Trikampis yra daugiakampis su trimis kraštinėmis (trimis kampais). Dažniausiai pusės žymimos mažomis raidėmis, atitinkančiomis didžiąsias raides, kurios žymi priešingas viršūnes. Šiame straipsnyje susipažinsime su šių geometrinių figūrų tipais, teorema, kuri nustato, kokia yra trikampio kampų suma.
Žiūrės pagal kampą
Išskiriami šie daugiakampių tipai su trimis viršūnėmis:
- smailaus kampo, kurio visi kampai aštrūs;
- stačiakampis, turintis vieną stačią kampą, o jį sudarančios kraštinės vadinamos kojelėmis, o pusė, kuri yra priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse;
- bukas, kai vienas kampas bukas;
- lygiašoniai, kurių dvi kraštinės yra lygios ir vadinamos šoninėmis, o trečioji yra trikampio pagrindas;
- lygiakraščiai, turintys visas tris lygias puses.
Ypatybės
Jie pabrėžia pagrindines kiekvieno tipo trikampio savybes:
- priešingai didesnei pusei visada yra didesnis kampas, ir atvirkščiai;
- priešingos vienodo dydžio pusės yra vienodi kampai, ir atvirkščiai;
- bet koks trikampis turi du smailiuosius kampus;
- išorinis kampas yra didesnis už bet kurį vidinį kampą, kuris nėra šalia jo;
- bet kurių dviejų kampų suma visada yra mažesnė nei 180 laipsnių;
- išorinis kampas yra lygus kitų dviejų kampų, kurie su juo nesikerta, sumai.
Trikampio kampų sumos teorema
Teorema teigia, kad jei sudėsite visus tam tikros geometrinės figūros, esančios Euklido plokštumoje, kampus, tada jų suma bus 180 laipsnių. Pabandykime įrodyti šią teoremą.
Turime savavališką trikampį su KMN viršūnėmis.
Per viršūnę M nubrėžkite tiesę, lygiagrečią tiesei KN (ši linija dar vadinama Euklido tiese). Jame pažymime tašką A taip, kad taškai K ir A būtų skirtingose tiesės MN pusėse. Gauname lygius kampus AMN ir KNM, kurie, kaip ir vidiniai, yra skersai ir yra sudaryti iš sekantės MN kartu su lygiagrečiomis tiesėmis KN ir MA. Iš to išplaukia, kad trikampio, esančio viršūnėse M ir H, kampų suma yra lygi kampo KMA dydžiui. Visi trys kampai sudaro sumą, kuri yra lygi kampų KMA ir MKN sumai. Kadangi šie kampai viduje yra vienpusiailygiagrečios tiesės KN ir MA su sekante KM, jų suma yra 180 laipsnių. Teorema įrodyta.
Pasekmės
Iš aukščiau įrodytos teoremos išplaukia tokia išvada: bet kuris trikampis turi du smailiuosius kampus. Norėdami tai įrodyti, darykime prielaidą, kad tam tikra geometrinė figūra turi tik vieną smailią kampą. Taip pat galima daryti prielaidą, kad nė vienas kampas nėra smailus. Šiuo atveju turi būti bent du kampai, lygūs arba didesni nei 90 laipsnių. Bet tada kampų suma bus didesnė nei 180 laipsnių. Bet taip negali būti, nes pagal teoremą trikampio kampų suma yra 180 ° - nei daugiau, nei mažiau. Tai turėjo būti įrodyta.
Išorinis kampinis turtas
Kokia trikampio išorinių kampų suma? Į šį klausimą galima atsakyti vienu iš dviejų būdų. Pirmasis yra tas, kad reikia rasti kampų sumą, kuri paimama po vieną kiekvienoje viršūnėje, tai yra, trys kampai. Antrasis reiškia, kad reikia rasti visų šešių kampų sumą viršūnėse. Pirma, aptarkime pirmąjį variantą. Taigi, trikampyje yra šeši išoriniai kampai – po du kiekvienoje viršūnėje.
Kiekviena pora turi vienodus kampus, nes jie yra vertikalūs:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Be to, žinoma, kad trikampio išorinis kampas yra lygus dviejų vidinių kampų, kurie nesikerta su juo, sumai. Todėl
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Iš to paaiškėja, kad išorės sumakampai, paimti po vieną kiekvienoje viršūnėje, bus lygūs:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Atsižvelgiant į tai, kad kampų suma yra 180 laipsnių, galima teigti, kad ∟A + ∟B + ∟C=180°. Ir tai reiškia, kad ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Jei naudojamas antrasis variantas, šešių kampų suma bus atitinkamai dvigubai didesnė. Tai yra, trikampio išorinių kampų suma bus:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Dešinysis trikampis
Kokia yra stačiojo trikampio smailiųjų kampų suma? Atsakymas į šį klausimą vėlgi išplaukia iš teoremos, teigiančios, kad trikampio kampai sudaro 180 laipsnių. O mūsų teiginys (savybė) skamba taip: stačiakampiame trikampyje smailieji kampai sudaro 90 laipsnių. Įrodykime jos teisingumą.
