Sprendžiant geometrinius uždavinius erdvėje, dažnai atsiranda tokių, kur reikia skaičiuoti kampus tarp skirtingų erdvinių objektų. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime kampų tarp plokštumų ir tarp jų bei tiesės radimo klausimą.
Linija erdvėje
Žinoma, kad absoliučiai bet kuri tiesė plokštumoje gali būti apibrėžta tokia lygybe:
y=ax + b
Čia a ir b yra keletas skaičių. Jei ta pačia išraiška vaizduojame tiesę erdvėje, tai gauname plokštumą, lygiagrečią z ašiai. Erdvinės linijos matematiniam apibrėžimui naudojamas kitoks sprendimo būdas nei dvimačiu atveju. Jį sudaro „krypties vektoriaus“sąvoka.
Tiesios linijos krypties vektorius parodo jos orientaciją erdvėje. Šis parametras priklauso eilutei. Kadangi erdvėje lygiagrečių vektorių yra begalinė aibė, tai norint vienareikšmiškai nustatyti nagrinėjamą geometrinį objektą, reikia žinoti ir jam priklausančio taško koordinates.
Tarkime, kad yrataškas P(x0; y0; z0) ir krypties vektorius v¯(a; b; c), tada tiesės lygtis gali būti pateikta taip:
(x; y; z)=P + αv¯ arba
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Ši išraiška vadinama parametrine tiesės vektorine lygtimi. Koeficientas α yra parametras, kuris gali turėti absoliučiai bet kokias realias reikšmes. Linijos koordinates galima aiškiai pavaizduoti išplečiant šią lygybę:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Plokštumos lygtis
Yra kelios erdvės plokštumos lygties rašymo formos. Čia mes apsvarstysime vieną iš jų, kuris dažniausiai naudojamas skaičiuojant kampus tarp dviejų plokštumų arba tarp vienos iš jų ir tiesės.
Jei žinomas koks nors vektorius n¯(A; B; C), kuris yra statmenas norimai plokštumai, ir taškas P(x0; y 0; z0), kuri jam priklauso, tada bendroji pastarojo lygtis yra:
Ax + By + Cz + D=0, kur D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Mes praleidome šios išraiškos išvedimą, kuris yra gana paprastas. Čia tik pažymime, kad žinant plokštumos lygties kintamųjų koeficientus, galima nesunkiai rasti visus jai statmenus vektorius. Pastarieji vadinami normaliaisiais ir naudojami skaičiuojant kampus tarp pasvirimo ir plokštumos bei tarpsavavališki analogai.
Plokštumų vieta ir kampo tarp jų formulė
Tarkime, yra du lėktuvai. Kokios yra jų santykinės padėties erdvėje galimybės. Kadangi plokštuma turi du begalinius matmenis ir vieną nulį, galimi tik du jų tarpusavio orientavimo variantai:
- jie bus lygiagrečiai vienas kitam;
- jie gali sutapti.
Kampas tarp plokštumų yra indeksas tarp jų krypties vektorių, ty tarp jų normaliųjų n1¯ ir n2¯.
Akivaizdu, kad jei jie yra lygiagrečiai plokštumai, tada susikirtimo kampas tarp jų yra lygus nuliui. Jei jie susikerta, tada jis nėra lygus nuliui, bet visada aštrus. Ypatingas susikirtimo atvejis bus kampas 90o, kai plokštumos yra viena kitai statmenos.
Kampas α tarp n1¯ ir n2¯ yra lengvai nustatomas pagal šių vektorių skaliarinę sandaugą. Tai yra formulė:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Tarkime, kad šių vektorių koordinatės yra: n1¯(a1; b1; c1), n¯(a2; b2; c2). Tada, naudojant skaliarinės sandaugos ir vektorių modulių pagal jų koordinates apskaičiavimo formules, aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:
α=arccos (|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Modulis skaitiklyje atsirado dėl to, kad būtų neįtrauktos bukųjų kampų reikšmės.
Uždavinių, skirtų plokštumų susikirtimo kampui nustatyti, sprendimo pavyzdžiai
Žinodami, kaip rasti kampą tarp plokštumų, išspręsime šią problemą. Pateikiamos dvi plokštumos, kurių lygtys yra:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Koks kampas tarp plokštumų?
Norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, prisiminkime, kad bendrosios plokštumos lygties kintamųjų koeficientai yra orientacinio vektoriaus koordinatės. Nurodytoms plokštumoms turime šias normaliųjų koordinates:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Dabar mes randame šių vektorių ir jų modulių skaliarinę sandaugą, turime:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Dabar rastus skaičius galite pakeisti ankstesnėje pastraipoje pateikta formule. Gauname:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Gauto vertė atitinka smailų plokštumų susikirtimo kampą, nurodytą sąlygojeužduotys.
Dabar apsvarstykite kitą pavyzdį. Duotos dvi plokštumos:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Ar jie susikerta? Išrašykime jų krypties vektorių koordinačių reikšmes, apskaičiuokime jų skaliarinę sandaugą ir modulius:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Tada susikirtimo kampas yra:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Šis kampas rodo, kad plokštumos nesikerta, o yra lygiagrečios. Tai, kad jie nesutampa, nesunku patikrinti. Paimkime tam savavališką tašką, priklausantį pirmajam iš jų, pavyzdžiui, P(0; 3; 2). Pakeiskite jo koordinates į antrąją lygtį, gausime:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Tai yra, taškas P priklauso tik pirmajai plokštumai.
Taigi dvi plokštumos yra lygiagrečios, kai jų normaliosios yra.
Plokštuma ir tiesioji
Atsižvelgiant į santykinę padėtį tarp plokštumos ir tiesės, yra keletas variantų daugiau nei naudojant dvi plokštumas. Šis faktas yra susijęs su tuo, kad tiesi linija yra vienmatis objektas. Linija ir plokštuma gali būti:
- abipusiai lygiagrečiai, šiuo atveju plokštuma nesikerta su tiese;
- pastarasis gali priklausyti plokštumai, o taip pat bus lygiagretus jai;
- abu objektai galisusikerta tam tikru kampu.
Pirmiausia panagrinėkime paskutinį atvejį, nes tam reikia įvesti sankirtos kampo sąvoką.
Tiesija ir plokštuma, kampas tarp jų
Jei tiesė kerta plokštumą, ji vadinama pasvirusi jos atžvilgiu. Susikirtimo taškas vadinamas šlaito pagrindu. Norint nustatyti kampą tarp šių geometrinių objektų, iš bet kurio taško reikia nuleisti tiesę, statmeną plokštumai. Tada statmens susikirtimo su plokštuma taškas ir pasvirosios linijos susikirtimo su ja vieta sudaro tiesią liniją. Pastaroji vadinama pradinės linijos projekcija į nagrinėjamą plokštumą. Smailusis kampas tarp linijos ir jos projekcijos yra būtinas.
Šiek tiek painus kampo tarp plokštumos ir įstrižainės apibrėžimas paaiškins toliau pateiktą paveikslą.
Čia kampas ABO yra kampas tarp tiesės AB ir plokštumos a.
Jei norite užrašyti formulę, apsvarstykite pavyzdį. Tegul yra tiesė ir plokštuma, kurios apibūdinamos lygtimis:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Paprasta apskaičiuoti pageidaujamą šių objektų kampą, jei randate skaliarinę sandaugą tarp tiesės krypties vektorių ir plokštumos. Gautas smailusis kampas turi būti atimtas iš 90o, tada jis gaunamas tarp tiesės ir plokštumos.
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas aprašytas paieškos algoritmassvarstomas kampas. Čia β yra kampas tarp normalaus ir tiesės, o α yra tarp tiesės ir jos projekcijos į plokštumą. Matyti, kad jų suma yra 90o.
Aukščiau buvo pateikta formulė, kuri atsako į klausimą, kaip rasti kampą tarp plokštumų. Dabar pateikiame atitinkamą išraišką tiesės ir plokštumos atveju:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Modulis formulėje leidžia apskaičiuoti tik smailius kampus. Vietoj arkosino atsirado arkosino funkcija, nes buvo naudojama atitinkama redukcijos formulė tarp trigonometrinių funkcijų (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problema: plokštuma kerta tiesę
Dabar parodykime, kaip dirbti su aukščiau pateikta formule. Išspręskime uždavinį: reikia apskaičiuoti kampą tarp y ašies ir plokštumos, pateiktos pagal lygtį:
y – z + 12=0
Šis lėktuvas parodytas paveikslėlyje.
