Viena iš figūrų, atsirandančių sprendžiant geometrines užduotis erdvėje, yra kūgis. Jis, skirtingai nei daugiakampis, priklauso sukimosi figūrų klasei. Straipsnyje panagrinėkime, ką tai reiškia geometrijoje, ir išnagrinėkime įvairių kūgio atkarpų charakteristikas.
Kūgis geometrijoje
Tarkime, kad plokštumoje yra tam tikra kreivė. Tai gali būti parabolė, apskritimas, elipsė ir pan. Paimkite tašką, kuris nepriklauso nurodytai plokštumai, ir sujunkite visus kreivės taškus. Gautas paviršius vadinamas kūgiu arba tiesiog kūgiu.
Jei pradinė kreivė uždara, kūginis paviršius gali būti užpildytas medžiaga. Tokiu būdu gauta figūra yra trimatis kūnas. Jis taip pat vadinamas kūgiu. Žemiau parodyti keli popieriaus kūgiai.
Kūginis paviršius randamas kasdieniame gyvenime. Pavyzdžiui, ledų kūgis arba dryžuotas eismo kūgis turi tokią formą, kuri yra skirta patraukti vairuotojų dėmesį irpėstieji.
Kūgių tipai
Kaip galite atspėti, nagrinėjamos figūros skiriasi viena nuo kitos pagal kreivės, ant kurios jos sudarytos, tipą. Pavyzdžiui, yra apvalus kūgis arba elipsinis. Ši kreivė vadinama figūros pagrindu. Tačiau pagrindo forma nėra vienintelė savybė, leidžianti klasifikuoti kūgius.
Antra svarbi charakteristika yra aukščio padėtis pagrindo atžvilgiu. Kūgio aukštis yra tiesios linijos atkarpa, nuleista nuo figūros viršaus iki pagrindo plokštumos ir statmena šiai plokštumai. Jei aukštis kerta pagrindą geometriniame centre (pavyzdžiui, apskritimo centre), tada kūgis bus tiesus, jei statmena atkarpa nukris į bet kurį kitą pagrindo tašką arba už jo, tada figūra bus įstrižai.
Toliau straipsnyje kaip ryškų nagrinėjamos figūrų klasės atstovą laikysime tik apvalų tiesų kūgį.
Kūgio elementų geometriniai pavadinimai
Aukščiau buvo pasakyta, kad kūgis turi pagrindą. Jį riboja apskritimas, vadinamas kūgio kreiptuvu. Segmentai, jungiantys kreiptuvą su tašku, kuris nėra pagrindo plokštumoje, vadinami generatoriais. Visų generatorių taškų rinkinys vadinamas kūginiu arba šoniniu figūros paviršiumi. Apvalaus dešiniojo kūgio atveju visi generatoriai yra vienodo ilgio.
Generatorių susikirtimo taškas vadinamas figūros viršumi. Skirtingai nuo daugiakampio, kūgis turi vieną viršūnę ir Nrkraštas.
Tiesi linija, einanti per figūros viršų ir apskritimo centrą, vadinama ašimi. Ašyje yra tiesaus kūgio aukštis, todėl ji sudaro stačią kampą su pagrindo plokštuma. Ši informacija svarbi apskaičiuojant kūgio ašinės dalies plotą.
Apvalus tiesus kūgis – sukimosi figūra
Aptariamas kūgis yra gana simetriška figūra, kurią galima gauti sukant trikampį. Tarkime, kad turime trikampį su stačiu kampu. Norint gauti kūgį, pakanka pasukti šį trikampį aplink vieną iš kojų, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.
Matyti, kad sukimosi ašis yra kūgio ašis. Viena iš kojų bus lygi figūros aukščiui, o antroji koja taps pagrindo spinduliu. Trikampio hipotenuzė dėl sukimosi apibūdins kūginį paviršių. Tai bus kūgio generatorius.
Šį apvalaus tiesiojo kūgio gavimo būdą patogu naudoti matematiniam ryšiui tarp figūros tiesinių parametrų: aukščio h, apvalaus pagrindo spindulio r ir kreipiklio g tirti. Atitinkama formulė išplaukia iš stačiojo trikampio savybių. Jis pateikiamas toliau:
g2=h2+ r2.
Kadangi turime vieną lygtį ir tris kintamuosius, tai reiškia, kad norint vienareikšmiškai nustatyti apvalaus kūgio parametrus, reikia žinoti bet kokius du dydžius.
Kūgio atkarpos plokštuma, kurioje nėra figūros viršūnės
Figūros dalių konstravimo klausimas nėra tokstrivialus. Faktas yra tas, kad kūgio pjūvio pagal paviršių forma priklauso nuo santykinės figūros ir atkarpos padėties.
Tarkime, kad kūgį susikertame su plokštuma. Koks bus šios geometrinės operacijos rezultatas? Pjūvio formos parinktys parodytos toliau esančiame paveikslėlyje.
Rožinė dalis yra apskritimas. Jis susidaro dėl figūros susikirtimo su plokštuma, kuri yra lygiagreti kūgio pagrindui. Tai yra statmenos figūros ašiai atkarpos. Virš pjovimo plokštumos suformuota figūra yra kūgis, panašus į pradinį, bet apačioje yra mažesnis apskritimas.