Duokite mums trikampį KMN, kuriame ∟Н=90°. Būtina įrodyti, kad ∟K + ∟M=90°.
Taigi, pagal kampų sumos teoremą ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Mūsų sąlyga sako, kad ∟Н=90°. Taigi pasirodo, ∟K + ∟M + 90°=180°. Tai yra, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Tai turėjome įrodyti.
Be aukščiau nurodytų stačiakampio trikampio savybių, galite pridėti:
- kampai, esantys prieš kojas, yra aštrūs;
- hipotenuzė yra trikampė labiau nei bet kuri koja;
- kojų suma yra didesnė nei hipotenuzė;
- kojatrikampis, esantis priešais 30 laipsnių kampą, yra pusė hipotenuzės, ty lygus jos pusei.
Kaip kitą šios geometrinės figūros savybę galima išskirti Pitagoro teoremą. Ji teigia, kad trikampyje, kurio kampas yra 90 laipsnių (stačiakampis), kojų kvadratų suma yra lygi hipotenuzės kvadratui.
Lygiašonio trikampio kampų suma
Anksčiau sakėme, kad lygiašonis yra daugiakampis, turintis tris viršūnes, turinčias dvi lygias kraštines. Ši tam tikros geometrinės figūros savybė yra žinoma: jos pagrindo kampai yra lygūs. Įrodykime tai.
Paimkite trikampį KMN, kuris yra lygiašonis, KN yra jo pagrindas.
Mes privalome įrodyti, kad ∟К=∟Н. Taigi, tarkime, kad MA yra mūsų trikampio KMN pusiausvyra. MCA trikampis, atsižvelgiant į pirmąjį lygybės ženklą, yra lygus MCA trikampiui. Būtent pagal sąlygą duota, kad KM=NM, MA yra bendroji pusė, ∟1=∟2, nes MA yra pusiaukampinė. Remdamiesi tuo, kad šie du trikampiai yra lygūs, galime teigti, kad ∟K=∟Н. Taigi teorema įrodyta.
Bet mus domina, kokia yra trikampio (lygiašonio) kampų suma. Kadangi šiuo atžvilgiu ji neturi savo ypatumų, pradėsime nuo anksčiau nagrinėtos teoremos. Tai yra, galime sakyti, kad ∟K + ∟M + ∟H=180° arba 2 x ∟K + ∟M=180° (kadangi ∟K=∟H). Šios savybės neįrodysime, nes pati trikampio sumos teorema buvo įrodyta anksčiau.
Išskyrus aptartus atvejustrikampio kampų savybių, taip pat yra tokių svarbių teiginių:
- lygiašonio trikampio aukštis, kuris buvo nuleistas iki pagrindo, yra ir mediana, ir kampo, esančio tarp lygių kraštinių, pusiausvyra, ir jo pagrindo simetrijos ašis;
- medianos (pusiauliai, aukščiai), nubrėžtos į tokios geometrinės figūros šonus, yra lygios.
Lygiakraštis trikampis
Jis taip pat vadinamas dešiniuoju, tai trikampis, kurio visos kraštinės lygios. Todėl kampai taip pat lygūs. Kiekvienas iš jų yra 60 laipsnių. Įrodykime šią savybę.
Tarkime, kad turime trikampį KMN. Žinome, kad KM=NM=KN. O tai reiškia, kad pagal lygiašonio trikampio kampų, esančių pagrinde, savybę ∟К=∟М=∟Н. Kadangi pagal teoremą trikampio kampų suma yra ∟К + ∟М + ∟Н=180°, tai 3 x ∟К=180° arba ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Taigi teiginys yra įrodytas.
Kaip matote iš aukščiau pateikto įrodymo, pagrįsto teorema, lygiakraščio trikampio kampų suma, kaip ir bet kurio kito trikampio kampų suma, yra 180 laipsnių. Nereikia dar kartą įrodinėti šios teoremos.
Taip pat yra lygiakraščiam trikampiui būdingų savybių:
- mediana, bisektorius, aukštis tokioje geometrinėje figūroje yra vienodi, o jų ilgis apskaičiuojamas taip (a x √3): 2;
- Jei aprašysite apskritimą aplink tam tikrą daugiakampį, jo spindulys bus tokslygus (a x √3): 3;
- jei į lygiakraštį trikampį įbrėžiate apskritimą, jo spindulys bus (a x √3): 6;
- šios geometrinės figūros plotas apskaičiuojamas pagal formulę: (a2 x √3): 4.
Tvirto kampo trikampis
Pagal bukojo trikampio apibrėžimą, vienas iš jo kampų yra nuo 90 iki 180 laipsnių. Tačiau atsižvelgiant į tai, kad kiti du šios geometrinės figūros kampai yra smailūs, galime daryti išvadą, kad jie neviršija 90 laipsnių. Todėl trikampio kampų sumos teorema veikia apskaičiuojant bukojo trikampio kampų sumą. Pasirodo, kad, remiantis minėta teorema, galime drąsiai teigti, kad bukojo trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Vėlgi, šios teoremos nereikia iš naujo įrodyti.
