Goldbacho problema yra viena iš seniausių ir labiausiai sudomintų problemų visos matematikos istorijoje.
Įrodyta, kad šis spėjimas yra teisingas visiems sveikiesiems skaičiams, mažesniems nei 4 × 1018, tačiau jis lieka neįrodytas, nepaisant didelių matematikų pastangų.
Skaičius
Goldbacho skaičius yra teigiamas lyginis sveikasis skaičius, kuris yra nelyginių pirmųjų skaitmenų poros suma. Kita Goldbacho spėliojimo forma yra ta, kad visi lyginiai sveikieji skaičiai, didesni už keturis, yra Goldbacho skaičiai.
Tokių skaičių atskyrimas vadinamas Goldbacho skaidiniu (arba skaidiniu). Toliau pateikiami kai kurių lyginių skaičių panašių skilčių pavyzdžiai:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Hipotezės atradimas
Goldbachas turėjo kolegą Euleris, kuris mėgo skaičiuoti, rašyti sudėtingas formules ir kelti neišsprendžiamas teorijas. Tuo jie buvo panašūs į Goldbachą. Panašią matematinę mįslę Euleris užminė dar prieš Goldbachą, su kuriuo jisnuolatinis susirašinėjimas. Tada jis pasiūlė antrą pasiūlymą savo rankraščio paraštėje, pagal kurį sveikasis skaičius, didesnis nei 2, gali būti parašytas kaip trijų pirminių skaitmenų suma. Jis laikė 1 pirminiu skaičiumi.
Dabar žinoma, kad šios dvi hipotezės yra panašios, tačiau tuo metu tai nebuvo problema. Šiuolaikinė Goldbacho problemos versija teigia, kad kiekvienas sveikasis skaičius, didesnis nei 5, gali būti parašytas kaip trijų pirminių skaičių suma. Euleris atsakė 1742 m. birželio 30 d. laiške ir priminė Goldbachą apie ankstesnį jų pokalbį („… taigi mes kalbame apie pirminę (o ne ribinę) hipotezę, kylančią iš šio teiginio“).
Eulerio-Goldbacho problema
2 ir jo lyginiai skaičiai gali būti užrašyti kaip dviejų pirminių skaičių suma, o tai taip pat yra Goldbacho spėjimas. 1742 m. birželio 30 d. laiške Euleris pareiškė, kad kiekvienas lyginis sveikasis skaičius yra dviejų pirminių skaičių pridėjimo rezultatas, o tai, jo manymu, yra aiškiai apibrėžta teorema, nors negali to įrodyti.
Trečia versija
Trečioji Goldbacho problemos versija (atitinka kitoms dviem versijoms) yra tokia forma, kuria šiandien dažniausiai pateikiamos spėlionės. Jis taip pat žinomas kaip „stiprus“, „lyginis“arba „dvejetainis“Goldbacho spėjimas, siekiant atskirti jį nuo silpnesnės hipotezės, šiandien žinomos kaip „silpnoji“, „keistoji“arba „trinarė“Goldbacho prielaida. Silpnas spėjimas teigia, kad visi nelyginiai skaičiai, didesni už 7, yra trijų nelyginių pirmųjų skaičių suma. Silpnas spėjimas pasitvirtino 2013 m. Silpna hipotezė yrastiprios hipotezės pasekmė. Atvirkštinė pasekmė ir tvirtas Goldbacho spėjimas lieka neįrodytas iki šiol.
Patikrinti
Esant mažoms n reikšmėms, Goldbacho problema (taigi ir Goldbacho prielaida) gali būti patikrinta. Pavyzdžiui, Nilsas Pippingas 1938 m. kruopščiai patikrino hipotezę iki n ≦ 105. Atsiradus pirmiesiems kompiuteriams, buvo apskaičiuota daug daugiau n reikšmių.
Oliveira Silva atliko paskirstytą kompiuterinę paiešką, kuri patvirtino hipotezę, kad n ≦ 4 × 1018 (ir dvigubai patikrinta iki 4 × 1017) 2013 m. Vienas iš šios paieškos įrašų yra toks, kad 3 325 581 707 333 960 528 yra mažiausias skaičius, neturintis Goldbacho padalijimo, kurio pirminis skaičius yra mažesnis nei 9781.
