Tipiška geometrinė problema – rasti kampą tarp linijų. Plokštumoje, jei žinomos tiesių lygtys, jas galima nubraižyti ir kampą išmatuoti transporteriu. Tačiau šis metodas yra sunkus ir ne visada įmanomas. Norint sužinoti įvardytą kampą, nebūtina brėžti tiesių, jį galima apskaičiuoti. Šiame straipsnyje bus atsakyta, kaip tai padaryti.
Tiesioji linija ir jos vektorinė lygtis
Bet kuri tiesi linija gali būti pavaizduota kaip vektorius, kuris prasideda nuo -∞ ir baigiasi +∞. Šiuo atveju vektorius eina per tam tikrą erdvės tašką. Taigi visi vektoriai, kuriuos galima nubrėžti tarp bet kurių dviejų tiesės taškų, bus lygiagretūs vienas kitam. Šis apibrėžimas leidžia nustatyti tiesės lygtį vektorine forma:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Čia vektorius su koordinatėmis (a; b; c) yra šios linijos, einančios per tašką (x0; y0) vadovas.; z0). Parametras α leidžia perkelti nurodytą tašką į bet kurį kitą šios linijos tašką. Ši lygtis yra intuityvi ir su ja lengva dirbti tiek 3D erdvėje, tiek plokštumoje. Plokštumos joje nebus z koordinačių ir trečiosios krypties vektoriaus komponento.
Skaičiavimų atlikimo ir tiesių santykinės padėties tyrimo patogumas dėl vektoriaus lygties naudojimo yra dėl to, kad yra žinomas jos nukreipimo vektorius. Jo koordinatės naudojamos kampui tarp linijų ir atstumui tarp jų apskaičiuoti.
Bendroji lygtis tiesei plokštumoje
Aiškiai parašykime dvimačio atvejo tiesės vektorinę lygtį. Atrodo taip:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Dabar apskaičiuojame parametrą α kiekvienai lygybei ir sulyginame teisingas gautų lygybių dalis:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Atverę skliaustus ir perkeldami visas sąlygas į vieną lygybės pusę, gauname:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kur A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Gauto išraiška vadinama bendrąja tiesės, pateiktos dvimatėje erdvėje, lygtimi (trimatėje lygtis atitinka z ašiai lygiagrečią plokštumą, o ne tiesę).
Jei šioje išraiškoje aiškiai įrašysime y per x, gausime tokią formą, žinomąkiekvienas mokinys:
y=kx + p, kur k=-A/B, p=-C/B
Ši tiesinė lygtis vienareikšmiškai apibrėžia tiesę plokštumoje. Ją nubrėžti pagal gerai žinomą lygtį labai paprasta, tam reikia paeiliui dėti x=0 ir y=0, pažymėti atitinkamus taškus koordinačių sistemoje ir nubrėžti tiesę, jungiančią gautus taškus.
Kampo tarp linijų formulė
Plokštumoje dvi tiesės gali susikirsti arba būti lygiagrečios viena kitai. Erdvėje prie šių parinkčių pridedama pasvirusių linijų egzistavimo galimybė. Kad ir kokia būtų įgyvendinta šių vienmačių geometrinių objektų santykinės padėties versija, kampą tarp jų visada galima nustatyti pagal šią formulę:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kur v1¯ ir v2¯ yra atitinkamai 1 ir 2 eilutės orientaciniai vektoriai. Skaitiklis yra taškinės sandaugos modulis, siekiant neįtraukti bukųjų kampų ir atsižvelgti tik į aštrius.
Vektoriai v1¯ ir v2¯ gali būti pateikti dviem arba trimis koordinatėmis, o kampo formulė φ lieka nepakitęs.
Tiesių lygiagretumas ir statmenumas
Jei kampas tarp 2 tiesių, apskaičiuotas pagal aukščiau pateiktą formulę, yra 0o, tada jos yra lygiagrečios. Norėdami nustatyti, ar linijos yra lygiagrečios, ar ne, negalite apskaičiuoti kampoφ, pakanka parodyti, kad vieną krypties vektorių galima pavaizduoti per panašų kitos linijos vektorių, tai yra:
v1¯=qv2¯
Čia q yra tikrasis skaičius.
Jei eilučių lygtys pateiktos taip:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
tada jie bus lygiagretūs tik tada, kai x koeficientai bus lygūs, tai yra:
k1=k2
Šį faktą galima įrodyti, jei atsižvelgsime į tai, kaip koeficientas k išreiškiamas tiesės krypties vektoriaus koordinatėmis.
Jei tiesių susikirtimo kampas yra 90o, tada jos vadinamos statmenomis. Norint nustatyti tiesių statmenumą, taip pat nebūtina skaičiuoti kampo φ, tam pakanka apskaičiuoti tik vektorių v1¯ ir v skaliarinę sandaugą. 2¯. Jis turi būti nulis.
Jei erdvėje tiesės susikerta, taip pat galima naudoti kampo φ formulę. Tokiu atveju rezultatas turėtų būti teisingai interpretuojamas. Apskaičiuotasis φ rodo kampą tarp tiesių, kurios nesikerta ir nėra lygiagrečios, krypties vektorių.
1 užduotis. Statmenos linijos
Žinoma, kad tiesių lygtys turi tokią formą:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Būtina nustatyti, ar šios eilutės yrastatmena.
Kaip minėta, norint atsakyti į klausimą, pakanka apskaičiuoti kreiptuvų vektorių, atitinkančių koordinates (1; 2) ir (-4; 2), skaliarinę sandaugą. Turime:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Kadangi gavome 0, tai reiškia, kad nagrinėjamos linijos susikerta stačiu kampu, tai yra, jos yra statmenos.
2 užduotis. Linijų susikirtimo kampas
Žinoma, kad dvi tiesių lygtys turi tokią formą:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Būtina rasti kampą tarp linijų.
Kadangi x koeficientai turi skirtingas reikšmes, šios linijos nėra lygiagrečios. Norėdami rasti kampą, kuris susidaro joms susikertant, kiekvieną lygtį paverčiame vektorine forma.
Pirmoje eilutėje gauname:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Dešinėje lygties pusėje gavome vektorių, kurio koordinatės priklauso nuo x. Pavaizduokime ją kaip dviejų vektorių sumą, o pirmojo koordinatėse bus kintamasis x, o antrojo koordinates sudarys tik skaičiai:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Kadangi x įgauna savavališkas reikšmes, jį galima pakeisti parametru α. Pirmosios eilutės vektorinė lygtis tampa tokia:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Atliekame tuos pačius veiksmus su antrąja linijos lygtimi, gauname:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Pradines lygtis perrašėme vektorine forma. Dabar galite naudoti susikirtimo kampo formulę, pakeisdami joje linijų nukreipiamųjų vektorių koordinates:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Taigi, nagrinėjamos linijos susikerta 71,565o arba 1,249 radiano kampu.
Šią problemą buvo galima išspręsti kitaip. Norėdami tai padaryti, reikėjo paimti du atsitiktinius kiekvienos tiesės taškus, sudaryti iš jų tiesioginius vektorius ir tada naudoti formulę φ.
