Planimetrija yra geometrijos šaka, tirianti plokštumos figūrų savybes. Tai ne tik gerai žinomi trikampiai, kvadratai, stačiakampiai, bet ir tiesios linijos bei kampai. Planimetrijoje taip pat yra tokių sąvokų kaip kampai apskritime: centrinis ir įbrėžtasis. Bet ką jie reiškia?
Kas yra centrinis kampas?
Norėdami suprasti, kas yra centrinis kampas, turite apibrėžti apskritimą. Apskritimas yra visų taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo nurodyto taško (apskritimo centro), rinkinys.
Labai svarbu jį atskirti nuo apskritimo. Reikia atsiminti, kad apskritimas yra uždara linija, o apskritimas yra jos ribojamos plokštumos dalis. Į apskritimą galima įrašyti daugiakampį arba kampą.
Centrinis kampas yra kampas, kurio viršūnė sutampa su apskritimo centru ir kurio kraštinės kerta apskritimą dviejuose taškuose. Lankas, kurį kampas riboja susikirtimo taškais, vadinamas lanku, ant kurio remiasi nurodytas kampas.
Apsvarstykite pavyzdį 1.
Nuotraukoje kampas AOB yra centrinis, nes kampo viršūnė ir apskritimo centras yra vienas taškas O. Jis remiasi į lanką AB, kuriame nėra taško C.
Kuo įbrėžtasis kampas skiriasi nuo centrinio?
Tačiau, be centrinių, yra ir užrašytų kampų. Kuo jie skiriasi? Kaip ir centrinis, apskritime įbrėžtas kampas remiasi į tam tikrą lanką. Bet jo viršūnė nesutampa su apskritimo centru, bet yra ant jo.
Paimkime šį pavyzdį.
Kampas ACB vadinamas kampu, įrašytu į apskritimą, kurio centras yra taške O. Taškas C priklauso apskritimui, tai yra, yra ant jo. Kampas remiasi į lanką AB.
Kas yra centrinis kampas
Norint sėkmingai susidoroti su geometrijos problemomis, neužtenka mokėti atskirti įbrėžtuosius ir centrinius kampus. Paprastai norėdami juos išspręsti, turite tiksliai žinoti, kaip rasti centrinį kampą apskritime, ir mokėti apskaičiuoti jo reikšmę laipsniais.
Taigi, centrinis kampas yra lygus lanko, ant kurio jis remiasi, laipsnio matui.
Paveikslėlyje kampas AOB remiasi į lanką AB, lygų 66°. Taigi kampas AOB taip pat lygus 66°.
Taigi, centriniai kampai, pagrįsti vienodais lankais, yra lygūs.
Paveikslėlyje lankas DC yra lygus lankui AB. Taigi kampas AOB yra lygus kampui DOC.
Kaip rasti įbrėžtą kampą
Gali atrodyti, kad į apskritimą įrašytas kampas yra lygus centriniam kampui,kuri remiasi tuo pačiu lanku. Tačiau tai yra grubi klaida. Tiesą sakant, net pažvelgę į brėžinį ir palyginę šiuos kampus tarpusavyje, galite pamatyti, kad jų laipsnio matai turės skirtingas reikšmes. Taigi koks yra apskritime įrašytas kampas?
Įbrėžto kampo laipsnio matas yra pusė lanko, ant kurio jis remiasi, arba pusė centrinio kampo, jei jie remiasi tuo pačiu lanku.
Panagrinėkime pavyzdį. Kampas ACB pagrįstas lanku, lygiu 66°.
Taigi kampas DIA=66°: 2=33°
Panagrinėkime kai kurias šios teoremos pasekmes.
- Įrašyti kampai, jei jie pagrįsti tuo pačiu lanku, styga arba lygiais lankais, yra lygūs.
- Jei įbrėžti kampai yra pagrįsti ta pačia styga, bet jų viršūnės yra priešingose jos pusėse, tokių kampų laipsnio matų suma yra 180°, nes šiuo atveju abu kampai yra pagrįsti lankais, kurio bendras laipsnio matas yra 360° (visas apskritimas), 360°: 2=180°
- Jei įbrėžtas kampas pagrįstas nurodyto apskritimo skersmeniu, jo laipsnio matas yra 90°, nes skersmuo sudaro lanką, lygų 180°, 180°: 2=90°
- Jei apskritimo centrinis ir įrašytas kampai yra pagrįsti tuo pačiu lanku arba styga, tada įbrėžtasis kampas yra lygus pusei centrinio kampo.
Kur galima rasti problemų šia tema? Jų tipai ir sprendimai
Kadangi apskritimas ir jo savybės yra viena iš svarbiausių geometrijos dalių, ypač planimetrijos, įbrėžiniai ir centriniai apskritimo kampai yra plačiai ir išsamiai aptariama tema.mokėsi pagal mokyklos programą. Jų savybėms skirtos užduotys pateikiamos pagrindiniame valstybiniame egzamine (OGE) ir unifikuotame valstybiniame egzamine (USE). Paprastai norėdami išspręsti šias problemas, turėtumėte rasti apskritimo kampus laipsniais.
