Geometrinės figūros erdvėje yra stereometrijos tyrimo objektas, kurio kursą išlaiko vidurinės mokyklos moksleiviai. Šis straipsnis skirtas tokiam tobulam daugiakampiui kaip prizmė. Išsamiau panagrinėkime prizmės savybes ir pateikime formules, kurios padeda jas kiekybiškai apibūdinti.
Kas yra prizmė?
Kiekvienas įsivaizduoja, kaip atrodo dėžutė ar kubas. Abi figūros yra prizmės. Tačiau prizmių klasė yra daug įvairesnė. Geometrijoje šiai figūrai pateikiamas toks apibrėžimas: prizmė yra bet koks erdvės daugiakampis, sudarytas iš dviejų lygiagrečių ir vienodų daugiakampių kraštinių ir kelių lygiagretainių. Identiški lygiagretūs figūros veidai vadinami jos pagrindais (viršutiniu ir apatiniu). Lygiagretainės yra figūros šoniniai paviršiai, jungiantys pagrindo šonus vienas su kitu.
Jei pagrindas pavaizduotas n kampu, kur n yra sveikas skaičius, tada figūrą sudarys 2+n paviršių, 2n viršūnių ir 3n briaunų. Veidai ir kraštai nurodovienas iš dviejų tipų: arba jie priklauso šoniniam paviršiui, arba prie pagrindo. Kalbant apie viršūnes, jos visos yra lygios ir priklauso prizmės pagrindams.
Tiriamosios klasės figūrų tipai
Tirdami prizmės savybes, turėtumėte išvardyti galimus šios figūros tipus:
- Išgaubta ir įgaubta. Skirtumas tarp jų yra daugiakampio pagrindo forma. Jei ji įgaubta, tai taip pat bus trimatė figūra, ir atvirkščiai.
- Tiesus ir įstrižas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai arba kvadratai. Įstrižoje figūroje šoniniai paviršiai yra bendrojo tipo lygiagretainiai arba rombai.
- Neteisinga ir teisinga. Kad tiriama figūra būtų teisinga, ji turi būti tiesi ir turėti teisingą pagrindą. Pastarųjų pavyzdys yra plokščios figūros, pvz., lygiakraštis trikampis arba kvadratas.
Prizmės pavadinimas formuojamas atsižvelgiant į nurodytą klasifikaciją. Pavyzdžiui, aukščiau minėtas stačiakampis gretasienis arba kubas vadinamas taisyklingąja keturkampe prizme. Taisyklingas prizmes dėl didelės simetrijos patogu tirti. Jų savybės išreiškiamos specialiomis matematinėmis formulėmis.
Prizmės sritis
Laikydami tokią prizmės savybę kaip jos plotą, jie reiškia bendrą visų jos paviršių plotą. Šią reikšmę lengviausia įsivaizduoti, jei išskleidžiate figūrą, tai yra, išplėste visus veidus į vieną plokštumą. ŽemiauPaveikslėlyje parodytas dviejų prizmių nubraukimo pavyzdys.
Savavališkai prizmei jos nubraukimo ploto formulę bendra forma galima parašyti taip:
S=2So+ bPsr.
Paaiškinkime žymėjimą. Reikšmė So yra vieno pagrindo plotas, b yra šoninės briaunos ilgis, Psr yra pjūvio perimetras, kuris yra statmena figūros šoniniams lygiagretainiams.
Parašyta formulė dažnai naudojama pasvirusių prizmių plotams nustatyti. Įprastos prizmės atveju S išraiška įgis tam tikrą formą:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Pirmasis terminas išraiškoje reiškia dviejų taisyklingos prizmės pagrindų plotą, antrasis narys yra šoninių stačiakampių plotas. Čia a yra taisyklingo n kampo kraštinės ilgis. Atkreipkite dėmesį, kad taisyklingosios prizmės šoninės briaunos b ilgis taip pat yra jos aukštis h, todėl formulėje b gali būti pakeistas h.
Kaip apskaičiuoti figūros tūrį?
Prizmė yra gana paprastas daugiakampis, turintis didelę simetriją. Todėl norint nustatyti jo tūrį, yra labai paprasta formulė. Tai atrodo taip:
V=Soh.
Apskaičiuoti pagrindo plotą ir aukštį gali būti sudėtinga žiūrint į įstrižą netaisyklingą formą. Ši problema išspręsta naudojant nuoseklią geometrinę analizę, apimančią informaciją apie dvikampius kampus tarp šoninių lygiagretainių ir pagrindo.
Jei prizmė teisinga, tadaV formulė tampa gana konkreti:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Kaip matote, įprastos prizmės plotas S ir tūris V yra vienareikšmiškai nustatyti, jei žinomi du jos tiesiniai parametrai.
Trikampė taisyklingoji prizmė
Straipsnį baigkime apsvarstydami taisyklingosios trikampės prizmės savybes. Jį sudaro penki paviršiai, iš kurių trys yra stačiakampiai (kvadratai), o du – lygiakraščiai trikampiai. Prizmė turi šešias viršūnes ir devynias briaunas. Šios prizmės tūrio ir paviršiaus ploto formulės parašytos žemiau:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Be šių savybių, taip pat naudinga pateikti figūros pagrindo apotemos formulę, kuri yra lygiakraščio trikampio aukštis ha:
ha=√3/2a.
Prizmės kraštinės yra identiški stačiakampiai. Jų įstrižainių d ilgiai yra:
d=√(a2+ h2).
Trikampės prizmės geometrinių savybių žinojimas yra ne tik teorinis, bet ir praktinis interesas. Faktas yra tas, kad ši figūra, pagaminta iš optinio stiklo, naudojama kūnų spinduliavimo spektrui tirti.
Eidama pro stiklo prizmę šviesa dėl dispersijos reiškinio suskaidoma į daugybę komponentinių spalvų, o tai sudaro sąlygas tirti elektromagnetinio srauto spektrinę sudėtį.
