Viena iš įprastų stereometrijos problemų yra tiesių ir plokštumų kirtimo ir kampų tarp jų skaičiavimas. Šiame straipsnyje išsamiau panagrinėkime vadinamąjį koordinačių metodą ir kampus tarp tiesės ir plokštumos.
Tiesija ir plokštuma geometrijoje
Prieš apsvarstydami koordinačių metodą ir kampą tarp tiesės ir plokštumos, turėtumėte susipažinti su pavadintais geometriniais objektais.
Tiesija – tai erdvės arba plokštumos taškų rinkinys, kurių kiekvieną galima gauti tiesiškai perkeliant ankstesnįjį į tam tikrą vektorių. Toliau šį vektorių žymime simboliu u¯. Jei šis vektorius padauginamas iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gauname vektorių, lygiagretų u¯. Linija yra tiesinis begalinis objektas.
Plokštuma taip pat yra taškų, išsidėsčiusių taip, kad jei iš jų sudarysite savavališkus vektorius, visi jie bus statmeni kokiam nors vektoriui n¯, rinkinys. Pastarasis vadinamas normaliu arba tiesiog normaliu. Plokštuma, kitaip nei tiesi linija, yra dvimatis begalinis objektas.
Geometrijos uždavinių sprendimo koordinačių metodas
Remiantis paties metodo pavadinimu, galime daryti išvadą, kad kalbame apie uždavinių sprendimo metodą, kuris paremtas analitinių nuoseklių skaičiavimų atlikimu. Kitaip tariant, koordinačių metodas leidžia išspręsti geometrines problemas naudojant universalius algebros įrankius, kurių pagrindinės yra lygtys.
Pažymėtina, kad nagrinėjamas metodas atsirado šiuolaikinės geometrijos ir algebros aušroje. Didelį indėlį į jo plėtrą XVII–XVIII a. įnešė Rene Descartes, Pierre'as de Fermat, Isaacas Newtonas ir Leibnicas.
Metodo esmė yra apskaičiuoti geometrinių elementų atstumus, kampus, plotus ir tūrius pagal žinomų taškų koordinates. Atkreipkite dėmesį, kad gautų galutinių lygčių forma priklauso nuo koordinačių sistemos. Dažniausiai uždaviniuose naudojama stačiakampė Dekarto sistema, nes su ja dirbti patogiausia.
Tiesių lygtis
Atsižvelgdami į koordinačių metodą ir kampus tarp tiesės ir plokštumos, pradėkime nuo tiesės lygties nustatymo. Yra keletas būdų, kaip pateikti linijas algebrine forma. Čia atsižvelgiame tik į vektorinę lygtį, nes ją galima lengvai gauti iš jos bet kokia kita forma ir su ja lengva dirbti.
Tarkime, kad yra du taškai: P ir Q. Yra žinoma, kad per juos galima nubrėžti liniją,bus vienintelis. Atitinkamas matematinis elemento vaizdas atrodo taip:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Kur PQ¯ yra vektorius, kurio koordinatės gaunamos taip:
PQ¯=Q – P.
Simbolis λ reiškia parametrą, kuris gali užimti bet kokį skaičių.
Rašytinėje išraiškoje galite pakeisti vektoriaus kryptį, taip pat vietoj taško P pakeisti koordinates Q. Visos šios transformacijos nepakeis tiesės geometrinės padėties.
Atkreipkite dėmesį, kad sprendžiant uždavinius kartais reikia parašytą vektorinę lygtį pavaizduoti aiškia (parametrine) forma.
Plokštumos nustatymas erdvėje
Be tiesės, taip pat yra keletas matematinių plokštumos lygčių formų. Tarp jų pažymime vektorių, lygtį segmentais ir bendrą formą. Šiame straipsnyje ypatingą dėmesį skirsime paskutinei formai.
Bendrąją savavališkos plokštumos lygtį galima parašyti taip:
Ax + By + Cz + D=0.
Didžiosios lotyniškos raidės yra tam tikri skaičiai, apibrėžiantys plokštumą.
Šio žymėjimo patogumas yra tas, kad jame yra aiškiai plokštumai normalus vektorius. Jis lygus:
n¯=(A, B, C).
