Tiesija ir plokštuma yra du svarbiausi geometriniai elementai, kuriuos galima naudoti kuriant skirtingas formas 2D ir 3D erdvėje. Apsvarstykite, kaip rasti atstumą tarp lygiagrečių tiesių ir lygiagrečių plokštumų.
Matematikos užduoties tiesė
Iš mokyklos geometrijos kurso žinoma, kad dvimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje tiesė gali būti nurodyta tokia forma:
y=kx + b.
Kur k ir b yra skaičiai (parametrai). Rašytinė linijos vaizdavimo plokštumoje forma yra plokštuma, lygiagreti z ašiai trimatėje erdvėje. Atsižvelgiant į tai, šiame straipsnyje tiesės matematiniam priskyrimui naudosime patogesnę ir universalesnę formą – vektorinę.
Tarkime, kad mūsų tiesė lygiagreti tam tikram vektoriui u¯(a, b, c) ir eina per tašką P(x0, y0, z0). Šiuo atveju vektorine jo lygtis bus pavaizduota taip:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Čia λ yra bet koks skaičius. Jei koordinates aiškiai pavaizduosime išplėsdami rašytinę išraišką, gausime parametrinę tiesės rašymo formą.
Su vektorine lygtimi patogu dirbti sprendžiant įvairius uždavinius, kuriuose būtina nustatyti atstumą tarp lygiagrečių tiesių.
Liesijos ir atstumas tarp jų
Apie atstumą tarp tiesių prasminga kalbėti tik tada, kai jos yra lygiagrečios (trimačiu atveju atstumas tarp pasvirųjų linijų taip pat nėra nulis). Jei linijos susikerta, akivaizdu, kad jos yra nuliniu atstumu viena nuo kitos.
Atstumas tarp lygiagrečių tiesių yra jas jungiančio statmens ilgis. Norint nustatyti šį rodiklį, pakanka pasirinkti vieną iš tiesių tašką ir nuleisti statmeną iš jo į kitą.
Trumpai apibūdinkime norimo atstumo radimo procedūrą. Tarkime, kad žinome dviejų eilučių vektorines lygtis, kurios pateikiamos tokia bendra forma:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Šiose tiesėse sukonstruokite lygiagretainį taip, kad viena iš kraštinių būtų PQ, o kita, pavyzdžiui, u. Akivaizdu, kad šios figūros aukštis, nubrėžtas iš taško P, yra reikiamo statmens ilgis. Norėdami jį rasti, galite taikyti šiuos paprastus veiksmusformulė:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Kadangi atstumas tarp tiesių yra statmenos atkarpos tarp jų ilgis, tai pagal rašytinę išraišką pakanka rasti PQ¯ ir u¯ vektorinės sandaugos modulį ir rezultatą padalyti iš vektoriaus ilgis u¯.
Užduoties, skirtos nustatyti atstumą tarp tiesių, pavyzdys
Dvi tiesės pateikiamos pagal šias vektorines lygtis:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Iš parašytų posakių aišku, kad turime dvi lygiagrečias tieses. Iš tiesų, padauginus iš -1 pirmosios eilutės krypties vektoriaus koordinates, gautume antrosios linijos krypties vektoriaus koordinates, kurios rodo jų lygiagretumą.
Atstumas tarp tiesių bus apskaičiuojamas pagal formulę, parašytą ankstesnėje straipsnio pastraipoje. Turime:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Tada gauname:
|u¯|=√14 cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Atkreipkite dėmesį, kad vietoj taškų P ir Q problemai išspręsti galima naudoti bet kokius šioms linijoms priklausančius taškus. Šiuo atveju gautume tą patį atstumą d.
Plokštumos nustatymas geometrijoje
Atstumo tarp eilučių klausimas buvo išsamiai aptartas aukščiau. Dabar parodykime, kaip rasti atstumą tarp lygiagrečių plokštumų.
