Tiesių lygčių nustatymo plokštumoje ir trimatėje erdvėje metodai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Tiesioji linija yra pagrindinis geometrinis objektas plokštumoje ir trimatėje erdvėje. Būtent iš tiesių statoma daug figūrų, pavyzdžiui: lygiagretainis, trikampis, prizmė, piramidė ir pan. Straipsnyje apsvarstykite įvairius tiesių lygčių nustatymo būdus.

Tiesios linijos apibrėžimas ir lygčių tipai jai apibūdinti

Kiekvienas mokinys puikiai supranta, apie kokį geometrinį objektą kalba. Tiesią liniją galima pavaizduoti kaip taškų rinkinį, o jei kiekvieną iš jų paeiliui sujungsime su visais kitais, tada gausime lygiagrečių vektorių rinkinį. Kitaip tariant, į kiekvieną tiesės tašką galima patekti iš vieno fiksuoto jo taško, perkeliant jį į kažkokį vienetinį vektorių, padaugintą iš tikrojo skaičiaus. Šis tiesės apibrėžimas naudojamas vektoriaus lygybei apibrėžti jos matematiniam apibūdinimui tiek plokštumoje, tiek trimatėje erdvėje.

Tiesiąją liniją matematiškai galima pavaizduoti šių tipų lygtimis:

bendra;
vektorius;
parametrinis;
segmentais;
simetriškas (kanoninis).

Toliau apžvelgsime visus įvardintus tipus ir parodysime, kaip su jais dirbti, naudodamiesi problemų sprendimo pavyzdžiais.

Tiesios linijos vektorinis ir parametrinis aprašymas

Pradėkime apibrėždami tiesią liniją per žinomą vektorių. Tarkime, kad erdvėje M(x₀; y₀; z_{0) yra fiksuotas taškas. Yra žinoma, kad tiesė eina per ją ir yra nukreipta išilgai vektoriaus atkarpos v¯(a; b; c). Kaip iš šių duomenų rasti savavališką linijos tašką? Atsakymas į šį klausimą duos tokią lygybę:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Kur λ yra savavališkas skaičius.

Panašią išraišką galima parašyti dvimačiu atveju, kai vektorių ir taškų koordinatės vaizduojamos dviejų skaičių rinkiniu:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Užrašytos lygtys vadinamos vektorinėmis lygtimis, o pati nukreipta atkarpa v¯ yra tiesės krypties vektorius.

Iš užrašytų reiškinių atitinkamos parametrinės lygtys gaunamos paprastai, pakanka jas aiškiai perrašyti. Pavyzdžiui, kosmoso atveju gauname tokią lygtį:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Patogu dirbti su parametrinėmis lygtimis, jei reikia išanalizuoti elgesįkiekviena koordinatė. Atminkite, kad nors parametras λ gali turėti savavališkas reikšmes, jis turi būti vienodas visose trijose lygybėse.

Bendroji lygtis

Kitas būdas apibrėžti tiesią liniją, kuri dažnai naudojama dirbant su nagrinėjamu geometriniu objektu, yra naudoti bendrąją lygtį. Dviejų dimensijų atveju tai atrodo taip:

Ax + By + C=0

Čia didžiosios lotyniškos raidės reiškia konkrečias skaitines reikšmes. Šios lygybės patogumas sprendžiant problemas slypi tame, kad joje aiškiai yra vektorius, statmenas tiesei. Jei pažymėsime jį n¯, tada galime parašyti:

n¯=[A; B]

Be to, išraišką patogu naudoti norint nustatyti atstumą nuo tiesės iki tam tikro taško P(x₁; y_{1). Atstumo d formulė yra:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Lengva parodyti, kad jei aiškiai išreiškiame kintamąjį y iš bendrosios lygties, gausime tokią gerai žinomą tiesios linijos rašymo formą:

y=kx + b

Kur k ir b yra vienareikšmiškai nulemti skaičiais A, B, C.

