Trikampis yra paprasčiausia plokštumoje uždaryta figūra, kurią sudaro tik trys tarpusavyje sujungti segmentai. Geometrijos uždaviniuose dažnai reikia nustatyti šios figūros plotą. Ką tam reikia žinoti? Straipsnyje atsakysime į klausimą, kaip rasti trikampio plotą iš trijų kraštinių.
Bendroji formulė
Kiekvienas mokinys žino, kad trikampio plotas apskaičiuojamas kaip bet kurios jo kraštinės ilgio sandauga - a per pusę aukščio - h, nuleistos į pasirinktą kraštinę. Žemiau yra atitinkama formulė: S=ah/2.
Šią išraišką galima naudoti, jei žinomos bent dvi pusės ir kampo tarp jų reikšmė. Šiuo atveju aukštį h lengva apskaičiuoti naudojant trigonometrines funkcijas, tokias kaip sinusas. Tačiau ne visi žino, kaip rasti plotą trikampio kraštinėse.
Herono formulė
Ši formulė yra atsakymas į klausimą, kaiptrys kraštinės suraskite trikampio plotą. Prieš užrašydami savavališkos figūros atkarpų ilgius pažymėkime a, b ir c. Herono formulė parašyta taip: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Kur p yra figūros pusė perimetro, t.y.: p=(a+b+c)/2.
Nepaisant akivaizdaus sudėtingumo, pirmiau pateiktą srities S išraišką lengva prisiminti. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite apskaičiuoti trikampio pusperimetrą, tada iš jo atimti iš vieno figūros kraštinės ilgio, padauginti visus gautus skirtumus ir patį pusperimetrą. Galiausiai paimkite produkto kvadratinę šaknį.
Ši formulė pavadinta Aleksandrijos Herono, gyvenusio mūsų eros pradžioje, vardu. Šiuolaikinė istorija mano, kad būtent šis filosofas pirmą kartą panaudojo šią išraišką atitinkamiems skaičiavimams atlikti. Ši formulė paskelbta jo Metricoje, kuri datuojama 60 m. Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriuose Archimedo, gyvenusio dviem šimtmečiais anksčiau už Heroną, darbuose yra ženklų, kad graikų filosofas jau žinojo formulę. Be to, senovės kinai taip pat žinojo, kaip rasti trikampio plotą, žinodami tris puses.
Svarbu pažymėti, kad problemą galima išspręsti nežinant, kad egzistuoja Herono formulė. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite keletą aukščių trikampyje ir naudokite bendrąją formulę iš ankstesnės pastraipos, sudarydami atitinkamą lygčių sistemą.
Gerono išraiška gali būti naudojama savavališkų daugiakampių plotams apskaičiuoti, juos suskaidžius įtrikampius ir apskaičiuojant gautų įstrižainių ilgius.
Problemos sprendimo pavyzdys
Žinodami, kaip rasti trikampio plotą iš trijų kraštinių, įtvirtinkime savo žinias išspręsdami šią problemą. Tegul figūros kraštinės yra 5 cm, 4 cm ir 3 cm. Raskite plotą.
Žinomos trys trikampio kraštinės, todėl galite naudoti Herono formulę. Apskaičiuojame pusperimetrą ir reikiamus skirtumus, turime:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Tada gauname plotą: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Uždavinio sąlygoje pateiktas trikampis yra stačiakampis, o tai lengva patikrinti, jei naudojate Pitagoro teoremą. Kadangi tokio trikampio plotas yra pusė kojų sandaugos, gauname: S=43/2=6 cm2.
Gauto reikšmė yra tokia pati kaip ir Herono formulės, kuri patvirtina pastarosios galiojimą.
