Matricos ir determinantai buvo aptikti XVIII ir XIX a. Iš pradžių jų kūrimas buvo susijęs su geometrinių objektų transformavimu ir tiesinių lygčių sistemų sprendimu. Istoriškai ankstyvas dėmesys buvo skiriamas lemiamam veiksniui. Šiuolaikiniuose tiesinės algebros apdorojimo metoduose pirmiausia atsižvelgiama į matricas. Verta kurį laiką apmąstyti šį klausimą.
Atsakymai iš šios žinių srities
Matricos yra teoriškai ir praktiškai naudingas būdas išspręsti daugelį problemų, tokių kaip:
- tiesinių lygčių sistemos;
- kietųjų kūnų pusiausvyra (fizikoje);
- grafų teorija;
- Leontiefo ekonominis modelis;
- miškininkystė;
- kompiuterinė grafika ir tomografija;
- genetika;
- kriptografija;
- elektros tinklai;
- fraktalas.
Tiesą sakant, „manekenų“matricinė algebra turi supaprastintą apibrėžimą. Ji išreiškiama taip: tai mokslo žinių sritis, kuriojenagrinėjamos vertybės yra ištirtos, analizuojamos ir visapusiškai ištirtos. Šioje algebros dalyje tiriamos įvairios operacijos su tiriamomis matricomis.
Kaip dirbti su matricomis
Šios reikšmės laikomos lygiomis, jei jų matmenys yra vienodi ir kiekvienas vieno elementas yra lygus atitinkamam kito elementui. Matricą galima padauginti iš bet kurios konstantos. Tai vadinama skaliariniu daugyba. Pavyzdys: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
To paties dydžio matricas galima pridėti ir atimti pagal įvestis, o suderinamų dydžių vertes galima padauginti. Pavyzdys: pridėkite du A ir B: A=[21–10]B=[1423]. Tai įmanoma, nes A ir B yra matricos su dviem eilėmis ir tiek pat stulpelių. Kiekvieną A elementą reikia pridėti prie atitinkamo elemento B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matricos algebroje atimamos taip pat.
Matricos daugyba veikia šiek tiek kitaip. Be to, gali būti daug atvejų ir galimybių, taip pat sprendimų. Jei padauginsime matricą Apq ir Bmn, tai sandauga Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Įrašas AB g-oje eilutėje ir h-oje stulpelyje yra atitinkamų g A ir h B įrašų sandaugos suma. Padauginti dvi matricas galima tik tuo atveju, jei stulpelių skaičius pirmoje ir eilučių antrojoje yra lygūs. Pavyzdys: įvykdykite svarstomų A ir B sąlygą: A=[1–130]B=[2–11214]. Tai įmanoma, nes pirmoje matricoje yra 2 stulpeliai, o antrojoje - 2 eilutės. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Pagrindinė informacija apie matricas
Atitinkamos reikšmės tvarko informaciją, pvz., kintamuosius ir konstantas, ir saugo juos eilutėse ir stulpeliuose, paprastai vadinamuose C. Kiekviena matricos padėtis vadinama elementu. Pavyzdys: C=[1234]. Susideda iš dviejų eilučių ir dviejų stulpelių. 4 elementas yra 2 eilutėje ir 2 stulpelyje. Paprastai matricą galite pavadinti pagal jos matmenis, ta, kuri pavadinta Cmk, turi m eilučių ir k stulpelių.
Išplėstos matricos
Pasvarstymai yra nepaprastai naudingi dalykai, atsirandantys daugelyje skirtingų taikymo sričių. Iš pradžių matricos buvo pagrįstos tiesinių lygčių sistemomis. Atsižvelgiant į tokią nelygybių struktūrą, reikia atsižvelgti į šią papildytą matricą:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Užrašykite koeficientus ir atsakymų reikšmes, įskaitant visus minuso ženklus. Jei elementas su neigiamu skaičiumi, tada jis bus lygus "1". Tai yra, atsižvelgiant į (tiesinių) lygčių sistemą, su ja galima susieti matricą (skaičių tinklelį skliausteliuose). Tai yra ta, kurioje yra tik tiesinės sistemos koeficientai. Tai vadinama „išplėsta matrica“. Tinklelis, kuriame yra kiekvienos lygties kairės pusės koeficientai, buvo „papildytas“atsakymais iš dešinės kiekvienos lygties pusės.
