Funkcijų ir jų grafikų tyrimas yra tema, kuriai skiriamas ypatingas dėmesys vidurinės mokyklos mokymo programoje. Kai kurie matematinės analizės pagrindai – diferenciacija – įtraukti į matematikos egzamino profilio lygį. Kai kurie moksleiviai turi problemų dėl šios temos, nes jie painioja funkcijos ir išvestinės grafikus, taip pat pamiršta algoritmus. Šiame straipsnyje bus aptariami pagrindiniai užduočių tipai ir jų sprendimo būdai.
Kokia yra funkcijos reikšmė?
Matematinė funkcija yra speciali lygtis. Jis nustato ryšį tarp skaičių. Funkcija priklauso nuo argumento reikšmės.
Funkcijos reikšmė apskaičiuojama pagal pateiktą formulę. Norėdami tai padaryti, vietoj x pakeiskite bet kurį argumentą, atitinkantį galiojančių verčių diapazoną šioje formulėje, ir atlikite reikiamas matematines operacijas. Ką?
Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę,naudojant grafiko funkciją?
Funkcijos priklausomybės nuo argumento grafinis vaizdas vadinamas funkcijos grafiku. Jis pastatytas plokštumoje su tam tikru vieneto segmentu, kur kintamojo arba argumento reikšmė brėžiama išilgai horizontalios abscisių ašies, o atitinkama funkcijos reikšmė išilgai vertikalios ordinačių ašies.
Kuo didesnė argumento reikšmė, tuo labiau jis yra grafike dešinėje. Ir kuo didesnė pačios funkcijos reikšmė, tuo aukštesnis taškas.
Ką tai sako? Mažiausia funkcijos reikšmė bus taškas, esantis žemiausiame grafike. Norėdami jį rasti diagramos segmente, jums reikia:
1) Raskite ir pažymėkite šio segmento galus.
2) Vizualiai nustatykite, kuris šios atkarpos taškas yra žemiausiame.
3) Atsakydami užrašykite jo skaitinę reikšmę, kurią galima nustatyti projektuojant tašką į y ašį.
Ekstremalūs taškai išvestinėje diagramoje. Kur ieškoti?
Tačiau sprendžiant uždavinius kartais pateikiamas ne funkcijos, o jos išvestinės grafikas. Norint netyčia nepadaryti kvailos klaidos, geriau atidžiai perskaityti sąlygas, nes tai priklauso nuo to, kur reikia ieškoti ekstremalių taškų.
Taigi, išvestinė yra momentinis funkcijos padidėjimo greitis. Pagal geometrinį apibrėžimą išvestinė atitinka liestinės nuolydį, kuris yra tiesiogiai nubrėžtas į nurodytą tašką.
Žinoma, kad ekstremaliuose taškuose liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Tai reiškia, kad jo nuolydis yra 0.
Iš to galime daryti išvadą, kad ekstremaliuose taškuose išvestinė yra x ašyje arba išnyksta. Be to, šiuose taškuose funkcija keičia savo kryptį. Tai yra, po padidėjimo laikotarpio jis pradeda mažėti, o išvestinė atitinkamai pasikeičia iš teigiamos į neigiamą. Arba atvirkščiai.
Jei išvestis tampa neigiama iš teigiamos, tai yra didžiausias taškas. Jei iš neigiamo jis tampa teigiamas - minimalus taškas.
Svarbu: jei užduotyje reikia nurodyti mažiausią arba didžiausią tašką, atsakydami į abscisių ašį turėtumėte parašyti atitinkamą reikšmę. Bet jei jums reikia rasti funkcijos reikšmę, pirmiausia turite pakeisti atitinkamą argumento reikšmę į funkciją ir ją apskaičiuoti.
Kaip rasti ekstremalių taškų naudojant išvestinę?
Apsvarstyti pavyzdžiai daugiausia susiję su 7 egzamino užduotimi, kuri apima darbą su išvestinės arba antidarinės grafiku. Tačiau 12 USE užduotis – surasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente (kartais ir didžiausią) – atliekama be jokių brėžinių ir reikalauja pagrindinių matematinės analizės įgūdžių.
Norėdami tai atlikti, turite mokėti rasti ekstremalių taškų naudodami išvestinę. Jų radimo algoritmas yra toks:
- Raskite funkcijos išvestinę.
- Nustatykite į nulį.
- Raskite lygties šaknis.
- Patikrinkite, ar gauti taškai yra ekstremumo ar vingio taškai.
Norėdami tai padaryti, nubrėžkite diagramą ir toliaugaunami intervalai nustato išvestinės požymius, atkarpoms priklausančius skaičius pakeičiant išvestine. Jei spręsdami lygtį gavote dvigubos daugybos šaknis, tai yra vingio taškai.
