Trikampis yra viena iš labiausiai paplitusių geometrinių formų, su kuria jau susipažinome pradinėje mokykloje. Klausimas, kaip rasti trikampio plotą, iškyla kiekvienam geometrijos pamokų mokiniui. Taigi, kokias ypatybes galima išskirti tam tikros figūros ploto radimui? Šiame straipsnyje mes apsvarstysime pagrindines formules, būtinas tokiai užduočiai atlikti, taip pat išanalizuosime trikampių tipus.
Trikampių tipai
Trikampio plotą galite rasti visiškai skirtingais būdais, nes geometrijoje yra daugiau nei vieno tipo figūros, kuriose yra trys kampai. Šios rūšys apima:
- Smailus trikampis.
- Abstrakčiojo kampo.
- Lygiakraščiai (teisingai).
- Dešinysis trikampis.
- Lygiašoniai.
Pažvelkime atidžiau į kiekvieną iš esamų trikampių tipų.
Ūmustrikampis
Tokia geometrinė figūra laikoma labiausiai paplitusia sprendžiant geometrinius uždavinius. Kai reikia nubrėžti savavališką trikampį, ši parinktis padeda.
Smailiame trikampyje, kaip rodo pavadinimas, visi kampai yra smailūs ir sudaro 180°.
Tvirto kampo trikampis
Šis trikampis taip pat labai paplitęs, tačiau yra šiek tiek retesnis nei smailaus kampo. Pavyzdžiui, sprendžiant trikampius (tai yra, žinai keletą jo kraštinių ir kampų ir reikia surasti likusius elementus), kartais reikia nustatyti, ar kampas bukas, ar ne. Bukojo kampo kosinusas yra neigiamas skaičius.
Bukasme trikampyje vieno iš kampų vertė viršija 90°, todėl likę du kampai gali turėti mažas reikšmes (pvz., 15° ar net 3°).
Norėdami rasti tokio tipo trikampio plotą, turite žinoti keletą niuansų, apie kuriuos pakalbėsime vėliau.
Taisyklingieji ir lygiašoniai trikampiai
Taisyklingas daugiakampis yra figūra, kurią sudaro n kampų, o visos kraštinės ir kampai yra lygūs. Tai yra stačiakampis trikampis. Kadangi visų trikampio kampų suma yra 180°, kiekvienas iš trijų kampų yra 60°.
Taisyklingas trikampis dėl savo savybių dar vadinamas lygiakrašte figūra.
Taip pat verta paminėti, kadTaisyklingasis trikampis gali būti nubrėžtas tik vienu apskritimu ir tik vienu apskritimu, o jų centrai yra viename taške.
Be lygiašonio tipo, galima pasirinkti ir lygiašonį trikampį, kuris šiek tiek skiriasi nuo jo. Tokiame trikampyje dvi kraštinės ir du kampai yra lygūs vienas kitam, o trečioji kraštinė (prie kurios ribojasi vienodi kampai) yra pagrindas.
Paveikslėlyje parodytas lygiašonis trikampis DEF, kurio kampai D ir F yra lygūs, o DF yra pagrindas.
Dešinysis trikampis
Stačiakampis trikampis pavadintas taip, nes vienas iš jo kampų yra stačiakampis, ty lygus 90°. Kiti du kampai sudaro 90°.
Didžiausia tokio trikampio kraštinė, esanti priešais 90° kampą, yra hipotenuzė, o kitos dvi jo kraštinės yra kojos. Šio tipo trikampiams taikoma Pitagoro teorema:
Kojų ilgių kvadratų suma lygi hipotenuzės ilgio kvadratui.
Paveikslėlyje parodytas stačiakampis trikampis BAC su hipotenuze AC ir kojomis AB ir BC.
Norėdami rasti stačiojo kampo trikampio plotą, turite žinoti jo kojų skaitines reikšmes.
Pereikime prie formulių, kaip rasti šios figūros plotą.