Matote, kad jis kerta y ir z ašis atitinkamai taškuose (0; -12; 0) ir (0; 0; 12) ir yra lygiagreti x ašiai.
Tiesės y krypties vektorius turi koordinates (0; 1; 0). Vektorius, statmenas duotai plokštumai, apibūdinamas koordinatėmis (0; 1; -1). Taikome tiesės ir plokštumos susikirtimo kampo formulę, gauname:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problema: tiesi linija, lygiagreti plokštumai
Dabar nuspręskimepanaši į ankstesnę problemą, kurios klausimas keliamas kitaip. Plokštumos ir tiesės lygtys žinomos:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Būtina išsiaiškinti, ar šie geometriniai objektai yra lygiagrečiai vienas kitam.
Turime du vektorius: tiesės kryptis yra (0; 2; 2), o plokštumos kryptis yra (1; 1; -1). Raskite jų taškinį produktą:
01 + 12 - 12=0
Gutas nulis rodo, kad kampas tarp šių vektorių yra 90o, o tai įrodo, kad tiesė ir plokštuma yra lygiagrečios.
Dabar patikrinkime, ar ši linija yra tik lygiagreti, ar taip pat yra plokštumoje. Norėdami tai padaryti, pasirinkite savavališką linijos tašką ir patikrinkite, ar jis priklauso plokštumai. Pavyzdžiui, paimkime λ=0, tada taškas P(1; 0; 0) priklauso tiesei. Pakeiskite plokštumos P lygtį:
1 - 3=-2 ≠ 0
Taškas P nepriklauso plokštumai, vadinasi, jame taip pat nėra visa tiesė.
Kur svarbu žinoti kampus tarp nagrinėjamų geometrinių objektų?
Aukščiau pateiktos formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai yra svarbūs ne tik teoriškai. Jie dažnai naudojami svarbiems realių trimačių figūrų, tokių kaip prizmės ar piramidės, fiziniams dydžiams nustatyti. Skaičiuojant figūrų tūrius ir jų paviršių plotus, svarbu mokėti nustatyti kampą tarp plokštumų. Be to, jei tiesios prizmės atveju galima nenaudoti šių formulių nustatantnurodytas vertes, tada bet kokio tipo piramidėms jų naudojimas yra neišvengiamas.
Toliau apsvarstykite pavyzdį, kaip naudoti pirmiau pateiktą teoriją piramidės su kvadratiniu pagrindu kampams nustatyti.
Piramidė ir jos kampai
Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota piramidė, kurios apačioje yra kvadratas, kurio kraštinė yra a. Figūros aukštis yra h. Reikia rasti du kampus:
- tarp šoninio paviršiaus ir pagrindo;
- tarp šoninių briaunų ir pagrindo.
Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite įvesti koordinačių sistemą ir nustatyti atitinkamų viršūnių parametrus. Paveikslėlyje parodyta, kad koordinačių pradžia sutampa su tašku kvadratinio pagrindo centre. Šiuo atveju pagrindinė plokštuma apibūdinama lygtimi:
z=0
Tai yra, bet kurio x ir y trečiosios koordinatės reikšmė visada lygi nuliui. Šoninė plokštuma ABC kerta z ašį taške B(0; 0; h), o y ašį taške su koordinatėmis (0; a/2; 0). Jis nekerta x ašies. Tai reiškia, kad ABC plokštumos lygtis gali būti parašyta taip:
y / (a/2) + z / h=1 arba
2hy + az - ah=0
Vektorius AB¯ yra šoninis kraštas. Jo pradžios ir pabaigos koordinatės yra: A(a/2; a/2; 0) ir B(0; 0; h). Tada paties vektoriaus koordinatės:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Radome visas reikalingas lygtis ir vektorius. Dabar belieka naudoti svarstomas formules.
Pirmiausia piramidėje apskaičiuojame kampą tarp pagrindo plokštumųir šoną. Atitinkami normalieji vektoriai yra: n1¯(0; 0; 1) ir n2¯(0; 2h; a). Tada kampas bus:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Kampas tarp plokštumos ir krašto AB bus:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Belieka pakeisti konkrečias pagrindo kraštinės a ir aukščio h vertes, kad gautume reikiamus kampus.
