Vektorius yra svarbus geometrinis objektas, jo savybių pagalba patogu išspręsti daugybę problemų plokštumoje ir erdvėje. Šiame straipsnyje mes jį apibūdinsime, apsvarstysime pagrindines jo charakteristikas, taip pat parodysime, kaip vektorius erdvėje gali būti naudojamas plokštumoms apibrėžti.
Kas yra vektorius: dvimatis atvejis
Pirmiausia būtina aiškiai suprasti, apie kokį objektą kalbame. Geometrijoje nukreipta atkarpa vadinama vektoriumi. Kaip ir bet kuriam segmentui, jam būdingi du pagrindiniai elementai: pradžios ir pabaigos taškai. Šių taškų koordinatės vienareikšmiškai nustato visas vektoriaus charakteristikas.
Panagrinėkime vektoriaus plokštumoje pavyzdį. Norėdami tai padaryti, nubrėžiame dvi viena kitai statmenas ašis x ir y. Pažymėkime savavališką tašką P(x, y). Jei prijungsime šį tašką prie pradžios (taško O), o tada nurodysime kryptį į P, tada gausime vektorių OP¯ (vėliau straipsnyje juosta virš simbolio rodo, kad mes svarstome vektorių). Vektorinis piešinys plokštumoje parodytas žemiau.
Čia taip pat rodomas kitas vektorius AB¯, ir matote, kad jo charakteristikos yra lygiai tokios pačios kaip OP¯, tačiau jis yra kitoje koordinačių sistemos dalyje. Lygiagrečiai verčiant OP¯, galite gauti begalinį skaičių vektorių, turinčių tas pačias savybes.
Vektorius erdvėje
Visi realūs mus supantys objektai yra trimatėje erdvėje. Trimačių figūrų geometrinių savybių tyrimas susijęs su stereometrija, kuri veikia su trimačių vektorių samprata. Jie skiriasi nuo dvimačių tik tuo, kad jų aprašymui reikia papildomos koordinatės, kuri matuojama išilgai trečiosios statmenos x ir y ašies z.
Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas vektorius erdvėje. Jo galo koordinatės išilgai kiekvienos ašies pažymėtos spalvotais segmentais. Vektoriaus pradžia yra visų trijų koordinačių ašių susikirtimo taške, tai yra, jis turi koordinates (0; 0; 0).
Kadangi vektorius plokštumoje yra ypatingas erdviškai nukreiptos atkarpos atvejis, straipsnyje nagrinėsime tik trimatį vektorių.
Vektoriaus koordinatės, pagrįstos žinomomis jo pradžios ir pabaigos koordinatėmis
Tarkime, kad yra du taškai P(x1; y1; z1) ir Q(x2; y2; z2). Kaip nustatyti vektoriaus PQ¯ koordinates. Pirmiausia reikia susitarti, kuris iš taškų bus vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga. Matematikoje nagrinėjamą objektą įprasta rašyti jo kryptimi, tai yra, P yra pradžia, Q- pabaiga. Antra, vektoriaus PQ¯ koordinatės apskaičiuojamos kaip skirtumas tarp atitinkamų pabaigos ir pradžios koordinačių, tai yra:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Atkreipkite dėmesį, kad pakeitus vektoriaus kryptį, jo koordinatės pakeis ženklą, kaip nurodyta:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Tai reiškia, kad PQ¯=-QP¯.
Svarbu suprasti dar vieną dalyką. Aukščiau buvo pasakyta, kad plokštumoje yra begalinis vektorių skaičius, lygus duotam. Šis faktas galioja ir erdviniam atvejui. Tiesą sakant, kai apskaičiavome PQ¯ koordinates aukščiau esančiame pavyzdyje, atlikome šio vektoriaus lygiagretaus vertimo operaciją taip, kad jo kilmė sutapo su pradžia. Vektorius PQ¯ gali būti nubrėžtas kaip nukreiptas segmentas nuo pradžios iki taško M((x2 - x1; y2 – y; z2 – z1).
Vektoriaus savybės
Kaip ir bet kuris geometrinis objektas, vektorius turi tam tikrų būdingų savybių, kurias galima naudoti sprendžiant problemas. Trumpai juos išvardinkime.
Vektoriaus modulis yra nukreiptos atkarpos ilgis. Žinant koordinates, nesunku jas apskaičiuoti. Pirmiau pateiktame pavyzdyje vektoriaus PQ¯ modulis yra:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektoriaus modulis įjungtasplokštuma apskaičiuojama pagal panašią formulę, tik nedalyvaujant trečiajai koordinatei.
Vektorių suma ir skirtumas atliekami pagal trikampio taisyklę. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip pridėti ir atimti šiuos objektus.
Norėdami gauti sumos vektorių, pridėkite antrojo pradžią prie pirmojo vektoriaus pabaigos. Norimas vektorius prasidės pirmojo vektoriaus pradžioje ir baigsis antrojo vektoriaus pabaigoje.
Skirtumas atliekamas atsižvelgiant į tai, kad atimtas vektorius pakeičiamas priešingu, o tada atliekama aukščiau aprašyta sudėjimo operacija.
Be sudėjimo ir atimties, svarbu mokėti padauginti vektorių iš skaičiaus. Jei skaičius lygus k, tada gaunamas vektorius, kurio modulis k kartų skiriasi nuo pradinio, o kryptis yra tokia pati (k>0) arba priešinga pradinei (k<0).
Taip pat apibrėžta vektorių daugybos tarpusavyje operacija. Tam straipsnyje išskirsime atskirą pastraipą.
Skaliarinė ir vektorinė daugyba
Tarkime, kad yra du vektoriai u¯(x1; y1; z1) ir v¯(x2; y2; z2). Vektorius pagal vektorius gali būti dauginamas dviem skirtingais būdais:
- Skaliarinis. Šiuo atveju rezultatas yra skaičius.
