Funkcija ir jos savybių tyrimas yra vienas iš pagrindinių šiuolaikinės matematikos skyrių. Pagrindinis bet kurios funkcijos komponentas yra grafikai, vaizduojantys ne tik jos savybes, bet ir šios funkcijos išvestinės parametrus. Pažvelkime į šią keblią temą. Taigi koks yra geriausias būdas rasti didžiausius ir mažiausius funkcijos taškus?
Funkcija: apibrėžimas
Bet koks kintamasis, kuris tam tikru būdu priklauso nuo kitos reikšmės reikšmių, gali būti vadinamas funkcija. Pavyzdžiui, funkcija f(x2) yra kvadratinė ir nustato visos aibės x reikšmes. Tarkime, kad x=9, tada mūsų funkcijos reikšmė bus lygi 92=81.
Funkcijos būna įvairių tipų: loginės, vektorinės, logaritminės, trigonometrinės, skaitinės ir kitos. Tokie puikūs protai kaip Lacroix, Lagrange, Leibniz ir Bernoulli dalyvavo jų studijose. Jų raštai yra šiuolaikinių funkcijų tyrimo būdų atrama. Prieš ieškant minimalių taškų, labai svarbu suprasti pačią funkcijos ir jos išvestinės prasmę.
Išvestis ir jos vaidmuo
Visos funkcijos yra įjungtospriklausomai nuo jų kintamųjų verčių, o tai reiškia, kad jie gali bet kada pakeisti savo vertę. Diagramoje tai bus pavaizduota kaip kreivė, kuri nusileidžia arba kyla išilgai y ašies (tai yra visas „y“skaičių rinkinys išilgai grafiko vertikalės). Taigi funkcijos maksimumo ir minimumo taško apibrėžimas tiesiog yra susijęs su šiais „svyravimais“. Paaiškinkime, kas yra šis ryšys.
Bet kurios funkcijos išvestinė nubrėžiama grafike, siekiant ištirti pagrindines jos charakteristikas ir apskaičiuoti, kaip greitai funkcija keičiasi (ty keičia jos reikšmę priklausomai nuo kintamojo "x"). Tuo momentu, kai funkcija padidės, jos išvestinės grafikas taip pat padidės, tačiau bet kurią sekundę funkcija gali pradėti mažėti, o tada išvestinės grafikas mažės. Tie taškai, kuriuose išvestinė iš minuso pereina į pliusą, vadinami minimaliais taškais. Kad žinotumėte, kaip rasti minimalius taškus, turėtumėte geriau suprasti išvestinės sąvoką.
Kaip apskaičiuoti išvestinę priemonę?
Funkcijos išvestinės apibrėžimas ir apskaičiavimas apima kelias diferencialinio skaičiavimo sąvokas. Apskritai patį išvestinės apibrėžimą galima išreikšti taip: tai reikšmė, kuri parodo funkcijos kitimo greitį.
Matematinis būdas tai nustatyti daugeliui mokinių atrodo sudėtingas, tačiau iš tikrųjų viskas yra daug paprasčiau. Jums tereikia sektistandartinis bet kurios funkcijos išvestinės paieškos planas. Toliau aprašoma, kaip galite rasti mažiausią funkcijos tašką netaikant diferenciacijos taisyklių ir neįsimenant išvestinių lentelės.
- Galite apskaičiuoti funkcijos išvestinę, naudodami grafiką. Norėdami tai padaryti, turite pavaizduoti pačią funkciją, tada paimti vieną tašką (taškas A pav.) Nubrėžkite liniją vertikaliai žemyn iki abscisių ašies (taškas x0) ir taške A nubrėžkite funkcijos grafikos liestinę. Abscisių ašis ir liestinė sudaro kampą a. Norėdami apskaičiuoti, kaip greitai funkcija didėja, turite apskaičiuoti šio kampo liestinę a.