Taikydami teoremas nustatykite, kurie taškai yra mažiausi, o kurie didžiausi
Apskaičiuokite mažiausią funkcijos reikšmę naudodami išvestinę
Tačiau atlikę visus šiuos veiksmus, rasime minimalaus ir didžiausio taškų reikšmes išilgai x ašies. Bet kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente?
Ką reikia padaryti, norint rasti skaičių, atitinkantį funkciją konkrečiame taške? Turite pakeisti argumento reikšmę į šią formulę.
Mažiausias ir didžiausias taškai atitinka mažiausią ir didžiausią atkarpos funkcijos reikšmę. Taigi, norėdami rasti funkcijos reikšmę, turite apskaičiuoti funkciją naudodami gautas x reikšmes.
Svarbu! Jei atliekant užduotį reikia nurodyti mažiausią arba didžiausią tašką, atsakydami į x ašį turėtumėte parašyti atitinkamą reikšmę. Bet jei jums reikia rasti funkcijos reikšmę, pirmiausia turite pakeisti atitinkamą argumento reikšmę į funkciją ir atlikti reikiamus matematinius veiksmus.
Ką daryti, jei šiame segmente nėra žemiausio lygio?
Bet kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente, kuriame nėra ekstremalių taškų?
Tai reiškia, kad funkcija monotoniškai mažėja arba didėja. Tada į funkciją turite pakeisti šio segmento kraštutinių taškų reikšmę. Yra du būdai.
1) Apskaičiavęišvestinė ir intervalai, kuriuose ji yra teigiama arba neigiama, kad būtų galima padaryti išvadą, ar funkcija mažėja ar didėja tam tikrame segmente.
Atsižvelgiant į juos, į funkciją pakeiskite didesnę ar mažesnę argumento reikšmę.
2) Tiesiog pakeiskite abu taškus į funkciją ir palyginkite gautas funkcijos reikšmes.
Kokiose užduotyse išvestinę rasti neprivaloma
Paprastai USE užduotyse vis tiek reikia rasti išvestinę. Yra tik kelios išimtys.
1) Parabolė.
Parabolės viršūnė randama pagal formulę.
Jei < 0, tada parabolės šakos nukreiptos žemyn. Ir jo viršūnė yra didžiausias taškas.
Jei > 0, tada parabolės šakos nukreiptos į viršų, viršūnė yra mažiausias taškas.
Apskaičiavę parabolės viršūnės tašką, turėtumėte pakeisti jo reikšmę į funkciją ir apskaičiuoti atitinkamą funkcijos reikšmę.
2) Funkcija y=tg x. Arba y=ctg x.
Šios funkcijos monotoniškai didėja. Todėl kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė pačios funkcijos reikšmė. Toliau pateiksime pavyzdžius, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę segmente.
Pagrindiniai užduočių tipai
Užduotis: didžiausia arba mažiausia funkcijos reikšmė. Pavyzdys diagramoje.
Paveikslėlyje matote funkcijos f (x) išvestinės intervale [-6; 6]. Kuriame atkarpos taške [-3; 3] f(x) turi mažiausią reikšmę?
Taigi, pradedantiesiems, turėtumėte pasirinkti nurodytą segmentą. Jame funkcija vieną kartą įgauna nulinę reikšmę ir pakeičia ženklą - tai yra ekstremumo taškas. Kadangi išvestinė iš neigiamo tampa teigiama, tai reiškia, kad tai yra mažiausias funkcijos taškas. Šis taškas atitinka argumento 2 reikšmę.
Atsakymas: 2.
Toliau žiūrėkite pavyzdžius. Užduotis: suraskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę segmente.
Rasti mažiausią funkcijos y=(x - 8) reikšmę ex-7 intervalle [6; 8].
1. Paimkite sudėtingos funkcijos išvestinę.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Gautą išvestinę prilyginkite nuliui ir išspręskite lygtį.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x – 7=0 arba ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, be šaknų
3. Funkcijoje pakeiskite kraštutinių taškų reikšmę, taip pat gautas lygties šaknis.
y (6)=(6–8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7–8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8–8) e8-7=0e1=0
Atsakymas: -1.
Taigi, šiame straipsnyje buvo nagrinėjama pagrindinė teorija, kaip rasti segmente mažiausią funkcijos reikšmę, kuri reikalinga sėkmingai sprendžiant USE užduotis specializuotoje matematikoje. Taip pat matematiniai elementaisprendžiant užduotis iš egzamino C dalies naudojama analizė, tačiau akivaizdu, kad jos yra skirtingo sudėtingumo lygio, o jų sprendimų algoritmus sunku sutalpinti į vienos medžiagos rėmus.
