Plokštumų lygiagretumas – tai sąvoka, kuri pirmą kartą pasirodė Euklido geometrijoje daugiau nei prieš du tūkstančius metų.
Pagrindinės klasikinės geometrijos charakteristikos
Šios mokslo disciplinos gimimas siejamas su garsiuoju senovės graikų mąstytojo Euklido darbu, kuris trečiajame amžiuje prieš Kristų parašė brošiūrą „Pradžia“. Į trylika knygų suskirstyti elementai buvo aukščiausias visos senovės matematikos pasiekimas ir išdėstė pagrindinius postulatus, susijusius su plokštumos figūrų savybėmis.
Klasikinė plokštumų lygiagretumo sąlyga buvo suformuluota taip: dvi plokštumos gali būti vadinamos lygiagrečiomis, jei jos neturi viena su kita bendrų taškų. Tai buvo penktasis Euklido darbo postulatas.
Lygiagrečių plokštumų savybės
Euklidinėje geometrijoje paprastai jų yra penki:
Pirmoji savybė (apibūdina plokštumų lygiagretumą ir jų unikalumą). Per vieną tašką, esantį už tam tikros plokštumos, galime nubrėžti vieną ir tik vieną plokštumą, lygiagrečią jam
- Antra savybė (taip pat vadinama trijų paralelių savybe). Kai du lėktuvai yralygiagrečiai trečiajam, jie taip pat lygiagrečiai vienas kitam.
Trečioji savybė (kitaip tariant, ji vadinama tiesės, kertančios plokštumų lygiagretumą, savybe). Jei viena tiesė kerta vieną iš šių lygiagrečių plokštumų, ji susikirs ir kitą
Ketvirtoji savybė (tiesių, nupjautų lygiagrečiose viena kitai plokštumose, savybė). Kai dvi lygiagrečios plokštumos susikerta su trečiąja (bet kokiu kampu), jų susikirtimo linijos taip pat yra lygiagrečios
Penktoji savybė (ypatybė, apibūdinanti skirtingų lygiagrečių linijų, kurios yra tarp lygiagrečių viena kitai plokštumų, segmentus). Tų lygiagrečių tiesių, kurios yra tarp dviejų lygiagrečių plokštumų, atkarpos būtinai yra lygios
Plokštumų lygiagretumas neeuklidinėse geometrijose
Tokie požiūriai visų pirma yra Lobačevskio ir Riemanno geometrija. Jei Euklido geometrija buvo realizuota plokščiose erdvėse, tai Lobačevskio geometrija buvo realizuota neigiamai išlenktose erdvėse (tiesiog išlenktose), o Riemanno ji realizuojasi teigiamai išlenktose erdvėse (kitaip tariant, sferose). Labai paplitusi stereotipinė nuomonė, kad lygiagrečios Lobačevskio plokštumos (ir linijos) susikerta.
Tačiau tai neteisinga. Iš tiesų, hiperbolinės geometrijos gimimas buvo susijęs su penktojo Euklido postulato įrodymu ir pasikeitimu. Vis dėlto, pats lygiagrečių plokštumų ir tiesių apibrėžimas reiškia, kad jos negali susikirsti nei Lobačevskio, nei Riemanno, nesvarbu, kokiose erdvėse jos realizuojamos. O požiūrių ir formuluočių kaita buvo tokia. Postulatas, kad tik viena lygiagreti plokštuma gali būti nubrėžta per tašką, kuris nėra tam tikroje plokštumoje, buvo pakeistas kita formuluote: per tašką, kuris nėra tam tikroje plokštumoje, bent dvi tiesės, esančios ta pati plokštuma kaip ir duotoji ir jos nesukirskite.