- Pasirodo, kad kampo tarp liestinės ir x ašies krypties liestinė yra funkcijos išvestinė mažame plote su tašku A. Šis metodas laikomas geometriniu būdu išvestinei nustatyti.
Funkcijos tyrimo metodai
Mokyklinėje matematikos programoje funkcijos minimumą galima rasti dviem būdais. Pirmąjį metodą jau išanalizavome naudodami grafiką, bet kaip nustatyti išvestinės skaitinę reikšmę? Norėdami tai padaryti, turėsite išmokti keletą formulių, kurios apibūdina išvestinės ypatybes ir padeda konvertuoti tokius kintamuosius kaip „x“į skaičius. Šis metodas yra universalus, todėl jį galima pritaikyti beveik visoms funkcijoms (tiek geometrinėms, tiek logaritminėms).
- Būtina prilyginti funkciją išvestinei funkcijai, o tada supaprastinti išraišką naudojant taisyklesdiferenciacija.
- padalinti iš nulio).
- Po to turėtumėte paversti pradinę funkcijos formą į paprastą lygtį, prilyginant visą išraišką nuliui. Pavyzdžiui, jei funkcija atrodė taip: f(x)=2x3+38x, tai pagal diferenciacijos taisykles jos išvestinė yra lygi f'(x)=3x 2 +1. Tada šią išraišką paverčiame tokios formos lygtimi: 3x2+1=0.
- Išsprendę lygtį ir radę taškus „x“, nubrėžkite juos ant x ašies ir nustatykite, ar išvestinė šiose srityse tarp pažymėtų taškų yra teigiama, ar neigiama. Po žymėjimo paaiškės, nuo kurio momento funkcija pradeda mažėti, tai yra, keičia ženklą iš minuso į priešingą. Tokiu būdu galite rasti ir minimalų, ir maksimalų taškų skaičių.
Diferencijavimo taisyklės
Pagrindinė funkcijos ir jos išvestinės mokymosi dalis yra diferenciacijos taisyklių žinojimas. Tik su jų pagalba galima transformuoti sudėtingas išraiškas ir dideles sudėtingas funkcijas. Susipažinkime su jais, jų yra gana daug, bet jie visi labai paprasti dėl reguliarių laipsnio ir logaritminių funkcijų savybių.
- Bet kurios konstantos išvestinė yra lygi nuliui (f(x)=0). Tai yra, išvestinė f(x)=x5+ x - 160 bus tokia: f' (x)=5x4+1.
- Dviejų terminų sumos išvestinė: (f+w)'=f'w + fw'.
- Logaritminės funkcijos išvestinė: (logad)'=d/ln ad. Ši formulė taikoma visų tipų logaritmams.
- Laipsnio išvestinė: (x)'=nxn-1. Pavyzdžiui, (9x2)'=92x=18x.
- Sinusinės funkcijos išvestinė: (sin a)'=cos a. Jei kampo a nuodėmė yra 0,5, tai jo išvestinė yra √3/2.
Ekstremalūs taškai
Mes jau supratome, kaip rasti minimalius taškus, tačiau yra maksimalių funkcijos taškų sąvoka. Jei minimumas žymi tuos taškus, kuriuose funkcija pereina iš minuso į pliusą, tai didžiausi taškai yra tie x ašies taškai, kuriuose funkcijos išvestinė keičiasi iš pliuso į priešingą – minusą.
Maksimalų taškų skaičių galite rasti aukščiau aprašytu metodu, tik reikia atsižvelgti į tai, kad jie žymi tas sritis, kuriose funkcija pradeda mažėti, tai yra, išvestinė bus mažesnė už nulį.
Matematikoje įprasta abi sąvokas apibendrinti, pakeičiant jas fraze „ekstremalūs taškai“. Kai užduotyje prašoma nustatyti šiuos taškus, tai reiškia, kad reikia apskaičiuoti šios funkcijos išvestinę ir rasti minimalų bei maksimalų taškų skaičių.
