Tipiniai bet kurios piramidės tiesiniai parametrai yra jos pagrindo kraštinių ilgiai, aukštis, šoninės briaunos ir apotemos. Nepaisant to, yra dar viena charakteristika, susijusi su nurodytais parametrais - tai dvikampis kampas. Apsvarstykite straipsnyje, kas tai yra ir kaip jį rasti.
Erdvinė figūrų piramidė
Kiekvienas mokinys, išgirdęs žodį „piramidė“, gerai supranta, kas gresia. Geometriškai jį galima sukonstruoti taip: pasirinkite tam tikrą daugiakampį, tada fiksuokite tašką erdvėje ir prijunkite jį prie kiekvieno daugiakampio kampo. Gauta trimatė figūra bus savavališko tipo piramidė. Jį sudarantis daugiakampis vadinamas pagrindu, o taškas, su kuriuo sujungti visi jo kampai, yra figūros viršūnė. Toliau pateiktame paveikslėlyje schematiškai pavaizduota penkiakampė piramidė.
Matyti, kad jo paviršių sudaro ne tik penkiakampis, bet ir penki trikampiai. Apskritai šių trikampių skaičius bus lygus skaičiuidaugiakampio pagrindo kraštinės.
Diedraliniai figūros kampai
Kai geometrinės problemos nagrinėjamos plokštumoje, bet kurį kampą sudaro dvi susikertančios tiesės arba atkarpos. Erdvėje prie šių tiesinių kampų pridedami dvikampiai kampai, suformuoti susikirtus dviem plokštumoms.
Jei aptariamai figūrai taikomas pažymėtas kampo erdvėje apibrėžimas, galime pasakyti, kad yra dviejų tipų dvikampiai kampai:
- Piramidės apačioje. Jį sudaro pagrindo plokštuma ir bet kuris šoninis paviršius (trikampis). Tai reiškia, kad piramidės pagrindo kampai yra n, kur n yra daugiakampio kraštinių skaičius.
- Tarp kraštinių (trikampiai). Šių dvikampių kampų skaičius taip pat yra n vienetų.
Atkreipkite dėmesį, kad pirmojo tipo svarstomi kampai statomi ant pagrindo kraštų, antrojo tipo - ant šoninių kraštų.
Kaip apskaičiuoti piramidės kampus?
Dvikampio kampo tiesinis kampas yra pastarojo matas. Jį apskaičiuoti nėra lengva, nes piramidės paviršiai, skirtingai nei prizmės paviršiai, paprastai nesikerta stačiu kampu. Patikimiausia dvikampių kampų reikšmes apskaičiuoti naudojant bendrosios formos plokštumos lygtis.
Trimatėje erdvėje plokštuma suteikiama tokia išraiška:
Ax + By + Cz + D=0
Kur A, B, C, D yra tikrieji skaičiai. Šios lygties patogumas yra tas, kad pirmieji trys pažymėti skaičiai yra vektoriaus koordinatės,kuri yra statmena nurodytai plokštumai, t.y.:
n¯=[A; B; C]
Jei žinomos trijų plokštumai priklausančių taškų koordinatės, tai imant dviejų vektorių, pastatytų ant šių taškų, vektorinę sandaugą, galima gauti koordinates n¯. Vektorius n¯ vadinamas plokštumos kreiptuvu.
Pagal apibrėžimą, dvisienis kampas, susidaręs susikirtus dviem plokštumoms, yra lygus tiesiniam kampui tarp jų krypties vektorių. Tarkime, kad turime dvi plokštumas, kurių normalieji vektoriai yra lygūs:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Norėdami apskaičiuoti kampą φ tarp jų, galite naudoti skaliarinės sandaugos savybę, tada atitinkama formulė bus:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Arba koordinačių forma:
φ=arccos (|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Parodykime, kaip naudoti aukščiau pateiktą dvikampių kampų skaičiavimo metodą sprendžiant geometrinius uždavinius.
Taisyklingos keturkampės piramidės kampai
Tarkime, kad yra taisyklinga piramidė, kurios apačioje yra kvadratas, kurio kraštinė yra 10 cm. Figūros aukštis yra12 cm. Reikia apskaičiuoti, kokie dvikampiai kampai yra piramidės pagrindu ir jos kraštinėse.
Kadangi uždavinio sąlygoje pateikta figūra yra teisinga, tai yra, ji turi didelę simetriją, tada visi kampai prie pagrindo yra lygūs vienas kitam. Šoninių paviršių suformuoti kampai taip pat yra vienodi. Norint apskaičiuoti reikiamus dvikampius kampus, randame pagrindo ir dviejų šoninių plokštumų krypties vektorius. Pagrindo kraštinės ilgį pažymėkite raide a ir aukštį h.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė taisyklinga piramidė. Išrašykime taškų A, B, C ir D koordinates pagal įvestą koordinačių sistemą:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Dabar randame pagrindinių plokštumų ABC ir dviejų kraštinių ABD ir BCD krypties vektorius pagal aukščiau pateiktoje pastraipoje aprašytą metodą:
ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Dabar belieka taikyti atitinkamą kampo φ formulę ir pakeisti problemos teiginio kraštinių ir aukščio vertes:
Kampas tarp ABC irABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Kampas tarp ABD ir BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Apskaičiavome kampų reikšmes, kurias reikėjo rasti pagal problemos sąlygą. Formulės, gautos sprendžiant uždavinį, gali būti naudojamos keturkampių taisyklingų piramidžių, kurių a ir h reikšmės yra bet kokios reikšmės, dvikampiams kampams nustatyti.
Trikampės taisyklingos piramidės kampai
Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas trikampis. Yra žinoma, kad dvikampis kampas tarp šonų yra teisingas. Būtina apskaičiuoti pagrindo plotą, jei žinoma, kad figūros aukštis yra 15 cm.
Dvikampis kampas, lygus 90o, paveiksle pažymėtas kaip ABC. Galite išspręsti problemą naudodami aukščiau pateiktą metodą, tačiau šiuo atveju tai padarysime lengviau. Pažymime trikampio kraštinę a, figūros aukštį - h, apotemą - hb ir kraštinęšonkaulis - b. Dabar galite parašyti šias formules:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Kadangi du piramidės kraštiniai trikampiai yra vienodi, kraštinės AB ir CB yra lygios ir yra trikampio ABC kojos. Pažymėkime jų ilgį x, tada:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Palyginus šoninių trikampių plotus ir pakeitus apotemą atitinkama išraiška, gauname:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Lygiakraščio trikampio plotas apskaičiuojamas taip:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Aukščio reikšmę pakeiskite uždavinio sąlyga, gausime atsakymą: S=584, 567 cm2.