Kampai pagrįsti tuo pačiu lanku
Šis uždavinys bene vienas lengviausių, nes norint jį išspręsti reikia žinoti tik dvi paprastas savybes: jei abu kampai įbrėžti ir remiasi į tą pačią styga, jie yra lygūs, jei vienas iš jų yra centrinis, tada atitinkamas įbrėžiamasis kampas yra lygus jo pusei. Tačiau sprendžiant jas reikia būti itin atidiems: kartais šią savybę sunku pastebėti, o mokiniai, spręsdami tokias paprastas problemas, patenka į aklavietę. Apsvarstykite pavyzdį.
Problema 1
Duotas apskritimas, kurio centras yra taške O. Kampas AOB yra 54°. Raskite kampo DIA laipsnio matą.
Ši užduotis išspręsta vienu žingsniu. Vienintelis dalykas, kurio reikia norint greitai rasti atsakymą, yra pastebėti, kad lankas, ant kurio remiasi abu kampai, yra bendras. Tai matydami galite pritaikyti jau pažįstamą nuosavybę. Kampas ACB yra pusė kampo AOB. Taigi
1) AOB=54°: 2=27°.
Atsakymas: 54°.
Kampai, pagrįsti skirtingais to paties apskritimo lankais
Kartais lanko, ant kurio remiasi reikiamas kampas, dydis nėra tiesiogiai nurodytas problemos sąlygose. Norėdami jį apskaičiuoti, turite išanalizuoti šių kampų dydį ir palyginti juos su žinomomis apskritimo savybėmis.
2 problema
Apskritime, kurio centras yra O, kampas AOCyra 120°, o kampas AOB yra 30°. Surask kampą JŪS.
Pradžioje verta pasakyti, kad šią problemą galima išspręsti naudojant lygiašonių trikampių savybes, tačiau tam reikės atlikti daugiau matematinių veiksmų. Todėl čia mes analizuosime sprendimą, naudodami apskritime esančių centrinių ir įbrėžtų kampų savybes.
Taigi, kampas AOC remiasi į lanką AC ir yra centrinis, o tai reiškia, kad lankas AC yra lygus kampui AOC.
AC=120°
Taip pat kampas AOB remiasi lanku AB.
AB=30°.
Žinodami tai ir viso apskritimo laipsnio matą (360°), galite lengvai rasti lanko BC dydį.
BC=360° – AC – AB
BC=360°–120°–30°=210°
Kambo CAB viršūnė, taškas A, yra ant apskritimo. Taigi kampas CAB yra įrašytas ir lygus pusei lanko CB.
CAB kampas=210°: 2=110°
Atsakymas: 110°
Problemos, pagrįstos lanko santykiais
Kai kuriose problemose apskritai nėra duomenų apie kampus, todėl jų reikia ieškoti remiantis tik žinomomis teoremomis ir apskritimo savybėmis.
1 problema
Raskite kampą, įrašytą į apskritimą, kurį palaiko styga, lygi nurodyto apskritimo spinduliui.
Jei mintyse nubrėžiate linijas, jungiančias atkarpos galus su apskritimo centru, gausite trikampį. Ištyrę matote, kad šios linijos yra apskritimo spinduliai, o tai reiškia, kad visos trikampio kraštinės yra lygios. Mes žinome, kad visi lygiakraščio trikampio kampaiyra lygūs 60°. Vadinasi, lankas AB, kuriame yra trikampio viršūnė, yra lygus 60°. Iš čia randame lanką AB, kuriuo grindžiamas norimas kampas.
AB=360°–60°=300°
Kampas ABC=300°: 2=150°
Atsakymas: 150°
2 problema
Apskritime, kurio centras yra taške O, lankai yra susieti 3:7. Raskite mažesnį įbrėžtą kampą.
Sprendimui vieną dalį pažymime X, tada vienas lankas yra lygus 3X, o antrasis atitinkamai 7X. Žinodami, kad apskritimo laipsnio matas yra 360°, galime parašyti lygtį.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Atsižvelgiant į būklę, reikia rasti mažesnį kampą. Akivaizdu, kad jei kampo vertė yra tiesiogiai proporcinga lankui, ant kurio jis remiasi, tada reikalingas (mažesnis) kampas atitinka lanką, lygų 3X.
Taigi mažesnis kampas yra (36°3): 2=108°: 2=54°
Atsakymas: 54°
3 problema
Apskritime, kurio centras yra taške O, kampas AOB yra 60°, o mažesnio lanko ilgis yra 50. Apskaičiuokite didesnio lanko ilgį.
Norėdami apskaičiuoti didesnio lanko ilgį, turite sudaryti proporciją – kaip mažesnis lankas susijęs su didesniu. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame abiejų lankų dydį laipsniais. Mažesnis lankas yra lygus kampui, kuris remiasi į jį. Jo laipsnio matas yra 60°. Didesnis lankas yra lygus skirtumui tarp apskritimo laipsnio matavimo (jis lygus 360° nepriklausomai nuo kitų duomenų) ir mažesnio lanko.
Didysis lankas yra 360°–60°=300°.
Kadangi 300°: 60°=5, didesnis lankas yra 5 kartus didesnis už mažesnį.
Didelis lankas=505=250
Atsakymas: 250
Taigi, žinoma, yra ir kitųpožiūriai į panašių problemų sprendimą, tačiau visi jie kažkaip pagrįsti centrinių ir įrašytų kampų, trikampių ir apskritimų savybėmis. Norint juos sėkmingai išspręsti, reikia atidžiai išstudijuoti brėžinį ir palyginti jį su uždavinio duomenimis, taip pat mokėti pritaikyti savo teorines žinias praktikoje.