Įrašai, tai yramatricos B reikšmės atitinka x-, y- ir z reikšmes pradinėje sistemoje. Jei jis tinkamai sutvarkytas, pirmiausia patikrinkite. Kartais reikia pertvarkyti terminus arba įterpti nulius kaip vietos žymeklius tiriamoje ar tiriamoje matricoje.
Atsižvelgiant į šią lygčių sistemą, galime iš karto parašyti susijusią išplėstinę matricą:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Pirma būtinai pertvarkykite sistemą taip:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Tada galima parašyti susietą matricą kaip: [11000113-1012]. Formuojant išplėstinį, verta naudoti nulį bet kuriam įrašui, kuriame atitinkama tiesinių lygčių sistemos vieta yra tuščia.
Matricinė algebra: operacijų savybės
Jei reikia elementus formuoti tik iš koeficientų reikšmių, tada nagrinėjama reikšmė atrodys taip: [110011-101]. Tai vadinama „koeficientų matrica“.
Atsižvelgiant į toliau pateiktą išplėstinę matricos algebrą, būtina ją patobulinti ir pridėti susijusią tiesinę sistemą. Be to, svarbu atsiminti, kad jie reikalauja, kad kintamieji būtų gerai išdėstyti ir tvarkingi. Ir paprastai, kai yra trys kintamieji, naudokite x, y ir z tokia tvarka. Todėl susijusi tiesinė sistema turėtų būti:
x + 3m=4
2m – z=5
3x + z=-2.
Matricos dydis
Atitinkami elementai dažnai vadinami jų veikimu. Matricos dydis algebroje pateikiamas kaipišmatavimai, nes patalpa gali būti vadinama skirtingai. Išmatuoti reikšmių matai yra eilutės ir stulpeliai, o ne plotis ir ilgis. Pavyzdžiui, matrica A:
[1234]
[2345]
[3456].
Kadangi A turi tris eilutes ir keturis stulpelius, A dydis yra 3 × 4.
→
↓
Linijos eina į šoną. Stulpeliai kyla aukštyn ir žemyn. „Eilutė“ir „stulpelis“yra specifikacijos ir jų negalima pakeisti. Matricos dydžiai visada nurodomi eilučių skaičiumi ir stulpelių skaičiumi. Vadovaujantis šia konvencija, B:
[123]
[234] yra 2 × 3. Jei matricoje yra tiek pat eilučių, kiek ir stulpelių, tada ji vadinama „kvadratu“. Pavyzdžiui, koeficientų reikšmės iš aukščiau:
[110]
[011]
[-101] yra 3 × 3 kvadratinė matrica.
Matricos žymėjimas ir formatavimas
Formatavimo pastaba: Pavyzdžiui, kai reikia parašyti matricą, svarbu naudoti skliaustus . Absoliučios vertės juostos || nenaudojamos, nes šiame kontekste jos turi skirtingą kryptį. Skliaustai arba riestiniai skliaustai {} niekada nenaudojami. Arba koks nors kitas grupavimo simbolis, arba jo visai nėra, nes šie pristatymai neturi jokios reikšmės. Algebroje matrica visada yra laužtiniuose skliaustuose. Turi būti naudojami tik teisingi užrašai, kitaip atsakymai gali būti laikomi iškraipytais.