- Vektorius. Rezultatas yra naujas vektorius.
Vektorių u¯ ir v¯ skaliarinė sandauga apskaičiuojama taip:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kur α yra kampas tarp nurodytų vektorių.
Galima parodyti, kad žinant koordinates u¯ ir v¯, jų taškinę sandaugą galima apskaičiuoti naudojant šią formulę:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skaliarinį sandaugą patogu naudoti skaidant vektorių į du statmenai nukreiptus segmentus. Jis taip pat naudojamas vektorių lygiagretumui arba ortogonalumui apskaičiuoti ir kampui tarp jų apskaičiuoti.
U¯ ir v¯ kryžminė sandauga suteikia naują vektorių, statmeną pradiniams ir kurio modulis:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Naujojo vektoriaus kryptis žemyn arba aukštyn nustatoma pagal dešinės rankos taisyklę (keturi dešinės rankos pirštai nukreipti nuo pirmojo vektoriaus galo iki antrojo galo, o nykštis pakyla aukštyn nurodo naujojo vektoriaus kryptį). Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas savavališko a¯ ir b¯ kryžminio sandaugos rezultatas.
Kryžminė sandauga naudojama figūrų plotams apskaičiuoti, taip pat vektoriaus, statmeno duotai plokštumai, koordinatėms nustatyti.
Vektorius ir jų savybes patogu naudoti apibrėžiant plokštumos lygtį.
Normalioji ir bendroji plokštumos lygtis
Yra keletas būdų, kaip apibrėžti plokštumą. Vienas iš jų yra bendrosios plokštumos lygties išvedimas, kuris tiesiogiai išplaukia iš jai statmeno vektoriaus ir kokio nors žinomo plokštumai priklausančio taško žinojimo.
Tarkime, kad yra vektorius n¯ (A; B; C) ir taškas P (x0; y0; z 0). Kokia sąlyga tenkins visus plokštumos Q(x; y; z) taškus? Ši sąlyga susideda iš bet kurio vektoriaus PQ¯ statmenumo normaliajam n¯. Dviejų statmenų vektorių taškinė sandauga tampa lygi nuliu (cos(90o)=0), parašykite taip:
(n¯PQ¯)=0 arba
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Atverę skliaustus, gauname:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 arba
Ax + By + Cz +D=0, kur D=-Ax0-By0-Cz0.
Ši lygtis vadinama bendra plokštumos. Matome, kad koeficientai priešais x, y ir z yra statmeno vektoriaus n¯ koordinatės. Tai vadinama lėktuvo vadovu.
Plokštumos vektorinė parametrinė lygtis
Antras būdas apibrėžti plokštumą yra naudoti du joje esančius vektorius.
Tarkime, kad yra vektorių u¯(x1; y1; z1) ir v¯(x2; y2; z2). Kaip buvo sakyta, kiekvienas iš jų erdvėje gali būti pavaizduotas begaliniu skaičiumi vienodų nukreiptų atkarpų, todėl norint vienareikšmiškai nustatyti plokštumą, reikia dar vieno taško. Tegul šis taškas yra P(x0;y0; z0). Bet kuris taškas Q(x; y; z) bus norimoje plokštumoje, jei vektorius PQ¯ gali būti pavaizduotas kaip u¯ ir v¯ derinys. Tai yra, mes turime:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kur α ir β yra tikrieji skaičiai. Iš šios lygybės atsiranda posakis:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Tai vadinama parametrine vektorine plokštumos lygtimi 2 vektorių u¯ ir v¯ atžvilgiu. Pakeitus savavališkus parametrus α ir β, galima rasti visus šiai plokštumai priklausančius taškus (x; y; z).
Iš šios lygties nesunku gauti bendrąją plokštumos išraišką. Tam pakanka rasti krypties vektorių n¯, kuris bus statmenas abiem vektoriams u¯ ir v¯, tai yra turi būti taikoma jų vektorinė sandauga.
Bendrosios plokštumos lygties nustatymo problema
Parodykime, kaip naudoti aukščiau pateiktas formules geometriniams uždaviniams spręsti. Tarkime, kad plokštumos krypties vektorius yra n¯(5; -3; 1). Turėtumėte rasti plokštumos lygtį, žinodami, kad jai priklauso taškas P(2; 0; 0).
Bendroji lygtis parašyta taip:
Ax + By + Cz +D=0.
Kadangi vektorius, statmenas plokštumai, žinomas, lygtis bus tokia:
5x - 3y + z +D=0.
Belieka rasti laisvąjį terminą D. Skaičiuojame pagal koordinačių žinojimą P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Taigi, norima plokštumos lygtis yra tokia:
5x - 3y + z -10=0.
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo gauta plokštuma.
Nurodytos taškų koordinatės atitinka plokštumos susikirtimus su x, y ir z ašimis.
Plokštumos nustatymo per du vektorius ir tašką problema
Dabar tarkime, kad ankstesnė plokštuma apibrėžta kitaip. Žinomi du vektoriai u¯(-2; 0; 10) ir v¯(-2; -10/3; 0), taip pat taškas P(2; 0; 0). Kaip parašyti plokštumos lygtį vektorine parametrine forma? Naudodami atitinkamą formulę, gauname:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Atkreipkite dėmesį, kad šios plokštumos lygties apibrėžimai, vektoriai u¯ ir v¯ gali būti priimti visiškai bet kokie, tačiau su viena sąlyga: jie neturi būti lygiagretūs. Priešingu atveju plokštuma negali būti vienareikšmiškai nustatyta, tačiau galima rasti pluošto arba plokštumų rinkinio lygtį.
