Matematika yra gana sudėtingas mokslas. Ją studijuojant tenka ne tik spręsti pavyzdžius ir uždavinius, bet ir dirbti su įvairiomis figūromis, netgi plokštumomis. Viena iš dažniausiai naudojamų matematikoje yra koordinačių sistema plokštumoje. Teisingai su juo dirbti vaikai buvo mokomi jau ne vienerius metus. Todėl svarbu žinoti, kas tai yra ir kaip teisingai su juo dirbti.
Išsiaiškinkime, kas yra ši sistema, kokius veiksmus su ja galite atlikti, taip pat išsiaiškinkime pagrindines jos charakteristikas ir ypatybes.
Sąvokos apibrėžimas
Koordinačių plokštuma yra plokštuma, kurioje nustatyta tam tikra koordinačių sistema. Tokią plokštumą apibrėžia dvi tiesės, susikertančios stačiu kampu. Šių linijų susikirtimo taškas yra koordinačių pradžia. Kiekvienas koordinačių plokštumos taškas yra nurodytas skaičių pora, kurios vadinamos koordinatėmis.
Mokyklos matematikos kurse moksleiviai turi gana glaudžiai dirbti su koordinačių sistema – statyti ant jos figūras ir taškus, nustatyti, kuriosviena ar kita koordinatė priklauso plokštumai, taip pat nustatyti taško koordinates ir jas parašyti ar pavadinti. Todėl pakalbėkime išsamiau apie visas koordinačių ypatybes. Tačiau pirmiausia paliesime kūrimo istoriją, o tada kalbėsime apie tai, kaip dirbti koordinačių plokštumoje.
Istorijos fonas
Idėjos apie koordinačių sistemos kūrimą buvo Ptolemėjaus laikais. Jau tada astronomai ir matematikai galvojo, kaip išmokti nustatyti taško padėtį plokštumoje. Deja, tuo metu mums nebuvo žinoma koordinačių sistema, o mokslininkai turėjo naudoti kitas sistemas.
Iš pradžių jie nustato taškus naudodami platumą ir ilgumą. Ilgą laiką tai buvo vienas iš dažniausiai naudojamų šios ar kitos informacijos atvaizdavimo būdų. Tačiau 1637 m. Rene Descartes'as sukūrė savo koordinačių sistemą, vėliau pavadintą „Dekartine“didžiojo matematiko garbei.
Paleidus darbą „Geometrija“, Rene'o Descartes'o koordinačių sistema pelnė pripažinimą mokslo sluoksniuose.
Jau XVII amžiaus pabaigoje. „koordinačių plokštumos“sąvoka tapo plačiai naudojama matematikos pasaulyje. Nepaisant to, kad nuo šios sistemos sukūrimo praėjo keli šimtmečiai, ji vis dar plačiai naudojama matematikoje ir net gyvenime.
Koordinačių plokštumos pavyzdžiai
Prieš kalbėdami apie teoriją, pateikime keletą iliustruojančių koordinačių plokštumos pavyzdžių, kad galėtumėte ją įsivaizduoti. Koordinačių sistema pirmiausia naudojama šachmatuose. Lentoje kiekvienas kvadratas turi savo koordinates – viena raidė, antra – skaitmeninė. Su jo pagalba galite nustatyti tam tikros figūros padėtį lentoje.
Antras ryškiausias pavyzdys – mylimas žaidimas „Battleship“. Prisiminkite, kaip žaisdami įvardijate koordinatę, pavyzdžiui, B3, taip tiksliai nurodydami, kur taikosi. Tuo pačiu metu, statydami laivus, nustatote taškus koordinačių plokštumoje.
Ši koordinačių sistema plačiai naudojama ne tik matematikoje, loginiuose žaidimuose, bet ir kariniuose reikaluose, astronomijoje, fizikoje ir daugelyje kitų mokslų.
Koordinačių ašys
Kaip jau minėta, koordinačių sistemoje yra dvi ašys. Pakalbėkime šiek tiek apie juos, nes jie yra labai svarbūs.
Pirmoji ašis – abscisė – yra horizontali. Jis žymimas kaip (Jautis). Antroji ašis yra y ašis, kuri eina vertikaliai per atskaitos tašką ir žymima kaip (Oy). Būtent šios dvi ašys sudaro koordinačių sistemą, padalijančią plokštumą į keturis ketvirčius. Pradinė vieta yra šių dviejų ašių susikirtimo taške ir įgyja reikšmę 0. Tik jei plokštuma sudaryta iš dviejų statmenai susikertančių ašių, turinčių atskaitos tašką, ji yra koordinačių plokštuma.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad kiekviena ašis turi savo kryptį. Paprastai, kuriant koordinačių sistemą, ašies kryptį įprasta nurodyti rodyklės pavidalu. Be to, kuriant koordinačių plokštumą, kiekviena ašis yra pasirašyta.
Ketvirčiai
Dabar pasakykime keletą žodžių apie tokią sąvoką kaip koordinačių plokštumos ketvirčiai. Plokštuma yra padalinta dviem ašimis į keturis ketvirčius. Kiekvienas iš jų turi savo numerį, o plokštumų numeracija yra prieš laikrodžio rodyklę.
Kiekvienas kvartalas turi savo ypatybes. Taigi pirmame ketvirtyje abscisė ir ordinatė yra teigiamos, antrajame ketvirtyje abscisė yra neigiama, ordinatė yra teigiama, trečiame ir abscisė, ir ordinatė yra neigiamos, ketvirtajame - abscisė yra teigiamas, o ordinatė yra neigiama.
Prisimindami šias savybes galite lengvai nustatyti, kuriam kvartalui priklauso tas ar kitas taškas. Be to, ši informacija gali būti naudinga jums, jei turite atlikti skaičiavimus naudodami Dekarto sistemą.
