Plokštumų lygiagretumui ir statmenumui nustatyti, taip pat atstumams tarp šių geometrinių objektų apskaičiuoti patogu naudoti vienokius ar kitokius skaitinius funkcijų tipus. Kokioms problemoms spręsti patogu naudoti plokštumos atkarpose lygtį? Šiame straipsnyje apžvelgsime, kas tai yra ir kaip jį panaudoti atliekant praktines užduotis.
Kas yra tiesių atkarpų lygtis?
Plokštumą 3D erdvėje galima apibrėžti keliais būdais. Šiame straipsnyje kai kurie iš jų bus pateikti sprendžiant įvairaus pobūdžio problemas. Čia pateikiame išsamų lygties aprašymą plokštumos segmentais. Paprastai jis turi tokią formą:
x/p + y/q + z/r=1.
Kur simboliai p, q, r žymi tam tikrus konkrečius skaičius. Šią lygtį galima lengvai paversti bendra išraiška ir kitomis plokštumos skaitinių funkcijų formomis.
Lygties rašymo segmentais patogumas yra tas, kad joje yra aiškios plokštumos susikirtimo su statmenomis koordinačių ašimis koordinatės. Ant x ašiespradinio atžvilgiu plokštuma nupjauna p ilgio atkarpą, y ašyje – lygią q, z – r ilgio.
Jei kurio nors iš trijų kintamųjų nėra lygtyje, tai reiškia, kad plokštuma nekerta atitinkamos ašies (matematikai sako, kad ji kerta begalybę).
Toliau pateikiame keletą problemų, kuriose parodysime, kaip dirbti su šia lygtimi.
Bendrųjų ir lygčių segmentų perdavimas
Žinoma, kad plokštuma pateikiama tokia lygybe:
2x - 3y + z - 6=0.
Šią bendrąją plokštumos lygtį būtina užrašyti atkarpomis.
Iškilus panašiai problemai, reikia vadovautis tokia technika: laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygybės pusę. Tada padalijame visą lygtį iš šio termino, bandydami išreikšti ją ankstesnėje pastraipoje pateikta forma. Turime:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 – 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Segmentuose gavome plokštumos lygtį, iš pradžių pateiktą bendra forma. Pastebima, kad plokštuma nupjauna segmentus, kurių ilgis yra atitinkamai 3, 2 ir 6 x, y ir z ašims. Y ašis kerta plokštumą neigiamų koordinačių srityje.
Sudarant lygtį segmentais, svarbu, kad prieš visus kintamuosius būtų „+“ženklas. Tik šiuo atveju skaičius, iš kurio padalytas šis kintamasis, parodys ašyje nukirstą koordinatę.
Normalus vektorius ir taškas plokštumoje
Žinoma, kad kai kuri plokštuma turi krypties vektorių (3; 0; -1). Taip pat žinoma, kad jis eina per tašką (1; 1; 1). Šioje plokštumoje parašykite lygtį segmentais.
Norėdami išspręsti šią problemą, pirmiausia turėtumėte naudoti bendrą šio dvimačio geometrinio objekto formą. Bendroji forma parašyta taip:
Ax + By + Cz + D=0.
Pirmieji trys koeficientai čia yra orientacinio vektoriaus koordinatės, nurodytos problemos teiginyje, tai yra:
A=3;
B=0;
C=-1.
Belieka rasti laisvąjį terminą D. Jį galima nustatyti pagal šią formulę:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kur koordinačių reikšmės su indeksu 1 atitinka taško, priklausančio plokštumai, koordinates. Mes pakeičiame jų vertes iš problemos sąlygos, gauname:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Dabar galite parašyti visą lygtį:
3x - z - 2=0.
Šios išraiškos pavertimo lygtimi plokštumos segmentuose technika jau buvo parodyta aukščiau. Taikykite:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Atsakymas į problemą gautas. Atkreipkite dėmesį, kad ši plokštuma kerta tik x ir z ašis. y yra lygiagreti.
Dvi tiesios linijos, apibrėžiančios plokštumą
Iš erdvinės geometrijos kurso kiekvienas mokinys žino, kad dvi savavališkos linijos vienareikšmiškai apibrėžia plokštumątrimatė erdvė. Išspręskime panašią problemą.
Žinomos dvi tiesių lygtys:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Būtina užrašyti plokštumos lygtį atkarpomis, einančiomis per šias eilutes.
Kadangi abi tiesės turi būti plokštumoje, tai reiškia, kad jų vektoriai (kreipiančiosios) turi būti statmenos plokštumos vektoriui (kreiptuvui). Tuo pačiu metu žinoma, kad savavališkų dviejų nukreiptų segmentų vektorinė sandauga duoda rezultatą trečiojo koordinačių pavidalu, statmenai dviem pradiniams. Atsižvelgdami į šią savybę, gauname norimai plokštumai normalios vektoriaus koordinates:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Kadangi jį galima padauginti iš savavališko skaičiaus, tai sudaro naują nukreiptą atkarpą lygiagrečiai pradinei, gautų koordinačių ženklą galime pakeisti priešingu (padauginti iš -1), gauname:
(1; 2; 1).
Žinome krypties vektorių. Belieka paimti savavališką vienos iš tiesių tašką ir sudaryti bendrąją plokštumos lygtį:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Pavertę šią lygybę į išraišką segmentuose, gauname:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Taigi, plokštuma kerta visas tris ašis teigiamoje koordinačių sistemos srityje.
Trys taškai ir lėktuvas
Kaip ir dvi tiesės, trys taškai vienareikšmiškai apibrėžia plokštumą trimatėje erdvėje. Atitinkamą lygtį rašome atkarpomis, jei žinomos šios plokštumoje esančių taškų koordinatės:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Padarykime taip: apskaičiuokite dviejų savavališkų vektorių, jungiančių šiuos taškus, koordinates, tada raskite vektorių n¯, normalų plokštumai, apskaičiuodami rastų nukreiptų atkarpų sandaugą. Gauname:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Paimkite tašką P kaip pavyzdį, sudarykite plokštumos lygtį:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 arba z=0.
Gavome paprastą išraišką, atitinkančią xy plokštumą duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Jo negalima rašyti atkarpomis, nes x ir y ašys priklauso plokštumai, o z ašyje nupjautos atkarpos ilgis lygus nuliui (taškas (0; 0; 0) priklauso plokštumai).
