hiperbolinę, elipsinę ir pan. Nepaisant to, praktikoje ir geometrijos problemose dažnai susiduriama su apvaliu kūgiu. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.

Čia simbolis r žymi apskritimo, esančio figūros pagrinde, spindulį, h yra statmena apskritimo plokštumai, nubrėžtai iš figūros viršaus. Tai vadinama aukščiu. Reikšmė s yra kūgio generatorius arba jo generatorius.

Matyti, kad atkarpos r, h ir ssuformuoti statųjį trikampį. Jei ji pasukta aplink koją h, tai hipotenuzė s apibūdins kūginį paviršių, o koja r sudaro apvalų figūros pagrindą. Dėl šios priežasties kūgis laikomas revoliucijos figūra. Trys pavadinti tiesiniai parametrai yra tarpusavyje susiję lygybe:

s²=r²+ h²

Atkreipkite dėmesį, kad pateikta lygybė galioja tik apvaliam tiesiam kūgiui. Tiesi figūra yra tik tada, kai jos aukštis patenka tiksliai į pagrindinio apskritimo centrą. Jei ši sąlyga neįvykdyta, figūra vadinama įstrižaine. Skirtumas tarp tiesių ir įstrižų kūgių parodytas toliau pateiktame paveikslėlyje.

Formos lavinimas

Kūgio paviršiaus ploto tyrimas yra patogus, atsižvelgiant į tai plokštumoje. Toks figūrų paviršiaus atvaizdavimo erdvėje būdas vadinamas jų vystymu. Kūgiui šį vystymąsi galima gauti taip: reikia paimti figūrą, pagamintą, pavyzdžiui, iš popieriaus. Tada žirklėmis nupjaukite apvalų pagrindą aplink perimetrą. Po to išilgai generatrix padarykite kūginio paviršiaus pjūvį ir pasukite jį į plokštumą. Šių paprastų operacijų rezultatas bus kūgio vystymasis, parodytas paveikslėlyje žemiau.

Kaip matote, kūgio paviršius iš tiesų gali būti pavaizduotas plokštumoje. Jį sudaro šios dvi dalys:

• apskritimas, kurio spindulys r reiškia figūros pagrindą;
• apvalus sektorius, kurio spindulys g, kuris yra kūginis paviršius.

Kūgio ploto formulė apima abiejų nesulenktų paviršių plotus.

Apskaičiuokite figūros paviršiaus plotą

Paskirstykime užduotį į du etapus. Pirmiausia randame kūgio pagrindo plotą, tada kūginio paviršiaus plotą.

Pirmąją problemos dalį lengva išspręsti. Kadangi yra nurodytas spindulys r, pakanka prisiminti atitinkamą apskritimo ploto išraišką, kad būtų galima apskaičiuoti pagrindo plotą. Užsirašykime:

S_o=pi × r²

Jei spindulys nežinomas, pirmiausia turėtumėte jį rasti naudodami santykio formulę tarp jo, aukščio ir generatoriaus.

Antra kūgio ploto nustatymo problemos dalis yra šiek tiek sudėtingesnė. Atkreipkite dėmesį, kad apskritimo sektorius yra pastatytas ant generatrix spindulio g ir yra ribojamas lanko, kurio ilgis lygus apskritimo perimetrui. Šis faktas leidžia užrašyti proporciją ir rasti nagrinėjamo sektoriaus kampą. Pažymėkime jį graikiška raide φ. Šis kampas bus lygus:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Žinodami apskritimo sektoriaus centrinį kampą φ, galite naudoti atitinkamą proporciją jo plotui rasti. Pažymėkime jį simboliu S_b. Jis bus lygus:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Tai yra, kūginio paviršiaus plotas atitinka generatoriaus g sandaugą, pagrindo spindulį r ir skaičių Pi.

Žinant, kokios yra abiejų sričiųapsvarstytus paviršius, galime parašyti galutinę kūgio ploto formulę:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Parašyta išraiška daro prielaidą, kad žinomi du tiesiniai kūgio parametrai, norint apskaičiuoti S. Jei g arba r nežinomi, juos galima rasti per aukštį h.

Kūgio ploto apskaičiavimo problema

Žinoma, kad apvalaus tiesaus kūgio aukštis lygus jo skersmeniui. Būtina apskaičiuoti figūros plotą, žinant, kad bitų pagrindo plotas yra 50 cm².

Žinodami apskritimo plotą, galite rasti figūros spindulį. Turime:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Dabar suraskime generatorių g pagal h ir r. Pagal sąlygą figūros aukštis h lygus dviem spinduliams r, tada:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Rastas g ir r formules reikia pakeisti viso kūgio ploto išraiškoje. Gauname:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Į gautą išraišką pakeičiame pagrindo plotą S_o ir užrašome atsakymą: S ≈ 161,8 cm².