Darbas su koordinačių plokštuma
Kai išsiaiškinome plokštumos sąvoką ir kalbėjome apie jo ketvirčius, galime pereiti prie tokios problemos kaip darbas su šia sistema, taip pat kalbėti apie tai, kaip ant jos sudėti taškus, figūrų koordinates. Koordinačių plokštumoje tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio.
Visų pirma, pati sistema yra sukurta, jai priskiriami visi svarbūs pavadinimai. Tada yra darbas tiesiogiai su taškais ar skaičiais. Tokiu atveju, net ir konstruojant figūras, taškai pirmiausia pritaikomi plokštumai, o tada jau nubraižomos figūros.
Toliau pakalbėsime daugiau apie sistemos kūrimą ir tiesioginį taškų bei formų taikymą.
Taisyklėslėktuvo statyba
Jei nuspręsite pradėti žymėti figūras ir taškus popieriuje, jums reikės koordinačių plokštumos. Ant jo nubraižytos taškų koordinatės. Norint sukurti koordinačių plokštumą, jums reikia tik liniuotės ir rašiklio ar pieštuko. Pirmiausia nubrėžiama horizontali abscisė, po to vertikali – ordinatė. Svarbu atsiminti, kad ašys susikerta stačiu kampu.
Be to, ant kiekvienos ašies nurodykite kryptį ir pažymėkite jas naudodami visuotinai priimtą žymėjimą x ir y. Ašių susikirtimo taškas taip pat pažymėtas ir pasirašytas skaičiumi 0.
Kitas privalomas elementas yra žymėjimas. Vienetai-segmentai yra pažymėti ir pasirašyti ant kiekvienos ašies abiem kryptimis. Tai daroma tam, kad galėtumėte dirbti su lėktuvu maksimaliai patogiai.
Taško žymėjimas
Dabar pakalbėkime apie tai, kaip koordinačių plokštumoje nubraižyti taškų koordinates. Tai yra pagrindiniai dalykai, kuriuos reikia žinoti norint sėkmingai išdėstyti įvairias formas plokštumoje ir net pažymėti lygtis.
Brėžydami taškus atsiminkite, kaip teisingai parašytos jų koordinatės. Taigi, paprastai nustatant tašką, skliausteliuose rašomi du skaičiai. Pirmasis skaitmuo nurodo taško koordinatę išilgai abscisių ašies, antrasis - išilgai ordinačių ašies.
Sukurkite tašką tokiu būdu. Pirmiausia pažymėkite duotą tašką Ox ašyje, tada pažymėkite tašką Oy ašyje. Tada iš šių žymėjimų nubrėžkite įsivaizduojamas linijas ir suraskite jų susikirtimo vietą – tai bus nurodytas taškas.
Tereikia tai pažymėti ir pasirašyti. Kaip matote, viskas yra gana paprasta ir nereikalauja specialių įgūdžių.
Padėkite formą
Dabar pereikime prie tokio klausimo kaip figūrų konstravimas koordinačių plokštumoje. Norėdami sukurti bet kurią figūrą koordinačių plokštumoje, turėtumėte žinoti, kaip joje išdėstyti taškus. Jei žinote, kaip tai padaryti, padėti figūrą plokštumoje nėra taip sunku.
Visų pirma, jums reikės figūros taškų koordinačių. Būtent ant jų savo koordinačių sistemoje pritaikysime jūsų pasirinktas geometrines figūras. Apsvarstykite galimybę nupiešti stačiakampį, trikampį ir apskritimą.
Pradėkime nuo stačiakampio. Taikyti jį gana paprasta. Pirmiausia plokštumai taikomi keturi taškai, nurodantys stačiakampio kampus. Tada visi taškai nuosekliai sujungiami vienas su kitu.
Trikampio piešimas nesiskiria. Vienintelis dalykas yra tai, kad jis turi tris kampus, o tai reiškia, kad plokštumai taikomi trys taškai, nurodantys jos viršūnes.
Kalbant apie apskritimą, čia turėtumėte žinoti dviejų taškų koordinates. Pirmasis taškas yra apskritimo centras, antrasis – taškas, nurodantis jo spindulį. Šie du taškai pavaizduoti plokštumoje. Tada imamas kompasas, išmatuojamas atstumas tarp dviejų taškų. Kompaso taškas dedamas taške, kuris rodo centrą, ir aprašomas apskritimas.
Kaip matote, čia taip pat nėra nieko sudėtingo, svarbiausia visada turėti po ranka liniuotę ir kompasą.
Dabar žinote, kaip nubrėžti formos koordinates. Koordinačių plokštumoje tai padaryti nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio.
Išvados
Taigi, mes su jumis aptarėme vieną įdomiausių ir pagrindinių matematikos sąvokų, su kuria turi susidurti kiekvienas mokinys.
Mes išsiaiškinome, kad koordinačių plokštuma yra plokštuma, kurią sudaro dviejų ašių susikirtimas. Su jo pagalba galite nustatyti taškų koordinates, dėti ant jo figūras. Lėktuvas yra padalintas į ketvirčius, kurių kiekvienas turi savo ypatybes.
Pagrindinis įgūdis, kurį reikėtų išsiugdyti dirbant su koordinačių plokštuma, yra gebėjimas teisingai nubraižyti joje nurodytus taškus. Norėdami tai padaryti, turėtumėte žinoti teisingą ašių vietą, ketvirčių ypatybes, taip pat taisykles, pagal kurias nustatomos taškų koordinatės.
Tikimės, kad mūsų pateikta informacija buvo prieinama ir suprantama, taip pat buvo naudinga jums ir padėjo geriau suprasti šią temą.
