Mokyklinėje kietosios geometrijos kursuose viena iš paprasčiausių figūrų, kurios matmenys išilgai trijų erdvinių ašių yra ne nuliniai, yra keturkampė prizmė. Straipsnyje apsvarstykite, kokia tai figūra, iš kokių elementų ji susideda, taip pat kaip galite apskaičiuoti jos paviršiaus plotą ir tūrį.
Prizmės samprata
Geometrijoje prizmė yra erdvinė figūra, kurią sudaro du identiški pagrindai ir šoniniai paviršiai, jungiantys šių pagrindų puses. Atkreipkite dėmesį, kad abi bazės yra transformuojamos viena į kitą, naudojant lygiagrečio vertimo operaciją tam tikru vektoriumi. Šis prizmės priskyrimas lemia tai, kad visos jos kraštinės visada yra lygiagretainiai.
Pagrindo kraštinių skaičius gali būti savavališkas, pradedant nuo trijų. Kai šis skaičius linkęs į begalybę, prizmė sklandžiai virsta cilindru, nes jos pagrindas tampa apskritimu, o šoniniai lygiagretainiai, jungiantys, sudaro cilindrinį paviršių.
Kaip ir bet kuriam daugiakampiui, prizmei būdingakraštinės (plokštumos, ribojančios figūrą), briaunos (segmentai, išilgai kurių susikerta bet kurios dvi kraštinės) ir viršūnės (trijų kraštinių susitikimo taškai, prizmei dvi iš jų yra šoninės, o trečioji yra pagrindas). Įvardytų trijų figūros elementų kiekiai yra tarpusavyje susiję tokia išraiška:
P=C + B – 2
Čia P, C ir B yra atitinkamai kraštinių, kraštinių ir viršūnių skaičius. Ši išraiška yra matematinė Eulerio teoremos žymėjimas.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotos dvi prizmės. Vieno iš jų (A) pagrindu yra taisyklingas šešiakampis, o šoninės kraštinės statmenos pagrindams. B paveiksle pavaizduota kita prizmė. Jo kraštinės nebėra statmenos pagrindams, o pagrindas yra taisyklingas penkiakampis.
Kas yra keturkampė prizmė?
Kaip aišku iš aukščiau pateikto aprašymo, prizmės tipą pirmiausia lemia daugiakampio, kuris sudaro pagrindą, tipas (abu pagrindai yra vienodi, todėl galime kalbėti apie vieną iš jų). Jei šis daugiakampis yra lygiagretainis, tai gauname keturkampę prizmę. Taigi visos šio tipo prizmės kraštinės yra lygiagretainiai. Keturkampė prizmė turi savo pavadinimą – gretasienį.
Greitasparnio kraštinių skaičius yra šeši, ir kiekviena kraštinė turi panašią lygiagretę. Kadangi dėžutės pagrindai yra dviejų kraštų, likusios keturios yra šoninės.
Greitasparnio viršūnių skaičius yra aštuonios, tai nesunku pastebėti, jei prisiminsime, kad prizmės viršūnės susidaro tik pagrindo daugiakampių viršūnėse (4x2=8). Taikydami Eulerio teoremą, gauname briaunų skaičių:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Iš 12 briaunų tik 4 yra suformuoti atskirai iš šonų. Likę 8 yra figūros pagrindų plokštumose.
Toliau straipsnyje kalbėsime tik apie keturkampes prizmes.
Gergretasienių tipai
Pirmasis klasifikavimo tipas yra lygiagretainio, kuriuo grindžiama, ypatybės. Tai gali atrodyti taip:
- reguliarus, kurio kampai nelygūs 90o;
- stačiakampis;
- kvadratas yra taisyklingas keturkampis.
Antrojo tipo klasifikacija yra kampas, kuriuo šonas kerta pagrindą. Čia galimi du skirtingi atvejai:
- šis kampas nėra tiesus, tada prizmė vadinama įstrižiąja arba įstrine;
- kampas yra 90o, tada tokia prizmė yra stačiakampė arba tiesiog tiesi.
