Logaritmai: pavyzdžiai ir sprendimai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų eksponentai visada sumuojasi (a^ba^c=a^{b+ c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą iki paprasto sudėjimo. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.}

Matematikos apibrėžimas

Logaritmas yra šios formos išraiška: log_ab=c c“, į kurią reikia pakelti bazę „a“, kad pagaliau gautumėte reikšmę „ b . Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log_{28. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia susirasti tokį laipsnį, kad nuo 2 iki reikiamo laipsnio gautum 8. Mintyse atlikę skaičiavimus, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes2 pakeltas iki 3 laipsnio suteikia atsakymą 8.}

Logaritmų įvairovė

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys skirtingos logaritminių išraiškų rūšys:

Natūralus logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e=2, 7).
Dešimtainis logaritmas lg a, kur pagrindas yra skaičius 10.
Bet kurio skaičiaus b logaritmas iki bazės a>1.

Kiekvienas iš jų išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį sumažinimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norint gauti teisingas logaritmų reikšmes, reikia atsiminti jų savybes ir veiksmų tvarką jas sprendžiant.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra kelios taisyklės-apribojimai, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie yra nediskutuotini ir yra teisingi. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma paimti lyginės šaknies iš neigiamų skaičių. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

„a“bazė visada turi būti didesnė už nulį ir tuo pačiu metu negali būti lygi 1, kitaip išraiška praras savo reikšmę, nes „1“ir „0“bet kokiu laipsniu visada yra lygus jų vertėms;
jei > 0, tada ab>0,pasirodo, kad "c" taip pat turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, davus užduotį rasti atsakymą į lygtį 10^x=100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti tokią galią, keliant skaičių dešimt, mes gauti 100. Tai, žinoma, Na, kvadratinė galia! 10^2=100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką kaip logaritminę. Gauname log_{10100=2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad būtų galima rasti laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.}

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninę mąstyseną ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms reikės maitinimo lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie visiškai nieko nesupranta sudėtingose matematinėse temose. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinėje skaičių eilutėje yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliai apibrėžia skaičių, kurie yra atsakymas, reikšmes (ac=b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, kad kadaTam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos kaip logaritminė lygtis. Pavyzdžiui, 3⁴=81 gali būti parašytas kaip logaritmas nuo 81 iki 3 bazės, kuri yra keturi (log₃81=4). Neigiamiems laipsniams taisyklės yra tos pačios: 2^-5=1/32 parašyta kaip logaritmas, gauname log_{2 (1/32)=-5. Viena patraukliausių matematikos skyrių yra „logaritmų“tema. Lygčių pavyzdžius ir sprendimus svarstysime šiek tiek žemiau, iš karto ištyrę jų savybes. Kol kas pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.}

Duota tokia išraiška: log_{2(x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmas. Išraiška taip pat lygina dvi reikšmes: norimo skaičiaus bazinis dviejų logaritmas yra didesnis nei skaičius trys.}

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdys – logaritmas₂x=√9) _{reiškia atsakyme viena ar kelios konkrečios skaitinės reikšmės, o sprendžiant nelygybę nustatomas ir priimtinų reikšmių diapazonas, ir šios funkcijos lūžio taškai. Dėl to atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.}

Pagrindinės logaritmų teoremos

Spręsdami primityvias užduotis, norėdami rasti logaritmo reikšmes, galite nežinoti jo savybių. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Su lygčių pavyzdžiais susipažinsime vėliau, pirmiausia išanalizuokime kiekvieną savybę išsamiau.

Pagrindinė tapatybė atrodo taip: alogaB=B. Tai taikoma tik tuo atveju, jei a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.

Gaminio logaritmą galima pavaizduoti pagal šią formulę: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s}1 _{ir s}2 _{> 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritmų formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Leiskite log}a_s1 _=f1 _{ir log}a_s 2_=f2_{, tada a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Gavome, kad s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(laipsnio savybės), o toliau pagal apibrėžimą: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{kas turėjo būti įrodyta.}

Datuto logaritmas atrodo taip: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Teorema formulės pavidalu yra tokia: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi įprastais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Tegul log_ab=t, gauname a^t=b. Jei padidinsite abi puses iki m laipsnio: a^tn=b^;

bet todėl, kad a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, taigi log}aq _bn=(nt)/t, tada log^a_q b_n=n/q log^ab. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausi logaritmo uždavinių tipai yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat įtraukiami į privalomą matematikos egzaminų dalį. Norėdami įstoti į universitetą arba išlaikyti stojamuosius matematikos testus, turite žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Spręsdami logaritmines lygtis,būtina nustatyti, kokį logaritmą turime prieš mus: išraiškos pavyzdyje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai dešimtainių logaritmų pavyzdžiai: ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad reikia nustatyti, kokiu laipsniu bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Natūralių logaritmų sprendiniams reikia taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmines formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

Dauginės logaritmo savybę galima naudoti atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=žurnalas_{2512. Atsakymas yra 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - kaip matote, pritaikius ketvirtąją logaritmo laipsnio savybę, iš pirmo žvilgsnio pavyko išspręsti sudėtinga ir neišsprendžiama išraiška. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai apskaičiuoti bazę ir tada atimti logaritmo ženklo galią.}

natūraliųjų logaritmų sprendimų pavyzdžiai

Užduotys iš egzamino

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningajame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys yra ne tik A dalyje (daugiausialengva bandomoji egzamino dalis), bet ir C dalis (sunkiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminui reikia tiksliai ir nepriekaištingai išmanyti temą „Natūralūs logaritmai“.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialių egzamino versijų. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duota log₂(2x-1)=4. Sprendimas:

perrašykite išraišką, šiek tiek supaprastindami log_2(2x-1)=22^{, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1=2}4^{, taigi 2x=17; x=8, 5.}

Vadovaujantis keliomis gairėmis, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išspręsti visas lygtis su išraiškomis, kurios yra po logaritmo ženklu.

Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl dauginant reiškinio, esančio po logaritmo ženklą, eksponentą ir kaip jo bazę, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.