Net mokykloje kiekvienas mokėmės lygčių ir, žinoma, lygčių sistemų. Tačiau nedaugelis žino, kad yra keletas būdų jas išspręsti. Šiandien išsamiai išanalizuosime visus tiesinių algebrinių lygčių sistemos, susidedančios iš daugiau nei dviejų lygybių, sprendimo būdus.
Istorija
Šiandien žinoma, kad lygčių ir jų sistemų sprendimo menas atsirado senovės Babilone ir Egipte. Tačiau įprastos formos lygybės atsirado po to, kai pasirodė lygybės ženklas „=“, kurį 1556 m. įvedė anglų matematikas Record. Beje, šis ženklas pasirinktas ne be priežasties: jis reiškia du lygiagrečius lygius segmentus. Iš tiesų, geresnio lygybės pavyzdžio nėra.
Šiuolaikinių nežinomųjų ir laipsnių ženklų raidžių žymėjimo įkūrėjas yra prancūzų matematikas Francois Vietas. Tačiau jo pavadinimai labai skyrėsi nuo šiandieninių. Pavyzdžiui, nežinomo skaičiaus kvadratą jis pažymėjo raide Q (lot. „quadratus“), o kubą – raide C (lot. „cubus“). Šie pavadinimai dabar atrodo nepatogūs, bet tadatai buvo pats suprantamiausias būdas rašyti tiesinių algebrinių lygčių sistemas.
Tačiau tuometinių sprendimo būdų trūkumas buvo tas, kad matematikai laikė tik teigiamas šaknis. Galbūt taip yra dėl to, kad neigiamos vertės neturėjo praktinės naudos. Vienaip ar kitaip, būtent italų matematikai Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ir Rafaelis Bombelli XVI amžiuje pirmieji galvojo apie neigiamas šaknis. O šiuolaikinė išvaizda, pagrindinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas (per diskriminantą), buvo sukurtas tik XVII amžiuje Dekarto ir Niutono darbo dėka.
XVIII amžiaus viduryje šveicarų matematikas Gabrielis Krameris rado naują būdą, kaip palengvinti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Šis metodas vėliau buvo pavadintas jo vardu ir iki šiol jį naudojame. Tačiau apie Cramerio metodą pakalbėsime šiek tiek vėliau, bet kol kas tiesines lygtis ir jų sprendimo būdus aptarsime atskirai nuo sistemos.
Tiesinės lygtys
Tiesinės lygtys yra paprasčiausios lygybės su kintamuoju (-iais). Jie klasifikuojami kaip algebriniai. Tiesinės lygtys rašomos bendra forma taip: 2+…a x =b. Mums reikės jų pavaizdavimo tokia forma, kai toliau kompiliuojame sistemas ir matricas.
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos
Šio termino apibrėžimas yra toks: tai lygčių rinkinys, turintis bendrų nežinomųjų ir bendrą sprendimą. Paprastai mokykloje viską lėmė sistemossu dviem ar net trimis lygtimis. Tačiau yra sistemų su keturiais ar daugiau komponentų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip juos užrašyti, kad vėliau būtų patogu jas išspręsti. Pirma, tiesinių algebrinių lygčių sistemos atrodys geriau, jei visi kintamieji bus parašyti kaip x su atitinkamu indeksu: 1, 2, 3 ir pan. Antra, visos lygtys turėtų būti sumažintos iki kanoninės formos: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Po visų šių veiksmų galime pradėti kalbėti apie tai, kaip rasti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Tam labai pravers matricos.
Matricos
Matrica yra lentelė, susidedanti iš eilučių ir stulpelių, o jos elementai yra jų sankirtoje. Tai gali būti konkrečios reikšmės arba kintamieji. Dažniausiai, norint pažymėti elementus, po jais dedami apatiniai indeksai (pavyzdžiui, a11 arba a23). Pirmasis indeksas reiškia eilutės numerį, o antrasis - stulpelio numerį. Matricose, kaip ir bet kuriame kitame matematiniame elemente, galite atlikti įvairias operacijas. Taigi galite:
1) Atimkite ir pridėkite tokio paties dydžio lenteles.
2) Padauginkite matricą iš tam tikro skaičiaus arba vektoriaus.
3) Transponuoti: matricos eilutes paverskite stulpeliais, o stulpelius - eilutėmis.
4) Padauginkite matricas, jei vienos iš jų eilučių skaičius lygus kitos stulpelių skaičiui.
Visus šiuos metodus aptarsime plačiau, nes jie mums pravers ateityje. Atimti ir sudėti matricas yra labai paprasta. Taigikadangi imame vienodo dydžio matricas, tai kiekvienas vienos lentelės elementas atitinka kiekvieną kitos elementą. Taigi šiuos du elementus pridedame (atimame) (svarbu, kad jie būtų tose pačiose savo matricų vietose). Dauginant matricą iš skaičiaus arba vektoriaus, tiesiog reikia padauginti kiekvieną matricos elementą iš to skaičiaus (arba vektoriaus). Perkėlimas yra labai įdomus procesas. Labai įdomu kartais tai pamatyti realiame gyvenime, pavyzdžiui, keičiant planšetinio kompiuterio ar telefono orientaciją. Piktogramos darbalaukyje yra matrica, o kai pakeičiate padėtį, ji perkeliama ir tampa platesnė, bet sumažėja aukštyje.