Kaip minėta anksčiau, matricoje esančios reikšmės vadinamos įrašais. Dėl kokių nors priežasčių aptariami elementai paprastai yra parašytididžiosios raidės, pvz., A arba B, ir įrašai nurodomi naudojant atitinkamas mažąsias raides, bet su apatiniais indeksais. Matricoje A reikšmės paprastai vadinamos „ai, j“, kur i yra A eilutė, o j yra A stulpelis. Pavyzdžiui, a3, 2=8. A1, 3 įrašas yra 3.
Mažesnėse matricose, turinčiose mažiau nei dešimt eilučių ir stulpelių, apatinio indekso kablelis kartais praleidžiamas. Pavyzdžiui, "a1, 3=3" gali būti parašyta kaip "a13=3". Akivaizdu, kad tai neveiks didelėms matricoms, nes a213 bus neaiški.
Matricos tipai
Kartais klasifikuojama pagal įrašų konfigūracijas. Pavyzdžiui, tokia matrica, kurioje visi nuliai yra žemiau įstrižainės viršaus-kairė-apačios-dešinės "įstrižainės", vadinama viršutine trikampe. Be kita ko, gali būti ir kitų rūšių ir tipų, tačiau jie nėra labai naudingi. Paprastai dažniausiai suvokiamas kaip viršutinis trikampis. Vertės, kurių rodikliai nėra nuliniai, tik horizontaliai, vadinamos įstrižainėmis. Panašūs tipai turi ne nulio įrašus, kuriuose visi yra 1, tokie atsakymai vadinami identiškais (dėl priežasčių, kurios paaiškės, kai bus išmokta ir suprasta, kaip padauginti nagrinėjamas reikšmes). Yra daug panašių tyrimų rodiklių. 3 × 3 tapatybė žymima I3. Panašiai 4 × 4 tapatybė yra I4.
Matricinė algebra ir tiesiniai tarpai
Atkreipkite dėmesį, kad trikampės matricos yra kvadratinės. Tačiau įstrižainės yra trikampės. Atsižvelgiant į tai, jie yrakvadratas. Ir tapatybės laikomos įstrižainėmis, taigi ir trikampėmis bei kvadratinėmis. Kai reikia apibūdinti matricą, paprastai tiesiog nurodoma konkreti savo klasifikacija, nes tai reiškia visas kitas. Suskirstykite šiuos tyrimo variantus:kaip 3 × 4. Šiuo atveju jie nėra kvadratiniai. Todėl vertybės negali būti nieko kito. Tokia klasifikacija:galima kaip 3 × 3. Tačiau ji laikoma kvadratu ir jame nėra nieko ypatingo. Šių duomenų klasifikacija:kaip 3 × 3 viršutinis trikampis, bet jis nėra įstrižas. Tiesa, nagrinėjamose vertėse ant nurodytos ir nurodytos vietos arba virš jos gali būti papildomų nulių. Toliau tiriama klasifikacija: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kur ji vaizduojama kaip įstrižainė, be to, visi įrašai yra 1. Tada tai yra 3 × 3 tapatybė, I3.
Kadangi analogiškos matricos pagal apibrėžimą yra kvadratinės, norint rasti jų matmenis, reikia naudoti tik vieną indeksą. Kad dvi matricos būtų lygios, jos turi turėti tą patį parametrą ir turėti tuos pačius įrašus tose pačiose vietose. Pavyzdžiui, tarkime, kad nagrinėjami du elementai: A=[1 3 0] [-2 0 0] ir B=[1 3] [-2 0]. Šios reikšmės negali būti vienodos, nes skiriasi dydžiu.
Net jei A ir B yra: A=[3 6] [2 5] [1 4] ir B=[1 2 3] [4 5 6] – jie vis tiek nėra vienodi tas pats dalykas. A ir B turišeši įrašai ir turi tuos pačius skaičius, tačiau to nepakanka matricoms. A yra 3 × 2. O B yra 2 × 3 matrica. A 3 × 2 nėra 2 × 3. Nesvarbu, ar A ir B turi tokį patį duomenų kiekį ar net tuos pačius skaičius kaip ir įrašai. Jei A ir B nėra vienodo dydžio ir formos, bet turi vienodas reikšmes panašiose vietose, jie nėra vienodi.
