Kiekvienas mokinys yra girdėjęs apie apvalų kūgį ir įsivaizduoja, kaip atrodo ši trimatė figūra. Šiame straipsnyje apibrėžiamas kūgio vystymasis, pateikiamos formulės, apibūdinančios jo charakteristikas, ir aprašoma, kaip jį sukonstruoti naudojant kompasą, transporterį ir tiesiąją.
Geometrinis apskritas kūgis
Pateikime geometrinį šios figūros apibrėžimą. Apvalus kūgis – tai paviršius, sudarytas iš tiesių atkarpų, jungiančių visus tam tikro apskritimo taškus su vienu erdvės tašku. Šis vienintelis taškas neturi priklausyti plokštumai, kurioje yra apskritimas. Jei imsime apskritimą, o ne apskritimą, tai šis metodas taip pat veda į kūgį.
Apskritimas vadinamas figūros pagrindu, jo apskritimas yra kryptis. Atkarpos, jungiančios tašką su kryptine linija, vadinamos generatoriais arba generatoriais, o taškas, kuriame jie susikerta, yra kūgio viršūnė.
Apvalus kūgis gali būti tiesus ir įstrižas. Abu skaičiai parodyti toliau esančiame paveikslėlyje.
Skirtumas tarp jų yra toks: jei statmuo nuo kūgio viršaus nukrenta tiksliai į apskritimo centrą, tada kūgis bus tiesus. Jam statmenas, vadinamas figūros aukščiu, yra jo ašies dalis. Jei kūgis yra įstrižas, aukštis ir ašis sudaro smailų kampą.
Dėl figūros paprastumo ir simetrijos toliau nagrinėsime tik dešiniojo kūgio su apvaliu pagrindu savybes.
Formos gavimas naudojant pasukimą
Prieš nagrinėjant kūgio paviršiaus raidą, naudinga žinoti, kaip šią erdvinę figūrą galima gauti naudojant sukimąsi.
Tarkime, kad turime statųjį trikampį su kraštinėmis a, b, c. Pirmosios dvi iš jų yra kojos, c yra hipotenuzė. Ant kojos a pastatykime trikampį ir pradėkime jį sukti aplink koją b. Tada hipotenuzė c apibūdins kūginį paviršių. Šis paprastas kūgio metodas parodytas toliau pateiktoje diagramoje.
Akivaizdu, kad kojelė a bus figūros pagrindo spindulys, koja b bus jos aukštis, o hipotenuzė c atitinka apvalaus dešiniojo kūgio generatorių.
Kūgio raidos vaizdas
Kaip galite atspėti, kūgį sudaro dviejų tipų paviršiai. Vienas iš jų yra plokščio pagrindo apskritimas. Tarkime, kad jo spindulys yra r. Antrasis paviršius yra šoninis ir vadinamas kūgiu. Tegul jo generatorius lygus g.
Jei turime popierinį kūgį, galime paimti žirkles ir nupjauti nuo jo pagrindą. Tada kūginis paviršius turi būti nupjautaspalei bet kurią generatrix ir dislokuoti ją lėktuve. Tokiu būdu mes gavome kūgio šoninio paviršiaus vystymąsi. Du paviršiai kartu su pradiniu kūgiu parodyti toliau pateiktoje diagramoje.
Pagrindinis apskritimas pavaizduotas apačioje dešinėje. Išskleistas kūgio formos paviršius rodomas centre. Pasirodo, jis atitinka kokį nors apskritimo apskritimo sektorių, kurio spindulys lygus generatoriaus g ilgiui.
Kampo ir ploto nubraukimas
Dabar gauname formules, kurios, naudojant žinomus parametrus g ir r, leidžia apskaičiuoti kūgio plotą ir kampą.
Akivaizdu, kad aukščiau pavaizduoto apskritimo sektoriaus lanko ilgis yra lygus pagrindo perimetrui, tai yra:
l=2pir.
Jei būtų pastatytas visas apskritimas, kurio spindulys g, jo ilgis būtų:
L=2pig.
Kadangi ilgis L atitinka 2pi radianus, tai kampą, į kurį remiasi lankas l, galima nustatyti pagal atitinkamą proporciją:
L==>2pi;
l==> φ.
Tada nežinomas kampas φ bus lygus:
φ=2pil/L.
Pakeitę ilgių l ir L išraiškas, gauname kūgio šoninio paviršiaus išsivystymo kampo formulę:
φ=2pir/g.
Kampas φ čia išreiškiamas radianais.
Norėdami nustatyti apskritimo sektoriaus plotą Sb, naudosime rastą φ reikšmę. Padarome dar vieną proporciją, tik sritims. Turime:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Iš kur išreikšti Sb, tada pakeiskite kampo φ reikšmę. Gauname:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Kūginio paviršiaus plotui mes gavome gana kompaktišką formulę. Sb reikšmė yra lygi trijų faktorių sandaugai: pi, figūros spindulio ir jos generatoriaus.
Tada viso figūros paviršiaus plotas bus lygus Sb ir So sumai (apskritimas bazinis plotas). Gauname formulę:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kūgio statymas ant popieriaus
Norėdami atlikti šią užduotį, jums reikės popieriaus lapo, pieštuko, transporterio, liniuotės ir kompaso.
Visų pirma nubrėžkime stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3 cm, 4 cm ir 5 cm, jo pasukimas aplink koją 3 cm suteiks norimą kūgį. Figūra turi r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Sweep kūrimas prasidės nubrėžus apskritimą, kurio spindulys r kompasu. Jo ilgis bus lygus 6pi cm Dabar šalia nubrėžsime kitą apskritimą, bet spinduliu g. Jo ilgis atitiks 10pi cm Dabar turime nupjauti apskritą sektorių iš didelio apskritimo. Jo kampas φ yra:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Dabar atidedame šį kampą su skersmeniu apskritime, kurio spindulys g, ir nubrėžiame du spindulius, kurie apribos apskritimo sektorių.
TaigiTaigi sukūrėme kūgio vystymąsi su nurodytais spindulio, aukščio ir generatoriaus parametrais.
Geometrinės problemos sprendimo pavyzdys
Duotas apvalus tiesus kūgis. Yra žinoma, kad jo šoninio posūkio kampas yra 120o. Būtina rasti šios figūros spindulį ir generatorių, jei žinoma, kad kūgio aukštis h yra 10 cm.
Užduotis nėra sudėtinga, jei prisiminsime, kad apvalus kūgis yra stačiojo trikampio sukimosi figūra. Iš šio trikampio išplaukia nedviprasmiškas santykis tarp aukščio, spindulio ir generatrix. Parašykime atitinkamą formulę:
g2=h2+ r2.
Antra išraiška, naudojama sprendžiant, yra kampo formulė φ:
φ=2pir/g.
Taigi turime dvi lygtis, susijusias su dviem nežinomais dydžiais (r ir g).
Išreikškite g iš antrosios formulės ir pakeiskite rezultatą į pirmą, gausime:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Kampas φ=120o radianais yra 2pi/3. Pakeičiame šią reikšmę ir gauname galutines r ir g formules:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Belieka pakeisti aukščio reikšmę ir gauti atsakymą į probleminį klausimą: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