Euristika
Goldbacho spėliojimo stipriosios formos versija yra tokia: kadangi dydis linkęs į begalybę, kai n didėja, tikimės, kad kiekvienas didelis lyginis sveikasis skaičius turi daugiau nei vieną atvaizdavimą kaip dviejų pirminių skaičių sumą. Tačiau iš tikrųjų tokių vaizdų yra labai daug. Kas išsprendė Goldbacho problemą? Deja, vis dar niekas.
Šis euristinis argumentas iš tikrųjų yra šiek tiek netikslus, nes daroma prielaida, kad m statistiškai nepriklauso nuo n. Pavyzdžiui, jei m yra nelyginis, tada n - m taip pat yra nelyginis, o jei m yra lyginis, tada n - m yra lyginis, ir tai yra netrivialus (sudėtingas) ryšys, nes be skaičiaus 2, tik nelyginis skaičiai gali būti pirminiai. Panašiai, jei n dalijasi iš 3 ir m jau buvo ne 3 pirminis, tada n - m taip pat yra abipusiaipirminis skaičius su 3, todėl labiau tikėtina, kad jis bus pirminis skaičius, o ne bendras skaičius. Atidžiau atlikdami tokio tipo analizę, Hardy ir Littlewood 1923 m., kaip dalis savo garsiosios Hardy-Littlewood paprastos kortelės spėlionės, padarė minėtą visos teorijos patobulinimą. Tačiau tai iki šiol nepadėjo išspręsti problemos.
Tvirta hipotezė
Stiprus Goldbacho spėjimas yra daug sudėtingesnis nei silpnas Goldbacho spėjimas. Vėliau Shnirelmanas įrodė, kad bet koks natūralusis skaičius, didesnis nei 1, gali būti parašytas daugiausiai C pirminių skaičių suma, kur C yra efektyviai apskaičiuojama konstanta. Daugelis matematikų bandė tai išspręsti, skaičiuodami ir daugindami skaičius, siūlydami sudėtingas formules ir kt. Tačiau jiems niekada nepavyko, nes hipotezė pernelyg sudėtinga. Jokios formulės nepadėjo.
Tačiau verta šiek tiek nutolti nuo klausimo, kaip įrodyti Goldbacho problemą. Shnirelmano konstanta yra mažiausias C skaičius, turintis šią savybę. Pats Shnirelmanas gavo C <800 000. Vėliau šį rezultatą papildė daugelis autorių, tokių kaip Olivier Ramaret, kuris 1995 m. parodė, kad kiekvienas lyginis skaičius n ≧ 4 iš tikrųjų yra daugiausia šešių pirminių skaičių suma. Garsiausias rezultatas, šiuo metu siejamas su Haraldo Helfgotto Goldbacho teorija.
Tolesnė plėtra
1924 m. Hardy ir Littlewood manė, kad G. R. H. parodė, kad lyginių skaičių iki X, pažeidžiančių dvejetainę Goldbacho problemą, yra daug mažiau nei mažų c.
1973 m. Chen JingyunBandžiau išspręsti šią problemą, bet nepavyko. Jis taip pat buvo matematikas, todėl labai mėgo įminti mįsles ir įrodinėti teoremas.
1975 m. du amerikiečių matematikai parodė, kad yra teigiamų konstantų c ir C – tų, kurių N yra pakankamai didelis. Visų pirma, lyginių sveikųjų skaičių aibės tankis yra nulinis. Visa tai buvo naudinga sprendžiant trejetą Goldbacho problemą, kuri įvyks ateityje.
1951 m. Linnikas įrodė pastovios K egzistavimą taip, kad kiekvienas pakankamai didelis lyginis skaičius yra vienas prie kito sudėjus vieną pirminį ir kitą pirminį skaičių. Roger Heath-Brown ir Jan-Christoph Schlage-Puchta 2002 m. nustatė, kad K=13 veikia. Tai labai įdomu visiems žmonėms, kurie mėgsta pridėti vienas prie kito, sudėti skirtingus skaičius ir pamatyti, kas atsitiks.
