Geometrijoje tiesi linija po taško yra bene paprasčiausias elementas. Jis naudojamas kuriant bet kokias sudėtingas figūras plokštumoje ir trimatėje erdvėje. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime bendrąją tiesės lygtį ir naudodamiesi ja išspręsime keletą problemų. Pradėkime!
Tiesi linija geometrijoje
Visi žino, kad tokios formos kaip stačiakampis, trikampis, prizmė, kubas ir t. t. susidaro susikertant tiesioms linijoms. Tiesi linija geometrijoje yra vienmatis objektas, kurį galima gauti perkeliant tam tikrą tašką į vektorių, turintį tą pačią arba priešingą kryptį. Norėdami geriau suprasti šį apibrėžimą, įsivaizduokite, kad erdvėje yra tam tikras taškas P. Šioje erdvėje paimkite savavališką vektorių u¯. Tada bet kurį linijos tašką Q galima gauti atlikus šias matematines operacijas:
Q=P + λu¯.
Čia λ yra savavališkas skaičius, kuris gali būti teigiamas arba neigiamas. Jei lygybėaukščiau parašykite koordinates, tada gausime tokią tiesės lygtį:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ši lygybė vadinama tiesės lygtimi vektorine forma. Ir vektorius u¯ vadinamas vadovu.
Bendroji tiesės plokštumoje lygtis
Kiekvienas mokinys gali tai užsirašyti be jokių sunkumų. Tačiau dažniausiai lygtis rašoma taip:
y=kx + b.
Kur k ir b yra savavališki skaičiai. Skaičius b vadinamas laisvuoju nariu. Parametras k yra lygus kampo, sudaryto susikirtus tiesiajai linijai su x ašimi, tangentei.
Aukščiau pateikta lygtis išreiškiama kintamojo y atžvilgiu. Jei pateiksime jį bendresne forma, gausime tokį užrašą:
Ax + By + C=0.
Lengva parodyti, kad ši bendrosios tiesės lygties rašymo plokštumoje forma lengvai transformuojama į ankstesnę formą. Norėdami tai padaryti, kairę ir dešinę dalis reikia padalyti iš koeficiento B ir išreikšti y.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota tiesė, einanti per du taškus.
Linutė 3D erdvėje
Tęskime tyrimą. Mes svarstėme klausimą, kaip plokštumoje pateikiama bendrosios formos tiesės lygtis. Jei erdviniam atvejui pritaikysime ankstesnėje straipsnio pastraipoje pateiktą žymėjimą, ką gausime? Viskas paprasta – jau ne tiesi, o plokštuma. Iš tiesų, ši išraiška apibūdina plokštumą, lygiagrečią z ašiai:
Ax + By + C=0.
Jei C=0, tai tokia plokštuma praeinaper z ašį. Tai svarbi funkcija.
Kaip tada būti su bendra tiesės erdvėje lygtimi? Kad suprastum, kaip to paklausti, reikia kai ką atsiminti. Dvi plokštumos susikerta išilgai tam tikros tiesės. Ką tai reiškia? Tik tiek, kad bendroji lygtis yra dviejų plokštumų lygčių sistemos sprendimo rezultatas. Parašykime šią sistemą:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ši sistema yra bendroji tiesės erdvėje lygtis. Atkreipkite dėmesį, kad plokštumos neturi būti lygiagrečios viena kitai, tai yra, jų normalieji vektoriai turi būti pasvirę tam tikru kampu vienas kito atžvilgiu. Priešingu atveju sistema neturės sprendimų.
Aukščiau pateikėme tiesės lygties vektorinę formą. Patogu naudoti sprendžiant šią sistemą. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite rasti šių plokštumų normaliųjų vektorinę sandaugą. Šios operacijos rezultatas bus tiesės krypties vektorius. Tada reikia apskaičiuoti bet kurį tašką, priklausantį linijai. Norėdami tai padaryti, turite nustatyti bet kurį iš kintamųjų, lygių tam tikrai reikšmei, du likusius kintamuosius galite rasti išsprendę sumažintą sistemą.
Kaip paversti vektorinę lygtį į bendrą? Niuansai
Tai yra tikra problema, kuri gali kilti, jei reikia parašyti bendrąją tiesės lygtį naudojant žinomas dviejų taškų koordinates. Parodykime, kaip ši problema išspręsta pavyzdžiu. Tegul žinomos dviejų taškų koordinatės:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Lygtį vektorine forma sudaryti gana lengva. Krypties vektoriaus koordinatės yra:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Atkreipkite dėmesį, kad nėra skirtumo, jei iš taško P koordinačių atimsime Q koordinates, vektorius tik pakeis savo kryptį į priešingą. Dabar turėtumėte paimti bet kurį tašką ir užrašyti vektorinę lygtį:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Norint parašyti bendrąją tiesės lygtį, parametras λ turi būti išreikštas abiem atvejais. Ir tada palyginkite rezultatus. Turime:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Belieka tik atidaryti skliaustus ir perkelti visus lygties narius į vieną lygties pusę, kad gautume bendrąją tiesės, einančios per du žinomus taškus, išraišką.
Trimačio uždavinio atveju išsaugomas sprendimo algoritmas, tik jo rezultatas bus dviejų plokštumų lygčių sistema.
Užduotis
Būtina sudaryti bendrąją lygtįtiesi linija, kuri kerta x ašį taške (-3, 0) ir yra lygiagreti y ašiai.
Pradėkime spręsti uždavinį rašydami lygtį vektorine forma. Kadangi linija yra lygiagreti y ašiai, tada jos nukreipimo vektorius bus toks:
u¯=(0, 1).
Tada norima eilutė bus parašyta taip:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Dabar išverskime šią išraišką į bendrą formą, tam išreiškiame parametrą λ:
- x=-3;
- y=λ.
Taigi, eilutei priklauso bet kuri kintamojo y reikšmė, tačiau ją atitinka tik viena kintamojo x reikšmė. Todėl bendroji lygtis bus tokia:
x + 3=0.
Problema dėl tiesios linijos erdvėje
Žinoma, kad dvi susikertančios plokštumos pateikiamos tokiomis lygtimis:
- 2x + y - z=0;
- x – 2y + 3=0.
Būtina rasti tiesės, išilgai kurios susikerta šios plokštumos, vektorinę lygtį. Pradėkime.
Kaip sakyta, bendroji tiesės lygtis trimatėje erdvėje jau pateikta dviejų su trimis nežinomaisiais sistemos pavidalu. Pirmiausia nustatome krypties vektorių, išilgai kurio plokštumos susikerta. Normalių vektorines koordinates padauginę iš plokštumų, gauname:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Kadangi vektorių padauginus iš neigiamo skaičiaus, jo kryptis pasikeičia, galime parašyti:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kamnorint rasti tiesės vektorinę išraišką, be krypties vektoriaus, reikia žinoti ir tam tikrą šios tiesės tašką. Raskite, kadangi jos koordinatės turi tenkinti lygčių sistemą uždavinio sąlygoje, tada jas rasime. Pavyzdžiui, įdėkime x=0, tada gausime:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Taigi taškas, priklausantis norimai tiesei, turi koordinates:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Tada gausime atsakymą į šią problemą, norimos linijos vektorinė lygtis atrodys taip:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Sprendimo teisingumą galima lengvai patikrinti. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti savavališką parametro λ reikšmę ir gautas tiesės taško koordinates pakeisti į abi plokštumų lygtis, abiem atvejais gausite tapatybę.