Žinant šį vektorių, trumpai pažvelgus į plokštumos lygtį galima įsivaizduoti pastarosios vietą koordinačių sistemoje.
Abipusis susitarimaslinijos ir plokštumos erdvė
Kitoje straipsnio pastraipoje pereisime prie koordinačių metodo ir kampo tarp tiesės ir plokštumos svarstymo. Čia atsakysime į klausimą, kaip nagrinėjami geometriniai elementai gali būti išdėstyti erdvėje. Yra trys būdai:
- Tiesioji linija kerta plokštumą. Naudodami koordinačių metodą galite apskaičiuoti, kuriame taške susikerta tiesė ir plokštuma.
- Tiesės plokštuma lygiagreti. Šiuo atveju geometrinių elementų lygčių sistema neturi sprendimo. Lygiagretumui įrodyti dažniausiai naudojama tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliosios skaliarinės sandaugos savybė.
- Lėktuve yra linija. Išspręsdami lygčių sistemą šiuo atveju, padarysime išvadą, kad bet kuriai parametro λ reikšmei gaunama teisinga lygybė.
Antruoju ir trečiuoju atveju kampas tarp nurodytų geometrinių objektų yra lygus nuliui. Pirmuoju atveju jis yra nuo 0 iki 90o.
Kampų tarp tiesių ir plokštumų apskaičiavimas
Dabar pereikime tiesiai prie straipsnio temos. Bet kuri tiesės ir plokštumos sankirta įvyksta tam tikru kampu. Šį kampą sudaro pati tiesė ir jos projekcija į plokštumą. Projekciją galima gauti, jei iš bet kurio tiesės taško į plokštumą nuleidžiamas statmuo, o tada per gautą plokštumos ir statmens bei plokštumos ir pradinės linijos susikirtimo tašką nubrėžiama tiesi linija, kuri bus projekcija.
Kampų tarp tiesių ir plokštumų skaičiavimas nėra sudėtinga užduotis. Jai išspręsti pakanka žinoti atitinkamų geometrinių objektų lygtis. Tarkime, kad šios lygtys atrodo taip:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Norimas kampas lengvai randamas naudojant skaliarinių vektorių u¯ ir n¯ sandaugos savybę. Galutinė formulė atrodo taip:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Ši formulė sako, kad kampo tarp tiesės ir plokštumos sinusas yra lygus pažymėtų vektorių skaliarinės sandaugos modulio ir jų ilgių sandaugos santykiui. Norėdami suprasti, kodėl vietoj kosinuso atsirado sinusas, pažiūrėkime į toliau pateiktą paveikslą.
Matyti, kad pritaikę kosinuso funkciją gausime kampą tarp vektorių u¯ ir n¯. Norimas kampas θ (α paveiksle) gaunamas taip:
θ=90o- β.
Sinusas atsiranda taikant redukcijos formules.
Problemos pavyzdys
Pereikime prie praktinio įgytų žinių panaudojimo. Išspręskime tipišką kampo tarp tiesės ir plokštumos uždavinį. Pateikiamos šios keturių taškų koordinatės:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Žinoma, kad per taškus PQMper ją eina plokštuma, o per MN – tiesė. Taikant koordinačių metodą, reikia apskaičiuoti kampą tarp plokštumos ir tiesės.
Pirmiausia užsirašykime tiesės ir plokštumos lygtis. Jei norite tiesios linijos, ją lengva sudaryti:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Norėdami sudaryti plokštumos lygtį, pirmiausia randame jai normalųjį. Jo koordinatės lygios dviejų vektorių, esančių duotoje plokštumoje, vektorinei sandaugai. Turime:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Dabar pakeiskime bet kurio jame esančio taško koordinates į bendrosios plokštumos lygtį, kad gautume laisvojo termino reikšmę D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Plokštumos lygtis yra:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Belieka pritaikyti kampo, suformuoto tiesės ir plokštumos sankirtoje, formulę, kad gautumėte atsakymą į problemą. Turime:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Naudodami šią problemą kaip pavyzdį, parodėme, kaip naudoti koordinačių metodą geometriniams uždaviniams spręsti.
