Plokštumos lygtys. Kampas tarp dviejų plokštumų

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Plokštuma kartu su tašku ir tiesia linija yra pagrindinis geometrinis elementas. Jį naudojant sukuriama daug erdvinės geometrijos figūrų. Šiame straipsnyje mes išsamiau apsvarstysime klausimą, kaip rasti kampą tarp dviejų plokštumų.

Koncepcija

Prieš kalbėdami apie kampą tarp dviejų plokštumų, turėtumėte gerai suprasti, apie kokį geometrijos elementą kalbame. Supraskime terminologiją. Plokštuma yra begalinis erdvės taškų rinkinys, kurį sujungę gauname vektorius. Pastarasis bus statmenas kokiam nors vienam vektoriui. Paprastai jis vadinamas normaliu plokštumos.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota plokštuma ir du normalieji vektoriai. Galima pastebėti, kad abu vektoriai yra toje pačioje tiesėje. Kampas tarp jų yra 180o.

Lygtys

Kampą tarp dviejų plokštumų galima nustatyti, jei yra žinoma nagrinėjamo geometrinio elemento matematinė lygtis. Yra keletas tokių lygčių tipų,kurių vardai išvardyti žemiau:

• bendras tipas;
• vektorius;
• segmentais.

Šie trys tipai yra patogiausi sprendžiant įvairias problemas, todėl dažniausiai naudojami.

Bendrojo tipo lygtis atrodo taip:

Ax + By + Cz + D=0.

Čia x, y, z yra savavališko taško, priklausančio duotai plokštumai, koordinatės. Parametrai A, B, C ir D yra skaičiai. Šio žymėjimo patogumas slypi tuo, kad skaičiai A, B, C yra vektoriaus, kuris yra normalus plokštumai, koordinatės.

Plokštumos vektorinę formą galima pavaizduoti taip:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Čia (a₂, b₂, c₂) ir (a ₁, b₁, c₁) - dviejų koordinačių vektorių, priklausančių nagrinėjamai plokštumai, parametrai. Taškas (x₀, y₀, z_{0) taip pat yra šioje plokštumoje. Parametrai α ir β gali turėti nepriklausomas ir savavališkas reikšmes.}

Galiausiai plokštumos lygtis segmentais pavaizduota tokia matematine forma:

x/p + y/q + z/l=1.

Čia p, q, l yra konkretūs skaičiai (įskaitant neigiamus). Tokia lygtis naudinga, kai reikia pavaizduoti plokštumą stačiakampėje koordinačių sistemoje, nes skaičiai p, q, l rodo susikirtimo taškus su x, y ir z ašimislėktuvas.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvieną lygties tipą galima konvertuoti į bet kurią kitą naudojant paprastas matematines operacijas.

Kampo tarp dviejų plokštumų formulė

Dabar apsvarstykite šį niuansą. Trimatėje erdvėje dvi plokštumos gali būti išdėstytos tik dviem būdais. Arba susikerta arba būti lygiagrečiai. Tarp dviejų plokštumų kampas yra tarp jų kreipiamųjų vektorių (normalus). Susikerta, 2 vektoriai sudaro 2 kampus (bendruoju atveju smailus ir bukas). Kampas tarp plokštumų laikomas smailiu. Apsvarstykite lygtį.

Kampo tarp dviejų plokštumų formulė yra:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Lengva atspėti, kad ši išraiška yra tiesioginė normaliųjų vektorių n₁¯ ir n₂ skaliarinės sandaugos pasekmė. ¯ nagrinėjamiems lėktuvams. Taškinės sandaugos modulis skaitiklyje rodo, kad kampas θ įgis tik reikšmes nuo 0^o iki 90^{o. Normaliųjų vektorių modulių sandauga vardiklyje reiškia jų ilgių sandaugą.}

Atkreipkite dėmesį, jei (n₁¯n_{2¯)=0, tai plokštumos susikerta stačiu kampu.}

Problemos pavyzdys

Išsiaiškinę, kas vadinama kampu tarp dviejų plokštumų, išspręsime šią problemą. Pavyzdžiui. Taigi, reikia apskaičiuoti kampą tarp tokių plokštumų:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Norėdami išspręsti problemą, turite žinoti plokštumų krypties vektorius. Pirmajai plokštumai normalusis vektorius yra: n₁¯=(2, -3, 0). Norint rasti antrąjį plokštumos normalųjį vektorių, reikia padauginti vektorius po parametrų α ir β. Rezultatas yra vektorius: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Norėdami nustatyti kampą θ, naudojame formulę iš ankstesnės pastraipos. Gauname:

θ=arkos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Apskaičiuotas kampas radianais atitinka 31,26^o. Taigi plokštumos iš uždavinio sąlygos susikerta 31 kampu, 26^o.