Kiekvienas reprezentuoja, kas yra lėktuvas. Pagal matematinį apibrėžimą nurodytas geometrinis elementas yra taškų rinkinys. Be to, jei sudarysite visus galimus vektorius naudodami šiuos taškus, tada visi jie bus statmeni vienam vektoriui. Pastarasis paprastai vadinamas normaliu plokštumos.
Norint nurodyti plokštumos lygtį trimatėje erdvėje, dažniausiai naudojama bendroji lygties forma. Tai atrodo taip:
Ax + By + Cz + D=0.
Didžiosios lotyniškos raidės yra kai kurie skaičiai. Patogu naudoti tokią plokštumos lygtį, nes joje yra aiškiai nurodytos normaliojo vektoriaus koordinatės. Jie yra A, B, C.
Lengva pastebėti, kad dvi plokštumos lygiagrečios tik tada, kai jų normaliosios lygiagrečios.
Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių plokštumų?
Norėdami nustatyti nurodytą atstumą, turėtumėte aiškiai suprasti, kas yra pavojuje. Atstumas tarp plokštumų, kurios yra lygiagrečios viena kitai, suprantamos kaip joms statmenos atkarpos ilgis. Šios atkarpos galai priklauso plokštumoms.
Tokių problemų sprendimo algoritmas yra paprastas. Norėdami tai padaryti, turite rasti absoliučiai bet kurio taško, priklausančio vienai iš dviejų plokštumų, koordinates. Tada turėtumėte naudoti šią formulę:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Kadangi atstumas yra teigiama reikšmė, modulio ženklas yra skaitiklyje. Parašyta formulė yra universali, nes leidžia apskaičiuoti atstumą nuo plokštumos iki absoliučiai bet kokio geometrinio elemento. Pakanka žinoti vieno šio elemento taško koordinates.
Užbaigtumo dėlei pažymime, kad jei dviejų plokštumų normalės nėra lygiagrečios viena kitai, tai tokios plokštumos susikirs. Tada atstumas tarp jų bus lygus nuliui.
Atstumo tarp plokštumų nustatymo problema
Žinoma, kad dvi plokštumos pateikiamos šiomis išraiškomis:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Būtina įrodyti, kad plokštumos lygiagrečios, taip pat nustatyti atstumą tarp jų.
Norėdami atsakyti į pirmąją problemos dalį, pirmąją lygtį turite perkelti į bendrą formą. Atkreipkite dėmesį, kad ji pateikiama vadinamąja lygties forma segmentais. Padauginkite jo kairę ir dešinę dalis iš 15 ir perkelkite visus terminus į vieną lygties pusę, gausime:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Išrašome dviejų normaliųjų plokštumų vektorių koordinates:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Matyti, kad n2¯ padauginus iš 5, tai tiksliai gausime koordinates n1¯. Taigi nagrinėjamos plokštumos yralygiagrečiai.
Norėdami apskaičiuoti atstumą tarp lygiagrečių plokštumų, pasirinkite savavališką pirmosios iš jų tašką ir naudokite aukščiau pateiktą formulę. Pavyzdžiui, paimkime tašką (0, 0, 1), kuris priklauso pirmajai plokštumai. Tada gauname:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Norimas atstumas yra 31 mm.
Atstumas tarp plokštumos ir linijos
Suteiktos teorinės žinios taip pat leidžia išspręsti atstumo tarp tiesės ir plokštumos nustatymo problemą. Jau minėta, kad formulė, kuri galioja skaičiavimams tarp plokštumų, yra universali. Jis taip pat gali būti naudojamas problemai išspręsti. Norėdami tai padaryti, tiesiog pasirinkite bet kurį tašką, priklausantį nurodytai linijai.
Pagrindinė problema nustatant atstumą tarp nagrinėjamų geometrinių elementų yra jų lygiagretumo įrodymas (jei ne, tai d=0). Lygiagretumą nesunku įrodyti, jei apskaičiuojate tiesės normaliosios ir krypties vektoriaus skaliarinę sandaugą. Jei nagrinėjami elementai yra lygiagretūs, šis produktas bus lygus nuliui.
