Gebėjimas apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant daugybę praktinių geometrijos uždavinių. Viena iš labiausiai paplitusių formų yra piramidė. Šiame straipsnyje apžvelgsime pilnos ir sutrumpintos piramidės tūrio formules.
Piramidė kaip trimatė figūra
Visi žino apie Egipto piramides, todėl puikiai supranta, kokia figūra bus aptariama. Tačiau Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.
Nagrinėjamas geometrinis objektas bendruoju atveju yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su tam tikru erdvės tašku, kuris nepriklauso pagrindo plokštumai. Šis apibrėžimas veda į figūrą, sudarytą iš vieno n kampo ir n trikampių.
Bet kuri piramidė susideda iš n+1 paviršių, 2n briaunų ir n+1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygybei:
2n=(n+1) + (n+1) – 2.
Daugiakampis prie pagrindo suteikia piramidės pavadinimą,pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių su skirtingais pagrindais rinkinys parodytas toliau esančioje nuotraukoje.
Taškas, kuriame sujungti n figūros trikampiai, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuleistas nuo jo iki pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdyta, yra pasvirusi piramidė.
Tiesi figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (lygiakampis) n-kampis, vadinama taisyklingu.
Piramidės tūrio formulė
Piramidės tūriui apskaičiuoti naudojame integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, padalijame figūrą sekantinėmis plokštumomis, lygiagrečiomis pagrindui, į begalinį skaičių plonų sluoksnių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė piramidė, kurios aukštis h ir kraštinės ilgis L, kurios plonas pjūvio sluoksnis pažymėtas keturkampiu.
Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti naudojant formulę:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Čia A0 yra pagrindo plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z=0, tai formulė suteikia reikšmę A0.
Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti viso figūros aukščio integralą, ty:
V=∫h0(A(z)dz).
Pakeisdami priklausomybę A(z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Gavome piramidės tūrio formulę. Norėdami rasti V reikšmę, pakanka padauginti figūros aukštį iš pagrindo ploto, o tada padalyti rezultatą iš trijų.
Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant savavališko tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.
Tinkama piramidė ir jos tūris
Aukščiau pateiktoje pastraipoje gautą bendrąją tūrio formulę galima patobulinti piramidės su tinkamu pagrindu atveju. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Simbolis pi yra skaičius pi.
Pakeitę A0 išraišką bendrojoje formulėje, gauname taisyklingos piramidės tūrį:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė veda į tokią išraišką:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Įprastos keturkampės piramidės tūrio formulė tampa:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Norint nustatyti taisyklingų piramidžių tūrį, reikia žinoti jų pagrindo kraštą ir figūros aukštį.
Sutrumpinta piramidė
Tarkime, paėmėmesavavališką piramidę ir nupjaukite jos šoninio paviršiaus dalį su viršūne. Likusi figūra vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada formuojama nupjauta piramidė su lygiagrečiomis panašiomis bazėmis. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kito ilgius iš kokio nors koeficiento k.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota nupjauta taisyklinga šešiakampė piramidė. Matyti, kad jo viršutinis pagrindas, kaip ir apatinis, sudarytas iš taisyklingo šešiakampio.
Sutrumpintos piramidės tūrio formulė, kurią galima gauti naudojant integralinį skaičiavimą, panašų į pateiktąjį, yra:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kur A0 ir A1 yra atitinkamai apatinės (didelės) ir viršutinės (mažosios) bazės sritys. Kintamasis h yra sutrumpintos piramidės aukštis.
Cheopso piramidės tūris
Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės viduje esančio tūrio nustatymo problemą.
1984 m. britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas nustatė tikslius Cheopso piramidės matmenis. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis kiekvienos iš keturių konstrukcijos pusių ilgis buvo 230,363 metro. Piramidės pagrindas yra labai tikslus kvadratinis.
Naudokime pateiktus skaičius šio akmens milžino tūriui nustatyti. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:
V4=1/3L2h.
Pakeiskite skaičius, gausime:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Cheopso piramidės tūris yra beveik 2,6 mln. m3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. m3. Tai reiškia, kad norint užpildyti visą Cheopso piramidę, reikės daugiau nei 1000 šių baseinų!