Pažvelkime dar kartą į tokį procesą kaip matricos daugyba. Nors mums tai nebus naudinga, bet vis tiek bus naudinga tai žinoti. Dvi matricas galite padauginti tik tuo atveju, jei stulpelių skaičius vienoje lentelėje yra lygus eilučių skaičiui kitoje. Dabar paimkime vienos matricos eilutės elementus, o kitos – atitinkamo stulpelio elementus. Padauginame juos vieną iš kito ir pridedame (tai yra, pavyzdžiui, elementų a11 ir a12 sandauga iš b 12ir b22 bus lygus: a11b12 + a 12 b22). Taigi gaunamas vienas lentelės elementas, kuris toliau pildomas panašiu būdu.
Dabar galime pradėti žiūrėti, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema.
Gauso metodas
Ši tema pradeda eiti net mokykloje. Mes gerai žinome „dviejų tiesinių lygčių sistemos“sąvoką ir žinome, kaip jas išspręsti. Bet ką daryti, jei lygčių skaičius yra didesnis nei dvi? Gauso metodas mums tai padės.
Žinoma, šį metodą patogu naudoti, jei iš sistemos sudarote matricą. Bet jūs negalite jo pakeisti ir išspręsti gryniausia forma.
Taigi, kaip šis metodas išsprendžia tiesinių Gauso lygčių sistemą? Beje, nors šis metodas pavadintas jo vardu, jis buvo atrastas senovėje. Gaussas siūlo taip: atlikti operacijas su lygtimis, kad galiausiai visa rinkinys būtų sumažintas į laiptuotą formą. Tai yra, būtina, kad iš viršaus į apačią (jei padėtis teisingai) nuo pirmos lygties iki paskutinės vienas nežinomasis mažėtų. Kitaip tariant, reikia pasirūpinti, kad gautume, tarkime, tris lygtis: pirmoje – trys nežinomieji, antroje – dvi, trečioje – viena. Tada iš paskutinės lygties randame pirmąjį nežinomąjį, jo reikšmę pakeisime antrąja arba pirmąja lygtimi ir randame likusius du kintamuosius.
Cramerio metodas
Norint įvaldyti šį metodą, labai svarbu įvaldyti matricų sudėties, atimties įgūdžius, taip pat reikia mokėti rasti determinantus. Todėl jei visa tai darysite prastai arba visai nemokate, turėsite mokytis ir praktikuotis.
Kokia šio metodo esmė ir kaip jį padaryti taip, kad būtų gauta tiesinių Cramerio lygčių sistema? Viskas labai paprasta. Turime sudaryti matricą iš skaitinių (beveik visada) tiesinių algebrinių lygčių sistemos koeficientų. Norėdami tai padaryti, tiesiog paimkite skaičius priešais nežinomuosius ir išdėstykite juoslentelė tokia tvarka, kokia jie įrašomi sistemoje. Jei prieš skaičių yra ženklas „-“, tada užrašome neigiamą koeficientą. Taigi, sudarėme pirmąją matricą iš nežinomųjų koeficientų, neįskaitant skaičių po lygybės ženklų (natūralu, lygtis turėtų būti sumažinta iki kanoninės formos, kai tik skaičius yra dešinėje, o visi nežinomieji su koeficientai kairėje). Tada reikia sukurti dar kelias matricas – po vieną kiekvienam kintamajam. Norėdami tai padaryti, kiekvieną stulpelį paeiliui pakeičiame koeficientais pirmoje matricoje skaičių stulpeliu po lygybės ženklo. Taigi gauname kelias matricas ir randame jų determinantus.
Kai radome lemiamus veiksnius, reikalas yra nedidelis. Turime pradinę matricą ir yra keletas gautų matricų, atitinkančių skirtingus kintamuosius. Norėdami gauti sistemos sprendinius, gautos lentelės determinantą padalijame iš pradinės lentelės determinanto. Gautas skaičius yra vieno iš kintamųjų reikšmė. Panašiai randame visus nežinomus.
Kiti metodai
Yra dar keletas būdų, kaip gauti tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Pavyzdžiui, vadinamasis Gauso-Jordano metodas, kuris naudojamas kvadratinių lygčių sistemos sprendimams rasti ir taip pat siejamas su matricų naudojimu. Taip pat yra Jacobi metodas, skirtas tiesinių algebrinių lygčių sistemai išspręsti. Jį lengviausia pritaikyti prie kompiuterio ir jis naudojamas kompiuterijoje.
Sudėtingi atvejai
Sudėtingumas paprastai atsiranda, kai lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Tada galime tvirtai pasakyti, kad arba sistema yra nenuosekli (tai yra, ji neturi šaknų), arba jos sprendimų skaičius linkęs į begalybę. Jei turime antrąjį atvejį, tai turime užrašyti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendinį. Jame bus bent vienas kintamasis.
Išvada
Štai mes atėjome į pabaigą. Apibendrinant: išanalizavome, kas yra sistema ir matrica, sužinojome, kaip rasti bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Be to, buvo svarstomi ir kiti variantai. Išsiaiškinome, kaip sprendžiama tiesinių lygčių sistema: Gauso metodas ir Cramerio metodas. Kalbėjomės apie sudėtingus atvejus ir kitus būdus, kaip rasti sprendimus.
Tiesą sakant, ši tema yra daug platesnė, ir jei norite ją geriau suprasti, patariame paskaityti daugiau specializuotos literatūros.
