Studijuojant absoliučiai bet kokią erdvinę figūrą, svarbu žinoti, kaip apskaičiuoti jos tūrį. Šiame straipsnyje pateikiama taisyklingos keturkampės piramidės tūrio formulė, taip pat parodoma, kaip ši formulė turėtų būti naudojama, naudojant uždavinių sprendimo pavyzdį.
Apie kurią piramidę mes kalbame?
Kiekvienas vidurinės mokyklos mokinys žino, kad piramidė yra daugiakampis, sudarytas iš trikampių ir daugiakampio. Pastarasis yra figūros pagrindas. Trikampiai turi vieną bendrą kraštinę su pagrindu ir susikerta viename taške, kuris yra piramidės viršūnė.
Kiekvienai piramidei būdingas pagrindo šonų ilgis, šoninių kraštų ilgis ir aukštis. Pastaroji yra statmena atkarpa, nuleista iki pagrindo nuo figūros viršaus.
Taisyklinga keturkampė piramidė yra kvadrato pagrindo figūra, kurios aukštis kerta šį kvadratą jos centre. Bene žinomiausias tokio tipo piramidžių pavyzdys yra senovės Egipto akmens konstrukcijos. Žemiau yra nuotraukaCheopso piramidės.
Tirinama figūra turi penkis veidus, iš kurių keturi yra identiški lygiašoniai trikampiai. Jai taip pat būdingos penkios viršūnės, iš kurių keturios priklauso pagrindui, ir aštuoni kraštai (4 pagrindo kraštai ir 4 šoninių paviršių kraštai).
Keturkampės piramidės tūrio formulė yra teisinga
Atitinkamos figūros tūris yra erdvės dalis, kurią riboja penkios pusės. Norėdami apskaičiuoti šį tūrį, naudojame tokią pjūvio, lygiagrečios piramidės pagrindui Sz priklausomybę nuo vertikalios koordinatės z:
Sz=So (h - z/h)2
Čia So yra kvadratinio pagrindo plotas. Jei rašytinėje išraiškoje pakeisime z=h, tada Sz gausime nulinę reikšmę. Ši z reikšmė atitinka pjūvį, kuriame bus tik piramidės viršus. Jei z=0, tada gauname bazinio ploto reikšmę So.
Piramidės tūrį lengva rasti, jei žinai funkciją Sz(z), tam pakanka figūrą iškirpti į begalinį skaičių. lygiagrečiai pagrindui, tada atlikite integravimo operaciją. Aš laikausi šios technikos, gauname:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Nes S0 yrakvadrato pagrindo plotą, tada, žymėdami kvadrato kraštinę raide a, gauname taisyklingos keturkampės piramidės tūrio formulę:
V=1/3a2h.
Dabar naudokime problemų sprendimo pavyzdžius, kad parodytume, kaip ši išraiška turėtų būti taikoma.
Piramidės tūrio nustatymo per jos apotemą ir šoninį kraštą problema
Piramidės apotema yra jos šoninio trikampio aukštis, kuris nuleistas į pagrindo šoną. Kadangi taisyklingoje piramidėje visi trikampiai yra lygūs, jų apotemos taip pat bus vienodos. Jo ilgį pažymėkime simboliu hb. Pažymėkite šoninį kraštą kaip b.
Žinodami, kad piramidės apotemas yra 12 cm, o jos šoninis kraštas yra 15 cm, raskite taisyklingos keturkampės piramidės tūrį.
Ankstesnėje pastraipoje parašytoje figūros tūrio formulėje yra du parametrai: kraštinės ilgis a ir aukštis h. Šiuo metu mes nežinome nė vieno iš jų, todėl pažvelkime į jų skaičiavimus.
Kvadrato a kraštinės ilgį lengva apskaičiuoti, jei naudojate Pitagoro teoremą stačiajam trikampiui, kurio hipotenuzė yra kraštinė b, o kojos yra apotema h b ir pusė pagrindo kraštinės a/2. Gauname:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Pakeitę žinomas reikšmes iš sąlygos, gauname reikšmę a=18 cm.
Norėdami apskaičiuoti piramidės aukštį h, galite atlikti du dalykus: apsvarstykite stačiakampįtrikampis su hipotenuze-šonine briauna arba su hipotenuze-apotema. Abu metodai yra vienodi ir apima tiek pat matematinių operacijų atlikimą. Apsvarstykime trikampį, kur hipotenuzė yra apotema hb. Jame esančios kojos bus h ir a / 2. Tada gauname:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Dabar galite naudoti V tomo formulę:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Taigi, taisyklingos keturkampės piramidės tūris yra maždaug 0,86 litro.
Cheopso piramidės tūris
Dabar išspręskime įdomią ir praktiškai svarbią problemą: suraskime didžiausios Gizos piramidės tūrį. Iš literatūros žinoma, kad pradinis pastato aukštis buvo 146,5 metro, o pagrindo ilgis – 230,363 metro. Šie skaičiai leidžia taikyti formulę V apskaičiuoti. Gauname:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Gauta vertė yra beveik 2,6 mln. m3. Šis tūris atitinka kubo, kurio kraštinė yra 137,4 metro, tūrį.
