Gebėjimas dirbti su skaitinėmis išraiškomis, turinčiomis kvadratinę šaknį, yra būtinas norint sėkmingai išspręsti daugybę OGE ir USE problemų. Per šiuos egzaminus paprastai pakanka pagrindinio supratimo apie tai, kas yra šaknų ištraukimas ir kaip tai daroma praktiškai.
Apibrėžimas
N-oji skaičiaus X šaknis yra skaičius x, kurio lygybė yra teisinga: xn =X.
Rasti išraiškos reikšmę su šaknimi reiškia rasti x, pateiktą X ir n.
Kvadratinė šaknis arba, kuri yra ta pati, antroji X šaknis – skaičius x, kurio lygybė tenkinama: x2 =X.
Pavadinimas: ∛Х. Čia 3 yra šaknies laipsnis, X yra šaknies išraiška. Ženklas „√“dažnai vadinamas radikalu.
Jei skaičius virš šaknies nenurodo laipsnio, tada numatytasis laipsnis yra 2.
Lyginių laipsnių kurse paprastai neatsižvelgiama į neigiamas šaknis ir radikalias išraiškas. Pavyzdžiui, nėra√-2, o išraiškos √4 teisingas atsakymas yra 2, nepaisant to, kad (-2)2 taip pat lygus 4.
Šaknų racionalumas ir neracionalumas
Paprasčiausia užduotis su šaknimis yra rasti išraiškos reikšmę arba patikrinti jos racionalumą.
Pavyzdžiui, apskaičiuokite reikšmes√25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, nes 52 =25;
- ∛8=2, nes 23 =8;
- ∛ - 125=-5 nuo (-5)3 =-125.
Atsakymai pateiktuose pavyzdžiuose yra racionalūs skaičiai.
Dirbant su išraiškomis, kuriose nėra pažodinių konstantų ir kintamųjų, rekomenduojama visada atlikti tokį patikrinimą naudojant atvirkštinę didinimo iki natūraliosios laipsnio operaciją. Skaičiaus x suradimas iki n-osios laipsnio prilygsta n koeficiento x sandaugos apskaičiavimui.
Yra daug posakių su šaknimis, kurių reikšmė yra neracionali, tai yra, rašoma kaip begalinė neperiodinė trupmena.
Pagal apibrėžimą racionalieji yra tie, kurie gali būti išreikšti kaip bendroji trupmena, o iracionalieji yra visi kiti realieji skaičiai.
Tai apima √24, √0, 1, √101.
Jei užduočių knygoje parašyta: raskite reiškinio reikšmę, kurios šaknis yra 2, 3, 5, 6, 7 ir tt, tai yra iš tų natūraliųjų skaičių, kurių nėra kvadratų lentelėje, tada teisingas atsakymas yra √ 2 gali būti (jei nenurodyta kitaip).
Vertinimas
Kyla problemų suatviras atsakymas, jei neįmanoma rasti išraiškos reikšmės su šaknimi ir parašyti jos kaip racionalaus skaičiaus, rezultatas turėtų būti paliktas kaip radikalas.
Kai kurias užduotis gali reikėti įvertinti. Pavyzdžiui, palyginkite 6 ir √37. Sprendimui reikia pakelti abu skaičius kvadratu ir palyginti rezultatus. Iš dviejų skaičių tas, kurio kvadratas didesnis, yra didesnis. Ši taisyklė tinka visiems teigiamiems skaičiams:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- reiškia √37 > 6.
Panašiai sprendžiami uždaviniai, kuriuose keli skaičiai turi būti išdėstyti didėjančia arba mažėjančia tvarka.
Pavyzdys: išdėstykite 5, √6, √48, √√64 didėjimo tvarka.
Padalinus kvadratus, turime: 25, 6, 48, √64. Galima būtų dar kartą padalyti visus skaičius kvadratu ir palyginti juos su √64, bet jis lygus racionaliam skaičiui 8. 6 < 8 < 25 < 48, taigi sprendimas yra toks: 48.
Išraiškos supaprastinimas
Būna, kad išraiškos reikšmės su šaknimi rasti neįmanoma, todėl ją reikia supaprastinti. Tai padeda ši formulė:
√ab=√a√b.
Dviejų skaičių sandaugos šaknis yra lygi jų šaknų sandaugai. Šiai operacijai taip pat reikės galimybę suskaidyti skaičių faktoriais.
Pradiniame etape, norint pagreitinti darbą, rekomenduojama po ranka turėti pirminių skaičių ir kvadratų lentelę. Šios lentelės su dažnainaudojimas ateityje bus prisimintas.
Pavyzdžiui, √242 yra neracionalus skaičius, galite jį konvertuoti taip:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Paprastai rezultatas rašomas kaip 11√2 (skaitykite: vienuolika šaknų iš dviejų).
Jei sunku iš karto suprasti, į kuriuos du veiksnius reikia išskaidyti skaičių, kad iš vieno iš jų būtų galima išskirti natūralią šaknį, galite naudoti visą skaidymą į pirminius veiksnius. Jei tas pats pirminis skaičius išplėtimo metu pasitaiko du kartus, jis išimamas iš šaknies ženklo. Kai yra daug veiksnių, šaknį galite išgauti keliais etapais.
Pavyzdys: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Skaičius 2 išplečiant atsiranda 2 kartus (iš tikrųjų daugiau nei du kartus, bet mus vis dar domina pirmieji du išplėtimo atvejai).
Išimame jį iš po šaknies ženklo:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Pakartokite tą patį veiksmą:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Likusioje radikalioje išraiškoje 2 ir 3 pasitaiko vieną kartą, todėl belieka išimti koeficientą 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
ir atlikite aritmetinius veiksmus:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Taigi, gauname √2400=20√6.
Jei užduotyje nėra aiškiai nurodyta: „rasti išraiškos reikšmę kvadratine šaknimi“, tada pasirinkimas,kokia forma palikti atsakymą (ar ištraukti šaknį iš po radikalo), lieka mokiniui ir gali priklausyti nuo sprendžiamos problemos.
Iš pradžių aukšti reikalavimai keliami užduočių planavimui, skaičiavimui, įskaitant žodžiu ar raštu, nenaudojant techninių priemonių.
Tik gerai įsisavinus darbo su neracionaliomis skaitinėmis išraiškomis taisykles, prasminga pereiti prie sudėtingesnių pažodinių išraiškų ir spręsti neracionalias lygtis bei apskaičiuoti galimų išraiškos reikšmių diapazoną. radikalus.
Studentai susiduria su tokia problema per vieningą valstybinį matematikos egzaminą, taip pat pirmame specializuotų universitetų kurse, studijuodami matematinę analizę ir susijusias disciplinas.