Lygtis segmentais ir kanonine

Segmentų lygtį lengviausia gauti iš bendro vaizdo. Parodysime, kaip tai padaryti.

Tarkime, kad turime šią eilutę:

Ax + By + C=0

Perkelkite laisvąjį terminą į dešinę lygybės pusę, tada padalykite iš jos visą lygtį, gausime:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, kur q=-C / A, p=-C / B

Gavome vadinamąją lygtį segmentais. Jis gavo savo pavadinimą dėl to, kad vardiklis, pagal kurį yra padalintas kiekvienas kintamasis, rodo linijos susikirtimo su atitinkama ašimi koordinatės reikšmę. Šiuo faktu patogu vaizduoti tiesę koordinačių sistemoje, taip pat analizuoti jos santykinę padėtį kitų geometrinių objektų (tiesių, taškų) atžvilgiu.

Dabar pereikime prie kanoninės lygties gavimo. Tai lengviau padaryti, jei atsižvelgsime į parametrinę parinktį. Atvejui lėktuve turime:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Kiekvienoje lygybėje išreiškiame parametrą λ, tada juos sulyginame, gauname:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Tai norima lygtis, parašyta simetriška forma. Kaip ir vektorinė išraiška, joje aiškiai yra krypties vektoriaus koordinatės ir vieno iš tiesei priklausančių taškų koordinatės.

Matyti, kad šioje pastraipoje mes pateikėme dvimačio atvejo lygtis. Panašiai galite parašyti tiesios linijos lygtį erdvėje. Čia reikia pažymėti, kad jei kanoninė formaĮrašai ir išraiška atkarpomis turės tą pačią formą, tada bendroji lygtis erdvėje tiesei linijai pavaizduota dviejų susikertančių plokštumų lygčių sistema.

Tiesios linijos lygties sudarymo problema

Iš geometrijos kiekvienas mokinys žino, kad per du taškus galite nubrėžti vieną liniją. Tarkime, kad koordinačių plokštumoje pateikti šie taškai:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Reikia rasti tiesės, kuriai priklauso abu taškai, lygtį atkarpomis, vektorine, kanonine ir bendra forma.

Pirmiausia gaukime vektorinę lygtį. Norėdami tai padaryti, apibrėžkite tiesioginės krypties vektorių M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Dabar galite sukurti vektorinę lygtį, paimdami vieną iš dviejų problemos teiginyje nurodytų taškų, pavyzdžiui, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Kad gautume kanoninę lygtį, pakanka rastąją lygybę transformuoti į parametrinę formą ir neįtraukti parametro λ. Turime:

x=-1 - 2λ, todėl λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, tada gauname λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Likusias dvi lygtis (bendrąją ir segmentines) galima rasti iš kanoninės lygties, ją pakeitus taip:

x + 1=-2y + 6;

bendra lygtis: x + 2y - 5=0;

segmentų lygtis: x / 5 + y / 2, 5=1

Gautos lygtys rodo, kad vektorius (1; 2) turi būti statmenas tiesei. Iš tiesų, jei rasite jo skaliarinį sandaugą su krypties vektoriumi, tada jis bus lygus nuliui. Linijos atkarpos lygtis sako, kad tiesė kerta x ašį taške (5; 0), o y ašį taške (2, 5; 0).

Tiesių susikirtimo taško nustatymo problema

Dvi tiesės plokštumoje pateikiamos pagal šias lygtis:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Būtina nustatyti taško, kuriame šios linijos susikerta, koordinates.

Problemą galima išspręsti dviem būdais:

Paverskite vektorinę lygtį į bendrą formą, tada išspręskite dviejų tiesinių lygčių sistemą.
Neatlikite jokių transformacijų, o tiesiog pakeiskite susikirtimo taško koordinatę, išreikštą parametru λ, pirmąja lygtimi. Tada raskite parametro reikšmę.

Paimkime antrąjį būdą. Turime: