Kiekvienas mokinys, studijavęs stereometriją vidurinėje mokykloje, susidūrė su kūgiu. Dvi svarbios šios erdvinės figūros charakteristikos yra paviršiaus plotas ir tūris. Šiame straipsnyje parodysime, kaip rasti apvalaus kūgio tūrį.
Apvalus kūgis kaip stačiojo trikampio sukimosi figūra
Prieš pereinant tiesiai prie straipsnio temos, būtina apibūdinti kūgį geometriniu požiūriu.
Tebūna koks nors stačiakampis trikampis. Jei pasuksite jį aplink bet kurią koją, šio veiksmo rezultatas bus norima figūra, parodyta paveikslėlyje žemiau.
Čia kojelė AB yra kūgio ašies dalis, o jos ilgis atitinka figūros aukštį. Antroji kojelė (segmentas CA) bus kūgio spindulys. Sukimosi metu jis apibūdins apskritimą, kuris riboja figūros pagrindą. Hipotenuzė BC vadinama figūros generatrix arba jos generatrix. Taškas B yra vienintelė kūgio viršūnė.
Atsižvelgiant į trikampio ABC savybes, ryšį tarp generatoriaus g, spindulio r ir aukščio h galime užrašyti taiplygybė:
g2=h2+ r2
Ši formulė naudinga sprendžiant daugelį geometrinių uždavinių, susijusių su nagrinėjama figūra.
Kūgio tūrio formulė
Bet kurios erdvinės figūros tūris yra erdvės plotas, kurį riboja šios figūros paviršiai. Yra du tokie kūgio paviršiai:
- Šoninis arba kūginis. Jį sudaro visos generatricos.
- Fondas. Šiuo atveju tai yra apskritimas.
Gaukite kūgio tūrio nustatymo formulę. Norėdami tai padaryti, mes mintyse supjaustome jį į daugybę sluoksnių, lygiagrečių pagrindui. Kiekvieno sluoksnio storis dx yra lygus nuliui. Sluoksnio plotas Sx, esantis x atstumu nuo paveikslo viršaus, yra lygus šiai išraiškai:
Sx=pir2x2/h 2
Šios išraiškos pagrįstumą galima patikrinti intuityviai, pakeičiant reikšmes x=0 ir x=h. Pirmuoju atveju gausime plotą, lygų nuliui, antruoju atveju jis bus lygus apvalaus pagrindo plotui.
Norėdami nustatyti kūgio tūrį, turite susumuoti mažus kiekvieno sluoksnio "tūrius", tai yra, naudokite integralų skaičiavimą:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Apskaičiavę šį integralą, gauname galutinę apvalaus kūgio formulę:
V=1/3pir2h
Įdomu pažymėti, kad ši formulė yra visiškai panaši į tą, kuri buvo naudojama savavališkos piramidės tūriui apskaičiuoti. Šis sutapimas nėra atsitiktinis, nes bet kuri piramidė tampa kūgiu, kai jos briaunų skaičius padidėja iki begalybės.
Tūrio skaičiavimo problema
Naudinga pateikti problemos sprendimo pavyzdį, kuris parodys išvestinės formulės naudojimą tomui V.
Duotas apvalus kūgis, kurio pagrindo plotas yra 37 cm2, o figūros generatorius yra tris kartus didesnis už spindulį. Koks kūgio tūris?
Turime teisę naudoti tūrio formulę, jei žinome du dydžius: aukštį h ir spindulį r. Raskime formules, kurios jas nustato pagal uždavinio sąlygą.
Spindulys r gali būti apskaičiuojamas žinant apskritimo plotą So, turime:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Naudodami uždavinio sąlygą, rašome lygybę generatoriui g:
g=3r=3√(So/pi)
Žinodami r ir g formules, apskaičiuokite aukštį h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi – So/pi)=√(8So/pi)
Radome visus reikiamus parametrus. Dabar atėjo laikas įtraukti juos į formulę V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Belieka pakeistibazinis plotas So ir apskaičiuokite tūrio reikšmę: V=119,75 cm3.