Trečias klasifikavimo tipas yra susijęs su prizmės aukščiu. Jei prizmė yra stačiakampė, o pagrindas yra kvadratas arba stačiakampis, tada ji vadinama stačiakampiu. Jei prie pagrindo yra kvadratas, prizmė yra stačiakampė, o jos aukštis lygus kvadrato kraštinės ilgiui, tada gauname gerai žinomą kubo figūrą.
Prizmės paviršius ir plotas
Visų taškų, esančių ant dviejų prizmės pagrindų, rinkinys(lygiagretainiai) ir jo šonuose (keturi lygiagretainiai) sudaro figūros paviršių. Šio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti apskaičiuojant pagrindo plotą ir šią šoninio paviršiaus vertę. Tada jų suma duos norimą vertę. Matematiškai tai parašyta taip:
S=2So+ Sb
Čia So ir Sb yra atitinkamai pagrindo ir šoninio paviršiaus plotai. Skaičius 2 prieš So atsiranda, nes yra dvi bazės.
Atkreipkite dėmesį, kad parašyta formulė galioja bet kuriai prizmei, o ne tik keturkampės prizmės plotui.
Naudinga prisiminti, kad lygiagretainio plotas Sp apskaičiuojamas pagal formulę:
Sp=ah
Kur simboliai a ir h žymi atitinkamai vienos iš jos kraštinių ilgį ir aukštį, nubrėžtą į šią pusę.
Stačiakampės prizmės su kvadratiniu pagrindu plotas
Įprastoje keturkampėje prizmėje pagrindas yra kvadratas. Tikslumui jos pusę žymime raide a. Norėdami apskaičiuoti taisyklingos keturkampės prizmės plotą, turėtumėte žinoti jos aukštį. Pagal šio dydžio apibrėžimą jis yra lygus statmeno, nukritusio iš vieno pagrindo į kitą, ilgiui, tai yra, lygus atstumui tarp jų. Pažymėkime raide h. Kadangi visi šoniniai paviršiai yra statmeni nagrinėjamos prizmės pagrindams, taisyklingos keturkampės prizmės aukštis bus lygus jos šoninės briaunos ilgiui.
BBendra prizmės paviršiaus ploto formulė yra dvi dalys. Pagrindo plotą šiuo atveju nesunku apskaičiuoti, jis lygus:
So=a2
Skaičiuodami šoninio paviršiaus plotą, argumentuojame taip: šį paviršių sudaro 4 identiški stačiakampiai. Be to, kiekvieno iš jų kraštinės yra lygios a ir h. Tai reiškia, kad Sb plotas bus lygus:
Sb=4ah
Atkreipkite dėmesį, kad sandauga 4a yra kvadratinio pagrindo perimetras. Jei šią išraišką apibendrinsime savavališko pagrindo atveju, tada stačiakampės prizmės šoninį paviršių galima apskaičiuoti taip:
Sb=Poh
Kur Po yra pagrindo perimetras.
Grįždami prie taisyklingos keturkampės prizmės ploto apskaičiavimo problemos, galime parašyti galutinę formulę:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Įstrižo gretasienio plotas
Apskaičiuoti jį yra šiek tiek sunkiau nei stačiakampį. Šiuo atveju keturkampės prizmės pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal tą pačią formulę, kaip ir lygiagretainio. Pakeitimai susiję su šoninio paviršiaus ploto nustatymo būdu.
Norėdami tai padaryti, naudokite tą pačią formulę per perimetrą, kaip nurodyta aukščiau esančioje pastraipoje. Tik dabar jis turės kiek kitokius daugiklius. Bendroji Sb formulė įstrižosios prizmės atveju yra:
Sb=Psrc
Čia c yra figūros šoninio krašto ilgis. Reikšmė Psr yra stačiakampio pjūvio perimetras. Ši aplinka kuriama taip: reikia visus šoninius paviršius susikirsti su plokštuma, kad ji būtų statmena visoms. Gautas stačiakampis bus norimas pjūvis.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas įstrižos dėžutės pavyzdys. Jo kryžminė dalis sudaro stačius kampus su šonais. Atkarpos perimetras yra Psr. Jį sudaro keturi šoninių lygiagretainių aukščiai. Šios keturkampės prizmės šoninio paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal aukščiau pateiktą formulę.