Žalia sekcija yra elipsė. Jis gaunamas, jei pjovimo plokštuma nėra lygiagreti pagrindui, o tik kerta šoninį kūgio paviršių. Virš plokštumos nupjauta figūra vadinama elipsiniu įstrižu kūgiu.
Mėlynos ir oranžinės skiltys yra atitinkamai parabolinės ir hiperbolinės. Kaip matote iš paveikslo, jie gaunami, jei pjovimo plokštuma vienu metu kerta šoninį paviršių ir figūros pagrindą.
Norint nustatyti kūgio atkarpų, kurios buvo svarstomos, plotus, reikia naudoti atitinkamos figūros plokštumoje formules. Pavyzdžiui, apskritimo atveju tai yra skaičius Pi, padaugintas iš spindulio kvadrato, o elipsės atveju tai yra Pi ir mažosios bei didžiosios pusašių ilgio sandauga:
apskritimas: S=pir2;
elipsė: S=piab.
Skyriai, kuriuose yra kūgio viršus
Dabar apsvarstykite sekcijų parinktis, kurios atsiranda, jei pjovimo plokštuma yrapereiti per kūgio viršų. Galimi trys atvejai:
- Skyrius yra vienas taškas. Pavyzdžiui, plokštuma, einanti per viršūnę ir lygiagreti pagrindui, suteikia būtent tokią atkarpą.
- Atkarpa yra tiesi linija. Tokia situacija susidaro, kai plokštuma liečia kūginį paviršių. Šiuo atveju atkarpos tiesi linija bus kūgio generatorius.
- Ašinė sekcija. Jis susidaro, kai plokštumoje yra ne tik figūros viršus, bet ir visa jos ašis. Tokiu atveju plokštuma bus statmena apvaliam pagrindui ir padalins kūgį į dvi lygias dalis.
Akivaizdu, kad pirmųjų dviejų tipų sekcijų plotai yra lygūs nuliui. Kalbant apie 3 tipo kūgio skerspjūvio plotą, šis klausimas išsamiau aptariamas kitoje pastraipoje.
Ašinė sekcija
Aukščiau buvo pažymėta, kad ašinė kūgio pjūvis yra figūra, susidaranti, kai kūgį kerta plokštuma, einanti per jo ašį. Nesunku atspėti, kad šiame skyriuje bus parodyta paveikslėlyje žemiau.
Tai lygiašonis trikampis. Ašinės kūgio pjūvio viršūnė yra šio trikampio viršūnė, suformuota susikirtus identiškoms kraštinėms. Pastarieji yra lygūs kūgio generatricos ilgiui. Trikampio pagrindas yra kūgio pagrindo skersmuo.
Kūgio ašinės pjūvio ploto apskaičiavimas sumažinamas iki gauto trikampio ploto. Jei iš pradžių žinomi pagrindo spindulys r ir kūgio aukštis h, tada nagrinėjamos atkarpos plotas S bus:
S=hr.
Taiišraiška yra standartinės trikampio ploto formulės taikymo rezultatas (pusė aukščio sandaugos padauginus iš pagrindo).
Atkreipkite dėmesį, kad jei kūgio generatorius yra lygus jo apvalaus pagrindo skersmeniui, tada kūgio ašinė pjūvis yra lygiakraštis trikampis.
Trikampė pjūvis susidaro, kai pjovimo plokštuma yra statmena kūgio pagrindui ir eina per jo ašį. Bet kuri kita plokštuma, lygiagreti nurodytai, duos pjūvio hiperbolę. Tačiau jei plokštumoje yra kūgio viršūnė ir jos pagrindą kerta ne per skersmenį, gauta atkarpa taip pat bus lygiašonis trikampis.
Kūgio tiesinių parametrų nustatymo problema
Parodykime, kaip panaudoti ašinio pjūvio plotui parašytą formulę geometriniam uždaviniui išspręsti.
Žinoma, kad kūgio ašinės dalies plotas yra 100 cm2. Gautas trikampis yra lygiakraštis. Koks yra kūgio aukštis ir jo pagrindo spindulys?
Kadangi trikampis yra lygiakraštis, jo aukštis h yra susietas su kraštinės a ilgiu taip:
h=√3/2a.
Atsižvelgiant į tai, kad trikampio kraštinė yra dvigubai didesnė už kūgio pagrindo spindulį, ir pakeitę šią išraišką į skerspjūvio ploto formulę, gauname:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Tada kūgio aukštis yra:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Belieka ploto vertę pakeisti problemos būsenair gaukite atsakymą:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Kokiose srityse svarbu žinoti nagrinėjamų sekcijų parametrus?
Įvairių tipų kūgio pjūvių tyrimas yra ne tik teorinis, bet ir praktinis pritaikymas.
Pirmiausia atkreiptinas dėmesys į aerodinamikos sritį, kur kūginių pjūvių pagalba galima sukurti idealias lygias kietų kūnų formas.
Antra, kūginės atkarpos yra trajektorijos, kuriomis erdvės objektai juda gravitaciniuose laukuose. Kokio konkretaus tipo pjūvis atspindi sistemos kosminių kūnų judėjimo trajektoriją, lemia jų masių, absoliučių greičių ir atstumų tarp jų santykis.