Panašios operacijos nagrinėjamoje srityje
Ši matricos lygybės savybė gali būti paversta nepriklausomų tyrimų užduotimis. Pavyzdžiui, pateikiamos dvi matricos ir nurodoma, kad jos yra lygios. Tokiu atveju turėsite naudoti šią lygybę, norėdami ištirti ir gauti atsakymus į kintamųjų reikšmes.
Matricų pavyzdžiai ir sprendiniai algebroje gali būti įvairūs, ypač kalbant apie lygybes. Atsižvelgiant į tai, kad nagrinėjamos šios matricos, būtina rasti x ir y reikšmes. Kad A ir B būtų lygūs, jie turi būti vienodo dydžio ir formos. Tiesą sakant, jie yra tokie, nes kiekviena iš jų yra 2 × 2 matricos. Ir jie turėtų turėti tas pačias vertybes tose pačiose vietose. Tada a1, 1 turi būti lygus b1, 1, a1, 2 turi būti lygus b1, 2 ir pan. juos). Tačiau a1, 1=1 akivaizdžiai nėra lygus b1, 1=x. Kad A būtų identiškas B, įrašas turi turėti a1, 1=b1, 1, taigi jis gali būti 1=x. Panašiai ir indeksai a2, 2=b2, 2, taigi 4=y. Tada sprendimas yra: x=1, y=4. Atsižvelgiant į tai, kad taipmatricos yra lygios, reikia rasti x, y ir z reikšmes. Kad A=B, visi koeficientai turi būti vienodi. Tai yra, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 ir pan. Visų pirma turi:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kaip matote iš pasirinktų matricų: su 1, 1, 2, 2 ir 3, 1 elementais. Išspręsdami šias tris lygtis, gauname atsakymą: x=4, y=-6 ir z=9. Matricos algebra ir matricos operacijos skiriasi nuo to, prie kurios visi yra įpratę, tačiau jos nėra atkuriamos.
Papildoma informacija šioje srityje
Tiesinė matricinė algebra yra panašių lygčių rinkinių ir jų transformavimo savybių tyrimas. Ši žinių sritis leidžia analizuoti sukimus erdvėje, apytiksliai apskaičiuoti mažiausius kvadratus, spręsti susijusias diferencialines lygtis, nustatyti apskritimą, einantį per tris duotus taškus, ir išspręsti daugybę kitų matematikos, fizikos ir technologijų uždavinių. Matricos linijinė algebra iš tikrųjų nėra techninė vartojamo žodžio prasmė, ty vektorinė erdvė v virš lauko f ir pan.
Matrica ir determinantas yra labai naudingi tiesinės algebros įrankiai. Viena iš pagrindinių užduočių yra matricinės lygties Ax=b sprendimas x. Nors teoriškai tai būtų galima išspręsti naudojant atvirkštinį x=A-1 b. Kiti metodai, pvz., Gauso eliminacija, yra patikimesni skaičiais.
Nurodyta ne tik tiesinių lygčių rinkinių tyrimui apibūdinti, bet irminėtas terminas taip pat vartojamas tam tikro tipo algebrai apibūdinti. Visų pirma, L virš lauko F turi žiedo struktūrą su visomis įprastomis vidinės sudėties ir daugybos aksiomomis kartu su pasiskirstymo dėsniais. Todėl jis suteikia jam daugiau struktūros nei žiedas. Tiesinės matricos algebra taip pat leidžia atlikti išorinę daugybos iš skaliarų, kurie yra pagrindinio lauko F elementai, operaciją. Pavyzdžiui, visų nagrinėjamų transformacijų iš vektorinės erdvės V į save per lauką F sudaroma virš F. Kitas tiesinio pavyzdys algebra yra visų realiųjų kvadratinių matricų rinkinys per lauko R realiuosius skaičius.