Kubo formos įstrižainės ilgis
Geletaraščio įstrižainė yra atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios neturi jas sudarančių bendrų kraštinių. Bet kurioje keturkampėje prizmėje yra tik keturios įstrižainės. Stačiakampio stačiakampio pagrindo stačiakampio visų įstrižainių ilgiai yra lygūs vienas kitam.
Toliau pateiktame paveikslėlyje parodytas atitinkamas skaičius. Raudonas segmentas yra jo įstrižainė.
Jos ilgį apskaičiuoti labai paprasta, jei prisimenate Pitagoro teoremą. Kiekvienas mokinys gali gauti norimą formulę. Jo forma yra tokia:
D=√(A2+ B2 + C2)
Čia D yra įstrižainės ilgis. Likę simboliai atitinka dėžutės kraštų ilgius.
Daugelis žmonių painioja gretasienio įstrižainę su jo kraštinių įstrižainėmis. Žemiau yra paveikslėlis, kuriame yra spalvotaatkarpos žymi figūros kraštinių įstrižaines.
Kiekvieno iš jų ilgis taip pat nustatomas pagal Pitagoro teoremą ir yra lygus atitinkamų kraštinių ilgių kvadratų sumos kvadratinei šaknei.
Prizmės tūris
Be įprastos keturkampės prizmės ar kitų tipų prizmių ploto, norėdami išspręsti kai kurias geometrines problemas, turėtumėte žinoti ir jų tūrį. Ši absoliučiai bet kurios prizmės vertė apskaičiuojama pagal šią formulę:
V=Soh
Jei prizmė yra stačiakampė, pakanka apskaičiuoti jos pagrindo plotą ir padauginti iš kraštinės ilgio, kad gautume figūros tūrį.
Jei prizmė yra taisyklinga keturkampė prizmė, jos tūris bus:
V=a2h.
Nesunku pastebėti, kad ši formulė paverčiama kubo tūrio išraiška, jei šoninės briaunos ilgis h lygus pagrindo a kraštinei.
Problema dėl stačiakampio
Siekdami konsoliduoti tiriamą medžiagą, išspręsime tokį uždavinį: yra stačiakampis gretasienis, kurio kraštinės yra 3 cm, 4 cm ir 5 cm. Būtina apskaičiuoti jo paviršiaus plotą, įstrižainės ilgį ir tūrį.
Tikslumui darysime prielaidą, kad figūros pagrindas yra stačiakampis, kurio kraštinės yra 3 cm ir 4 cm. Tada jo plotas yra 12 cm2 yra 14 cm. Naudodami prizmės paviršiaus ploto formulę, gauname:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Norėdami nustatyti figūros įstrižainės ilgį ir tūrį, galite tiesiogiai naudoti aukščiau pateiktas išraiškas:
D=√(32+42+52)=7. 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problema dėl įstrižo gretasienio
Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota įstriža prizmė. Jo kraštinės lygios: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Reikia rasti šios figūros paviršiaus plotą.
Pirma, nustatykime pagrindo plotą. Paveikslėlyje parodyta, kad smailusis kampas yra 50o. Tada jo plotas yra:
So=ha=sin(50o)ba
Norėdami nustatyti šoninio paviršiaus plotą, turėtumėte rasti užtamsinto stačiakampio perimetrą. Šio stačiakampio kraštinės yra asin(45o) ir bsin(60o). Tada šio stačiakampio perimetras yra:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Bendras šios dėžutės paviršiaus plotas yra:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Duomenis iš uždavinio sąlygos pakeičiame figūros kraštinių ilgiais, gauname atsakymą:
S=458, 5496 cm3
Iš šio uždavinio sprendimo matyti, kad įstrižų figūrų plotams nustatyti naudojamos trigonometrinės funkcijos.
