Geometrijoje figūroms tirti naudojamos dvi svarbios charakteristikos: kraštinių ilgiai ir kampai tarp jų. Erdvinių figūrų atveju prie šių charakteristikų pridedami dvikampiai kampai. Panagrinėkime, kas tai yra, ir apibūdinkime šių kampų nustatymo metodą piramidės pavyzdžiu.
Dvikampio kampo samprata
Visi žino, kad dvi susikertančios linijos sudaro kampą su viršūne jų susikirtimo taške. Šį kampą galima išmatuoti su transporteriu arba jį apskaičiuoti galite naudoti trigonometrines funkcijas. Kampas, sudarytas iš dviejų stačiųjų kampų, vadinamas tiesiniu.
Dabar įsivaizduokite, kad trimatėje erdvėje yra dvi plokštumos, kurios susikerta tiesia linija. Jie parodyti paveikslėlyje.
Dvikampis kampas yra kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų. Kaip ir tiesinis, jis matuojamas laipsniais arba radianais. Jei į bet kurį linijos, išilgai kurios plokštumos susikerta, tašką, atkurkite du statmenis,gulint šiose plokštumose, tada kampas tarp jų bus norimas dvikampis. Lengviausias būdas nustatyti šį kampą yra naudoti bendrąsias plokštumų lygtis.
Plokštumų lygtis ir kampo tarp jų formulė
Bet kurios erdvės plokštumos lygtis bendrais bruožais užrašoma taip:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Čia x, y, z yra taškų, priklausančių plokštumai, koordinatės, koeficientai A, B, C, D yra kai kurie žinomi skaičiai. Šios lygybės patogumas skaičiuojant dvikampius kampus yra tas, kad joje yra aiškiai nurodytos plokštumos krypties vektoriaus koordinatės. Pažymėsime n¯. Tada:
n¯=(A; B; C).
Vektorius n¯ yra statmenas plokštumai. Kampas tarp dviejų plokštumų yra lygus kampui tarp jų krypties vektorių n1¯ ir n2¯. Iš matematikos žinoma, kad dviejų vektorių suformuotas kampas vienareikšmiškai nustatomas pagal jų skaliarinę sandaugą. Tai leidžia parašyti formulę, skirtą dvikampio kampui tarp dviejų plokštumų apskaičiuoti:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Jei pakeisime vektorių koordinates, formulė bus parašyta aiškiai:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Modulio ženklas skaitiklyje naudojamas tik smailiam kampui apibrėžti, nes dvikampis kampas visada yra mažesnis arba lygus 90o.
Piramidė ir jos kampai
Piramidė yra figūra, sudaryta iš vieno n kampo ir n trikampių. Čia n yra sveikas skaičius, lygus daugiakampio, kuris yra piramidės pagrindas, kraštinių skaičiui. Ši erdvinė figūra yra daugiakampis arba daugiakampis, nes susideda iš plokščių paviršių (šonų).
Piramidės-daugiakampio dvikampiai kampai gali būti dviejų tipų:
- tarp pagrindo ir kraštinės (trikampis);
- tarp dviejų pusių.
Jei piramidė laikoma taisyklinga, tada nesunku nustatyti jos įvardintus kampus. Norėdami tai padaryti, naudojant trijų žinomų taškų koordinates, reikia sudaryti plokštumų lygtį, o tada naudoti formulę, pateiktą aukščiau esančioje pastraipoje kampui φ.
Toliau pateikiame pavyzdį, kuriame parodome, kaip rasti dvikampius kampus keturkampės taisyklingos piramidės pagrindu.
Keturkampė taisyklinga piramidė ir kampas jos pagrindu
Tarkime, kad pateikta taisyklinga piramidė su kvadratiniu pagrindu. Kvadrato kraštinės ilgis a, figūros aukštis h. Raskite kampą tarp piramidės pagrindo ir jos kraštinės.
Padėkime koordinačių sistemos pradžią kvadrato centre. Tada taškų koordinatėsA, B, C, D paveikslėlyje bus:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Apsvarstykite plokštumas ACB ir ADB. Akivaizdu, kad ACB plokštumos krypties vektorius n1¯ bus:
1¯=(0; 0; 1).
Norėdami nustatyti ADB plokštumos krypties vektorių n2¯, atlikite šiuos veiksmus: suraskite du jai priklausančius savavališkus vektorius, pavyzdžiui, AD¯ ir AB¯, tada apskaičiuokite jų vektorinį darbą. Jo rezultatas suteiks koordinates n2¯. Turime:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Kadangi vektoriaus dauginimas ir dalijimas iš skaičiaus nekeičia jo krypties, gautą n2¯ transformuojame, padalydami jo koordinates iš -a, gauname:
2¯=(h; 0; a/2).
ACB pagrindo ir ADB šoninėms plokštumoms apibrėžėme vektorinius kreipiklius n1¯ ir n2¯. Belieka naudoti kampo φ formulę:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h¯ + a 2/4)).
Pakeiskite gautą išraišką ir perrašykite ją taip:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Gavome taisyklingos keturkampės piramidės dvikampio kampo prie pagrindo formulę. Žinodami figūros aukštį ir jos kraštinės ilgį, galite apskaičiuoti kampą φ. Pavyzdžiui, Cheopso piramidės, kurios pagrindo kraštinė yra 230,4 metro, o pradinis aukštis buvo 146,5 metro, kampas φ bus 51,8o.
Taikant geometrinį metodą taip pat galima nustatyti dvikampį kampą keturkampei taisyklingajai piramidei. Norėdami tai padaryti, pakanka atsižvelgti į stačiakampį trikampį, sudarytą iš aukščio h, pusės pagrindo ilgio a/2 ir lygiašonio trikampio apotemos.