Pagrindinės srities formulės
Geometrijoje yra dvi formulės, tinkamos rasti daugelio tipų trikampių plotus, būtent smailaus kampo, bukukampio, taisyklingojo irlygiašoniai trikampiai. Išanalizuokime kiekvieną iš jų.
Šalia ir aukštyje
Ši formulė yra universali norint rasti figūros plotą, kurį svarstome. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti šono ilgį ir į jį nubrėžto aukščio ilgį. Pati formulė (pusė pagrindo ir aukščio sandaugos) atrodo taip:
S=½AH, kur A yra nurodyto trikampio kraštinė, o H yra trikampio aukštis.
Pavyzdžiui, norėdami rasti smailaus kampo trikampio ACB plotą, turite padauginti jo kraštinę AB iš aukščio CD ir gautą reikšmę padalyti iš dviejų.
Tačiau tokiu būdu ne visada lengva rasti trikampio plotą. Pavyzdžiui, norėdami naudoti šią formulę bukukampiam trikampiui, turite tęsti vieną iš jo kraštinių ir tik po to nubrėžti aukštį.
Praktikoje ši formulė naudojama dažniau nei kitos.
Iš dviejų pusių ir kampo
Ši formulė, kaip ir ankstesnė, tinka daugumai trikampių ir savo prasme yra formulės, leidžiančios rasti plotą pagal trikampio kraštinę ir aukštį, pasekmė. Tai yra, nagrinėjamą formulę galima lengvai išvesti iš ankstesnės. Jos formuluotė atrodo taip:
S=½sinOAB, kur A ir B yra trikampio kraštinės, o O yra kampas tarp kraštinių A ir B.
Prisiminkite, kad kampo sinusą galima pamatyti specialioje lentelėje, pavadintoje iškilaus sovietinio matematiko V. M. Bradiso vardu.
O dabar pereikime prie kitų formulių,tinka tik išskirtinių tipų trikampiams.
Stačiakampio trikampio plotas
Be universalios formulės, kuri apima poreikį nubrėžti trikampio aukštį, trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotą galima rasti pagal jo kojeles.
Taigi, trikampio su stačiu kampu plotas yra pusė jo kojų sandaugos arba:
S=½ab, kur a ir b yra stačiojo trikampio kojos.
Įprastas trikampis
Šio tipo geometrinės figūros skiriasi tuo, kad jos plotą galima rasti su nurodyta tik vienos iš jo kraštinių reikšme (nes visos taisyklingo trikampio kraštinės yra lygios). Taigi, įvykdę užduotį „rasti trikampio plotą, kai kraštinės yra lygios“, turite naudoti šią formulę:
S=A2√3 / 4, kur A yra lygiakraščio trikampio kraštinė.
Herono formulė
Paskutinis trikampio ploto nustatymo variantas yra Herono formulė. Norint juo naudotis, reikia žinoti trijų figūros kraštinių ilgius. Herono formulė atrodo taip:
S=√p (p–a) (p–b) (p–c), kur a, b ir c yra šio trikampio kraštinės.
Kartais pateikiama užduotis: „Taisyklingojo trikampio plotas – suraskite jo kraštinės ilgį“. Šiuo atveju reikia naudoti jau žinomą taisyklingo trikampio ploto formulę ir iš jos išvesti kraštinės (arba jos kvadrato) reikšmę:
A2=4S / √3.
Egzaminų problemos
Atliekant GIA užduotisMatematikoje yra daug formulių. Be to, dažnai ant languoto popieriaus reikia rasti trikampio plotą.
Tokiu atveju patogiausia nubrėžti aukštį į vieną iš figūros kraštų, nustatyti jos ilgį langeliais ir naudoti universalią ploto nustatymo formulę:
S=½AH.
Taigi, išstudijavę straipsnyje pateiktas formules, jums nekils problemų ieškant bet kokio trikampio ploto.
