Pasaulis yra sutvarkytas taip, kad daugybės problemų sprendimas yra susijęs su kvadratinės lygties šaknų paieška. Lygčių šaknys yra svarbios apibūdinant įvairius modelius. Tai žinojo net senovės Babilono tyrinėtojai. Astronomai ir inžinieriai taip pat buvo priversti spręsti tokias problemas. VI amžiuje po Kristaus indų mokslininkas Aryabhata sukūrė pagrindus, kaip rasti kvadratinės lygties šaknis. Formulės buvo užpildytos XIX amžiuje.
Bendrosios sąvokos
Kviečiame susipažinti su pagrindiniais kvadratinių lygčių dėsningumais. Apskritai lygybę galima užrašyti taip:
ax2 + bx + c=0, Kvadratinės lygties šaknų skaičius gali būti lygus vienai arba dviem. Greitą analizę galima atlikti naudojant diskriminanto sąvoką:
D=b2 - 4ac
Priklausomai nuo apskaičiuotos vertės, gauname:
- Kai D > 0 yra dvi skirtingos šaknys. Bendroji kvadratinės lygties šaknų nustatymo formulė atrodo taip (-b± √D) / (2a).
- D=0, šiuo atveju šaknis yra viena ir atitinka reikšmę x=-b / (2a)
- D < 0, esant neigiamai diskriminanto vertei, nėra lygties sprendimo.
Pastaba: jei diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi šaknų tik realiųjų skaičių srityje. Jei algebra išplečiama iki sudėtingų šaknų sąvokos, tada lygtis turi sprendimą.
Pateikime veiksmų grandinę, kuri patvirtina šaknų radimo formulę.
Iš bendrosios lygties formos matyti:
ax2 + bx=-c
Dešinę ir kairiąją dalis padauginame iš 4a ir pridedame b2, gauname
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Kairę pusę paverskite daugianario kvadratu (2ax + b)2. Ištraukiame kvadratinę šaknį iš abiejų lygties 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), perkeliame koeficientą b į dešinę, gauname:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Iš čia:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Ką reikėjo parodyti.
Ypatingas atvejis
Kai kuriais atvejais problemos sprendimas gali būti supaprastintas. Taigi lyginiam koeficientui b gauname paprastesnę formulę.
Pažymėkite k=1/2b, tada kvadratinės lygties šaknų bendrosios formos formulė yra tokia:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Kai D=0, gauname x=-k / a
Kitas ypatingas atvejis yra lygties su a=1 sprendimas.
Formos x2 + bx + c=0 šaknys bus x=-k ± √(k2 - c), kai diskriminantas yra didesnis nei 0. Tuo atveju, kai D=0, šaknis bus nustatyta pagal paprastą formulę: x=-k.
Naudokite diagramas
Bet kuris asmuo, net nežinodamas, nuolat susiduria su fiziniais, cheminiais, biologiniais ir net socialiniais reiškiniais, kurie gerai apibūdinami kvadratine funkcija.
Pastaba: kreivė, sudaryta remiantis kvadratine funkcija, vadinama parabole.
Štai keletas pavyzdžių.
- Skaičiuojant sviedinio trajektoriją, naudojama judėjimo išilgai kūno, paleisto kampu į horizontą, parabolės savybė.
- Parabolės savybė tolygiai paskirstyti apkrovą plačiai naudojama architektūroje.
Suprasdami parabolinės funkcijos svarbą, išsiaiškinkime, kaip naudoti grafiką jo savybėms ištirti, naudojant sąvokas „diskriminantas“ir „kvadratinės lygties šaknys“.
Priklausomai nuo koeficientų a ir b reikšmės, yra tik šeši kreivės padėties parinktys:
- Diskriminantas yra teigiamas, a ir b ženklai skiriasi. Parabolės šakos žiūri aukštyn, kvadratinė lygtis turi du sprendinius.
- Diskriminantas ir koeficientas b yra lygūs nuliui, koeficientas a yra didesnis už nulį. Grafikas yra teigiamoje zonoje, lygtis turi 1 šaknį.
- Diskriminantas ir visi koeficientai yra teigiami. Kvadratinė lygtis neturi sprendinio.
- Diskriminantas ir koeficientas a yra neigiami, b yra didesnis už nulį. Grafiko šakos nukreiptos žemyn, lygtis turi dvi šaknis.
- Diskriminuojantis irkoeficientas b yra lygus nuliui, koeficientas a yra neigiamas. Parabolė žiūri žemyn, lygtis turi vieną šaknį.
- Diskriminanto ir visų koeficientų reikšmės yra neigiamos. Sprendimų nėra, funkcijų reikšmės yra visiškai neigiamoje zonoje.
Pastaba: parinktis a=0 neatsižvelgiama, nes šiuo atveju parabolė išsigimsta į tiesią liniją.
Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gerai iliustruojama toliau pateiktame paveikslėlyje.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
Sąlyga: naudodami bendrąsias savybes, sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra lygios viena kitai.
Sprendimas:
pagal problemos būklę x1 =x2 arba -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Žymėjimo supaprastinimas:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus. Lygtis tampa 2√(b2 - 4ac)=0. Šis teiginys yra teisingas, kai b2 - 4ac=0, taigi b 2=4ac, tada reikšmė b=2√(ac) pakeičiama į lygtį
ax2 + 2√(ac)x + c=0, sumažintoje formoje gauname x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Atsakymas:
jei a nelygus 0 ir bet kuriam c, yra tik vienas sprendimas, jei b=2√(c / a).
Kvadratinės lygtys, nepaisant jų paprastumo, yra labai svarbios atliekant inžinerinius skaičiavimus. Beveik bet kokį fizinį procesą galima apibūdinti naudojant tam tikrą aproksimacijąn eilės galios funkcijos. Kvadratinė lygtis bus pirmoji tokia aproksimacija.
