Kūnų sukimasis yra vienas iš svarbių mechaninio judėjimo būdų technologijoje ir gamtoje. Skirtingai nuo linijinio judėjimo, jis apibūdinamas savo kinematinių charakteristikų rinkiniu. Vienas iš jų – kampinis pagreitis. Šią reikšmę apibūdiname straipsnyje.
Sukamasis judėjimas
Prieš kalbėdami apie kampinį pagreitį, apibūdinkime judesio tipą, kuriam jis taikomas. Mes kalbame apie sukimąsi, tai yra kūnų judėjimas žiediniais takais. Kad įvyktų sukimasis, turi būti įvykdytos tam tikros sąlygos:
- ašies arba sukimosi taško buvimas;
- centrinės jėgos, kuri išlaikytų kūną apskritimo orbitoje, buvimas.
Tokio tipo judėjimo pavyzdžiai yra įvairūs atrakcionai, pvz., karuselė. Inžinerijoje sukimasis pasireiškia ratų ir velenų judėjimu. Gamtoje ryškiausias tokio judėjimo pavyzdys yra planetų sukimasis aplink savo ašį ir aplink Saulę. Šiuose pavyzdžiuose įcentrinės jėgos vaidmenį atlieka tarpatominės sąveikos jėgos kietose medžiagose ir gravitacinė jėga.sąveika.
Kinematinės sukimosi charakteristikos
Šios charakteristikos apima tris dydžius: kampinį pagreitį, kampinį greitį ir sukimosi kampą. Juos pažymėsime atitinkamai graikiškais simboliais α, ω ir θ.
Kadangi kūnas juda apskritimu, patogu apskaičiuoti kampą θ, kurį jis pasisuks per tam tikrą laiką. Šis kampas išreiškiamas radianais (retai laipsniais). Kadangi apskritimas turi 2 × pi radianus, galime parašyti lygtį, susiejančią θ su posūkio lanko ilgiu L:
L=θ × r
Kur r yra sukimosi spindulys. Šią formulę lengva gauti, jei atsimenate atitinkamą apskritimo išraišką.
Kampinis greitis ω, kaip ir jo tiesinis atitikmuo, apibūdina sukimosi aplink ašį greitį, tai yra, jis nustatomas pagal šią išraišką:
ω¯=d θ / d t
Dydis ω¯ yra vektorinė reikšmė. Jis nukreiptas išilgai sukimosi ašies. Jo vienetas yra radianai per sekundę (rad/s).
Galiausiai kampinis pagreitis yra fizinė charakteristika, kuri lemia ω¯ vertės kitimo greitį, kuri matematiškai parašyta taip:
α¯=d ω¯/ d t
Vektorius α¯ nukreiptas į greičio vektoriaus ω¯ keitimą. Toliau bus sakoma, kad kampinis pagreitis nukreiptas į jėgos momento vektorių. Ši vertė matuojama radianais.kvadratinė sekundė (rad/s2).
Jėgos ir pagreičio momentas
Jei prisimintume Niutono dėsnį, kuris jėgą ir tiesinį pagreitį sujungia į vieną lygybę, tai perkeldami šį dėsnį į sukimosi atvejį, galime parašyti tokią išraišką:
M¯=I × α¯
Čia M¯ yra jėgos momentas, kuris yra jėgos, kuri linkusi suktis sistemą, sandauga, padauginta iš svirties – atstumo nuo jėgos taikymo taško iki ašies. I reikšmė yra analogiška kūno masei ir vadinama inercijos momentu. Užrašyta formulė vadinama momentų lygtimi. Iš jo kampinį pagreitį galima apskaičiuoti taip:
α¯=M¯/ I
Kadangi I yra skaliarinis, α¯ visada nukreiptas į veikiantį jėgos momentą M¯. M¯ kryptis nustatoma pagal dešinės rankos taisyklę arba stulpelio taisyklę. Vektoriai M¯ ir α¯ yra statmeni sukimosi plokštumai. Kuo didesnis kūno inercijos momentas, tuo mažesnė kampinio pagreičio vertė, kurią fiksuotas momentas M¯ gali suteikti sistemai.
Kinematinės lygtys
Kad suprastume, kokį svarbų vaidmenį vaidina kampinis pagreitis apibūdinant sukimosi judėjimą, užsirašykime formules, jungiančias aukščiau ištirtus kinematinį dydžius.
Tolygiai pagreitinto sukimosi atveju galioja šie matematiniai ryšiai:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Pirmoji formulė rodo, kad kampinisgreitis laikui bėgant didės pagal tiesinį dėsnį. Antroji išraiška leidžia apskaičiuoti kampą, kuriuo kūnas pasisuks per žinomą laiką t. Funkcijos θ(t) grafikas yra parabolė. Abiem atvejais kampinis pagreitis yra pastovus.
Jei naudosime santykio formulę tarp L ir θ, pateiktą straipsnio pradžioje, gausime α išraišką tiesiniu pagreičiu a:
α=a / r
Jei α yra pastovus, tai didėjant atstumui nuo sukimosi ašies r proporcingai didės tiesinis pagreitis a. Štai kodėl sukimui naudojamos kampinės charakteristikos, skirtingai nei tiesinės, jos nesikeičia didėjant ar mažėjant r.
Problemos pavyzdys
Metalinis velenas, besisukantis 2000 apsisukimų per sekundę dažniu, pradėjo lėtėti ir visiškai sustojo po 1 minutės. Būtina apskaičiuoti, su kokiu kampiniu pagreičiu vyko veleno lėtėjimo procesas. Taip pat turėtumėte apskaičiuoti apsisukimų skaičių, kurį velenas padarė prieš sustodamas.
Sukimosi lėtėjimo procesas apibūdinamas tokia išraiška:
ω=ω0- α × t
Pradinis kampinis greitis ω0 nustatomas pagal sukimosi dažnį f taip:
ω0=2 × pi × f
Kadangi žinome lėtėjimo laiką, gauname pagreičio reikšmę α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Šis skaičius turėtų būti paimtas su minuso ženklu,nes kalbame apie sistemos sulėtinimą, o ne jos pagreitinimą.
Norėdami nustatyti apsisukimų skaičių, kurį velenas padarys stabdant, taikykite išraišką:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
Gauto sukimosi kampo θ vertė radianais tiesiog paverčiama veleno apsisukimų skaičiumi, kol jis visiškai sustoja, naudojant paprastą padalijimą iš 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 apsisukimų.
Taigi, gavome visus atsakymus į uždavinio klausimus: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 apsisukimų.
