Šešiakampės piramidės tūrio formulė: problemos sprendimo pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Erdvinių figūrų tūrių skaičiavimas yra viena iš svarbių stereometrijos užduočių. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tokio daugiakampio, kaip piramidės, tūrio nustatymo klausimą, taip pat pateiksime taisyklingos šešiakampės piramidės tūrio formulę.

šešiakampė piramidė

Pirmiausia pažiūrėkime, kokia yra figūra, kuri bus aptarta straipsnyje.

Turime savavališką šešiakampį, kurio kraštinės nebūtinai yra lygios viena kitai. Taip pat tarkime, kad pasirinkome erdvės tašką, kuris nėra šešiakampio plokštumoje. Pastarojo visus kampus sujungę su pasirinktu tašku, gauname piramidę. Toliau esančiame paveikslėlyje parodytos dvi skirtingos piramidės su šešiakampiu pagrindu.

Matyti, kad be šešiakampio figūrą sudaro šeši trikampiai, kurių jungties taškas vadinamas viršūne. Skirtumas tarp pavaizduotų piramidžių yra tas, kad dešinės jų aukštis h nekerta šešiakampio pagrindo geometriniame centre, o kairiosios figūros aukštis krentapačiame centre. Dėl šio kriterijaus kairioji piramidė buvo vadinama tiesia, o dešinioji - įstrine.

Kadangi paveikslo kairiosios figūros pagrindą sudaro šešiakampis, kurio kraštinės ir kampai yra vienodi, ji vadinama teisinga. Toliau straipsnyje kalbėsime tik apie šią piramidę.

Šešiakampės piramidės tūris

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, galioja ši formulė:

V=1/3hS_o

Čia h yra figūros aukščio ilgis, S_{o yra jos pagrindo plotas. Naudokime šią išraišką taisyklingos šešiakampės piramidės tūriui nustatyti.}

Kadangi nagrinėjama figūra pagrįsta lygiakraštiu šešiakampiu, jo plotui apskaičiuoti galite naudoti šią bendrąją n-kampio išraišką:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Čia n yra sveikasis skaičius, lygus daugiakampio kraštinių (kampų) skaičiui, a yra jo kraštinės ilgis, kotangentinė funkcija apskaičiuojama naudojant atitinkamas lenteles.

Pritaikę išraišką n=6, gauname:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Dabar belieka pakeisti šią išraišką į bendrą V tomo formulę:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Taigi, norint apskaičiuoti nagrinėjamos piramidės tūrį, būtina žinoti du jos tiesinius parametrus: pagrindo kraštinės ilgį ir figūros aukštį.

Problemos sprendimo pavyzdys

Parodykime, kaip gautą V_{6 išraišką galima panaudoti sprendžiant šią problemą.}

Žinoma, kad taisyklingos šešiakampės piramidės tūris yra 100 cm3. Būtina nustatyti pagrindo kraštinę ir figūros aukštį, jei žinoma, kad jie yra tarpusavyje susiję tokia lygybe:

a=2h

Kadangi į tūrio formulę įtraukti tik a ir h, bet kuris iš šių parametrų gali būti pakeistas ja, išreikštas kitu. Pavyzdžiui, pakeiskite a, gausime:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Norėdami rasti figūros aukščio reikšmę, iš tūrio turite paimti trečiojo laipsnio šaknį, atitinkančią ilgio matmenį. Piramidės tūrio reikšmę V_{6 pakeičiame iš uždavinio teiginio, gauname aukštį:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Kadangi pagrindo pusė, atsižvelgiant į problemos būklę, yra dvigubai didesnė už rastą reikšmę, gauname jos reikšmę:

a=2h=23, 0676=6, 1352cm

Šešiakampės piramidės tūrį galima rasti ne tik pagal figūros aukštį ir jos pagrindo kraštinės reikšmę. Jai apskaičiuoti pakanka žinoti du skirtingus tiesinius piramidės parametrus, pavyzdžiui, apotemą ir šoninės briaunos ilgį.