Šešiakampė prizmė ir pagrindinės jos charakteristikos

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Erdvinė geometrija yra prizmių tyrimas. Svarbios jų charakteristikos yra jose esantis tūris, paviršiaus plotas ir sudedamųjų elementų skaičius. Straipsnyje apžvelgsime visas šias šešiakampės prizmės savybes.

Apie kurią prizmę mes kalbame?

Šešiakampė prizmė yra figūra, sudaryta iš dviejų daugiakampių su šešiomis kraštinėmis ir šešiais kampais bei šešiais lygiagrečiais, jungiančiais pažymėtus šešiakampius į vieną geometrinę darinį.

Paveikslėlyje parodytas šios prizmės pavyzdys.

Raudona spalva pažymėtas šešiakampis vadinamas figūros pagrindu. Akivaizdu, kad jo bazių skaičius yra lygus dviem, ir jie abu yra vienodi. Geltonai žalsvi prizmės paviršiai vadinami jos šonais. Paveiksle jie pavaizduoti kvadratais, bet apskritai jie yra lygiagretainiai.

Šešiakampė prizmė gali būti pasvirusi ir tiesi. Pirmuoju atveju kampai tarp pagrindo ir šonų nėra tiesūs, antruoju jie lygūs 90o. Be to, ši prizmė gali būti teisinga ir neteisinga. Įprastas šešiakampisprizmė turi būti tiesi ir turėti taisyklingą šešiakampį prie pagrindo. Aukščiau pateikta prizmė paveiksle atitinka šiuos reikalavimus, todėl ji vadinama teisinga. Toliau straipsnyje mes išnagrinėsime tik jo savybes, kaip bendrą atvejį.

Elementai

Bet kokios prizmės pagrindiniai elementai yra briaunos, paviršiai ir viršūnės. Ne išimtis ir šešiakampė prizmė. Aukščiau pateiktame paveikslėlyje galite suskaičiuoti šių elementų skaičių. Taigi, gauname 8 paviršius arba šonus (du pagrindai ir šeši šoniniai lygiagretainiai), viršūnių skaičius yra 12 (6 viršūnės kiekvienam pagrindui), šešiakampės prizmės briaunų skaičius yra 18 (šešios šoninės ir 12 pagrindams).

XX amžiaus šeštajame dešimtmetyje Leonhardas Euleris (Šveicarijos matematikas) nustatė matematinį ryšį tarp nurodytų elementų skaičių visoms daugiakampėms, kurios apima prizmę. Šie santykiai atrodo taip:

kraštinių skaičius=veidų skaičius + viršūnių skaičius - 2.

Aukščiau pateikti skaičiai atitinka šią formulę.

Prizmės įstrižainės

Visas šešiakampės prizmės įstrižaines galima suskirstyti į du tipus:

• tie, kurie guli jos veidų plokštumose;
• tuos, kurios priklauso visam figūros tūriui.

Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotos visos šios įstrižainės.

Matyti, kad D₁ yra šoninė įstrižainė, D₂ ir D₃ įstrižainės visos prizmės, D₄ ir D_{5 - pagrindo įstrižainės.}

Kraštinių įstrižainių ilgiai yra lygūs vienas kitam. Juos nesunku apskaičiuoti naudojant gerai žinomą Pitagoro teoremą. Tegu a yra šešiakampio kraštinės ilgis, b – šoninės briaunos ilgis. Tada įstrižainės ilgis:

D₁=√(a² + b^2).

Įstrižainę D₄ taip pat lengva nustatyti. Jei prisiminsime, kad taisyklingas šešiakampis telpa į apskritimą, kurio spindulys a, tada D_{4 yra šio apskritimo skersmuo, tai yra, gauname tokią formulę:}

D_4=2a.

Įstrižainės D₅pagrindus rasti šiek tiek sunkiau. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite lygiakraštį trikampį ABC (žr. pav.). Jam AB=BC=a, kampas ABC yra 120^{o. Jei sumažinsime aukštį nuo šio kampo (tai taip pat bus pusiausvyra ir mediana), tada pusė kintamosios srovės pagrindo bus lygi:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC pusė yra D_{5 įstrižainė, todėl gauname:}

D_5=AC=√3a.

Dabar belieka rasti taisyklingos šešiakampės prizmės įstrižaines D₂ir D_{3. Norėdami tai padaryti, turite pamatyti, kad jie yra atitinkamų stačiakampių trikampių hipotenzės. Naudodami Pitagoro teoremą gauname:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Taigi, didžiausia bet kokių a ir b reikšmių įstrižainė yraD_2.

Paviršiaus plotas

Norėdami suprasti, kas yra pavojuje, lengviausias būdas yra apsvarstyti šios prizmės kūrimą. Tai parodyta paveikslėlyje.

Matyti, kad norint nustatyti visų nagrinėjamos figūros kraštinių plotą, reikia atskirai apskaičiuoti keturkampio plotą ir šešiakampio plotą, tada juos padauginti atitinkamais sveikaisiais skaičiais, lygiais kiekvieno prizmės n kampo skaičiui, ir sudėkite rezultatus. Šešiakampiai 2, stačiakampiai 6.

Stačiakampio plotui gauname:

S_1=ab.

Tada šoninio paviršiaus plotas yra:

S_2=6ab.

Norint nustatyti šešiakampio plotą, lengviausias būdas yra naudoti atitinkamą formulę, kuri atrodo taip:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Šioje išraiškoje pakeitę skaičių n, lygų 6, gausime vieno šešiakampio plotą:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ši išraiška turi būti padauginta iš dviejų, kad gautume prizmės pagrindų plotą:

S_os=3√3a^2.

Belieka pridėti S_os ir S_{2, kad gautumėte bendrą figūros paviršiaus plotą:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prizmės tūris

Po formulėsšešiakampio pagrindo plotą, apskaičiuoti nagrinėjamoje prizmėje esantį tūrį taip pat lengva, kaip kriaušes gliaudyti. Norėdami tai padaryti, jums tereikia padauginti vieno pagrindo (šešiakampio) plotą iš figūros aukščio, kurio ilgis lygus šoninio krašto ilgiui. Gauname formulę:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Atkreipkite dėmesį, kad pagrindo ir aukščio sandauga suteikia absoliučiai bet kokios prizmės, įskaitant įstrižąją, tūrio reikšmę. Tačiau pastaruoju atveju aukščio skaičiavimas yra sudėtingas, nes jis nebebus lygus šoninio briaunelės ilgiui. Kalbant apie įprastą šešiakampę prizmę, jos tūrio reikšmė priklauso nuo dviejų kintamųjų: kraštinių a ir b.