Goldbacho problemos sprendimas
Kaip ir daugelio gerai žinomų matematikos spėjimų atveju, yra nemažai tariamų Goldbacho spėlionių įrodymų, kurių nė vienas nepriima matematikų bendruomenė.
Nors Goldbacho spėjimas reiškia, kad kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vienetą, gali būti užrašytas kaip daugiausia trijų pirminių skaičių suma, ne visada įmanoma tokią sumą rasti naudojant gobšų algoritmą, kuris naudoja didžiausią įmanomą pirminį skaičių. kiekviename žingsnyje. Pillai seka seka skaičius, kuriems reikia daugiausiai pirminių skaitmenų jų gobšiame atvaizdavime. Todėl Goldbacho problemos sprendimasvis dar kyla klausimas. Nepaisant to, anksčiau ar vėliau tai greičiausiai bus išspręsta.
Yra teorijų, panašių į Goldbacho problemą, kai pirminiai skaičiai pakeičiami kitomis specifinėmis skaičių rinkiniais, pvz., kvadratais.
Christian Goldbach
Christianas Goldbachas buvo vokiečių matematikas, taip pat studijavęs teisę. Šiandien jis prisimenamas dėl Goldbacho spėjimo.
Visą gyvenimą dirbo matematiku – labai mėgo sudėti skaičius, sugalvoti naujas formules. Taip pat mokėjo keletą kalbų, kurių kiekviena rašė savo asmeninį dienoraštį. Šios kalbos buvo vokiečių, prancūzų, italų ir rusų. Be to, kai kurių š altinių teigimu, jis kalbėjo angliškai ir lotyniškai. Per savo gyvenimą jis buvo žinomas kaip gana gerai žinomas matematikas. Goldbachas taip pat buvo gana glaudžiai susijęs su Rusija, nes turėjo daug rusų kolegų ir asmeninio karališkosios šeimos palankumo.
Jis toliau dirbo 1725 m. naujai atidarytoje Sankt Peterburgo mokslų akademijoje matematikos profesoriumi ir akademijos istoriku. 1728 m., Petrui II tapus Rusijos caru, Goldbachas tapo jo globėju. 1742 m. įstojo į Rusijos užsienio reikalų ministeriją. Tai yra, jis iš tikrųjų dirbo mūsų šalyje. Tuo metu į Rusiją atvyko daug mokslininkų, rašytojų, filosofų ir kariškių, nes Rusija tuo metu buvo galimybių šalis kaip Amerika. Daugelis čia padarė karjerą. Ir mūsų herojus nėra išimtis.
Christianas Goldbachas buvo daugiakalbis – rašė dienoraštį vokiečių ir lotynų kalbomis, savo laiškusbuvo parašyti vokiečių, lotynų, prancūzų ir italų kalbomis, o oficialiems dokumentams jis naudojo rusų, vokiečių ir lotynų kalbas.
Jis mirė 1764 m. lapkričio 20 d., būdamas 74 metų Maskvoje. Diena, kai bus išspręsta Goldbacho problema, bus tinkama duoklė jo atminimui.
Išvada
Goldbachas buvo puikus matematikas, atskleidęs mums vieną didžiausių šio mokslo paslapčių. Nežinia, ar jis kada nors bus išspręstas, ar ne. Žinome tik tai, kad jo tariama rezoliucija, kaip ir Ferma teoremos atveju, atvers matematikai naujas perspektyvas. Matematikai labai mėgsta tai spręsti ir analizuoti. Euristiniu požiūriu tai labai įdomu ir smalsu. Netgi matematikos studentai mėgsta spręsti Goldbacho problemą. Kaip kitaip? Juk jaunimą nuolat traukia viskas, kas šviesu, ambicinga ir nesprendžiama, nes įveikęs sunkumus galima apsireikšti. Tikėkimės, kad greitai šią problemą išspręs jauni, ambicingi, smalsūs protai.
