Į apskritimą įbrėžtas keturkampis. Keturkampis ABCD įbrėžtas į apskritimą

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Suskaidžius matematiką į algebrą ir geometriją, mokomoji medžiaga tampa sunkesnė. Atsiranda naujos figūros ir specialūs jų atvejai. Norint gerai suprasti medžiagą, būtina išstudijuoti objektų sąvokas, savybes ir susijusias teoremas.

Bendrosios sąvokos

Keturkampis reiškia geometrinę figūrą. Jį sudaro 4 taškai. Be to, 3 iš jų nėra toje pačioje tiesioje linijoje. Yra atkarpų, jungiančių nurodytus taškus nuosekliai.

Visi keturkampiai, tirti mokyklos geometrijos kurse, parodyti šioje diagramoje. Išvada: bet kuris objektas iš pateiktos figūros turi ankstesnės figūros savybes.

Keturkampis gali būti šių tipų:

• Paralelograma. Jo priešingų kraštinių lygiagretumas įrodomas atitinkamomis teoremomis.
• Trapecija. Keturkampis lygiagrečiais pagrindais. Kitos dvi partijos nėra.
• Stačiakampis. Figūra, turinti visus 4 kampus=90º.
• Rombas. Figūra, kurios visos kraštinės lygios.
• Kvadratas. Sujungia dviejų paskutinių figūrų savybes. Jo visos kraštinės yra lygios ir visi kampai yra teisingi.

Pagrindinis šios temos apibrėžimas yra į apskritimą įbrėžtas keturkampis. Jį sudaro toliau. Tai yra figūra, aplink kurią aprašytas apskritimas. Jis turi praeiti per visas viršūnes. Į apskritimą įbrėžto keturkampio vidiniai kampai sudaro 360º.

Ne kiekvienas keturkampis gali būti įrašytas. Taip yra dėl to, kad 4 kraštinių statmenos pusės negali susikirsti viename taške. Dėl to bus neįmanoma rasti apskritimo, ribojančio 4 kampus, centro.

Ypatingi atvejai

Kiekvienai taisyklei yra išimčių. Taigi, šioje temoje yra ir ypatingų atvejų:

• Lygiagretainis, kaip toks, negali būti įrašytas į apskritimą. Tik jo ypatingas atvejis. Tai stačiakampis.
• Jei visos rombo viršūnės yra apibrėžtojoje linijoje, tai yra kvadratas.
• Visos trapecijos viršūnės yra apskritimo ribose. Šiuo atveju jie kalba apie lygiašonę figūrą.

Apskritime įbrėžto keturkampio savybės

Prieš spręsdami paprastas ir sudėtingas problemas tam tikra tema, turite patikrinti savo žinias. Neišnagrinėjus mokomosios medžiagos neįmanoma išspręsti nė vieno pavyzdžio.

1 teorema

Į apskritimą įbrėžto keturkampio priešingų kampų suma yra 180º.

Įrodymas

Duota: keturkampis ABCD įbrėžtas į apskritimą. Jo centras yra taškas O. Turime įrodyti, kad _<A + _<C=180º ir _< B + _<D=180º.

Reikia atsižvelgti į pateiktus skaičius.

1. _{<A yra įrašytas į apskritimą, kurio centras yra taške O. Jis matuojamas per ½ BCD (pusė lanko).}
2. _{<C įrašytas tame pačiame apskritime. Jis matuojamas per ½ BAD (pusiau lanko).}
3. BAD ir BCD sudaro visą apskritimą, t. y. jų dydis yra 360º.
4. _<A + _{<C yra lygus pusei pavaizduotų puslankių sumos.}
5. Taigi _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Panašiu būdu, _<B ir _{<D įrodymas. Tačiau yra ir antras problemos sprendimas.}

1. Žinoma, kad keturkampio vidinių kampų suma yra 360º.
2. Nes _<A + _<C=180º. Atitinkamai _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

2 teorema

(dažnai vadinama atvirkštine) Jei keturkampyje _<A + _<C=180º ir _{<B +} <_{D=180º (jei jie yra priešingi), tada aplink tokią figūrą galima apibūdinti apskritimą.}

Įrodymas

Duota keturkampio ABCD priešingų kampų suma, lygi 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Turime įrodyti, kad apskritimas gali būti apibrėžtas aplink ABCD.}

Iš geometrijos kurso žinoma, kad apskritimas gali būti nubrėžtas per 3 keturkampio taškus. Pavyzdžiui, galite naudoti taškus A, B, C. Kur bus taškas D? Yra 3 spėjimai:

1. Ji patenka į ratą. Šiuo atveju D neliečia linijos.
2. Už rato ribų. Ji nužengia toli už nubrėžtos linijos.
3. Pasirodo apskritime.

Reikėtų daryti prielaidą, kad D yra apskritimo viduje. Nurodytos viršūnės vietą užima D´. Pasirodo keturkampis ABCD´.

Rezultatas:_<B + _<D´=2d.

Jei tęsime AD´ iki susikirtimo su esamu apskritimu, kurio centras yra taške E, ir sujungsime E ir C, gausime įbrėžtą keturkampį ABCE. Iš pirmosios teoremos išplaukia lygybė:

Pagal geometrijos dėsnius, išraiška negalioja, nes _<D' yra išorinis trikampio CD´E kampas. Atitinkamai, jis turėtų būti didesnis nei _{<E. Iš to galime daryti išvadą, kad D turi būti apskritime arba už jo ribų.}

Panašiai trečioji prielaida gali būti klaidinga, kai D´´ peržengia aprašytos figūros ribą.

Iš dviejų hipotezių seka vienintelė teisinga. Viršūnė D yra apskritimo linijoje. Kitaip tariant, D sutampa su E. Iš to išplaukia, kad visi keturkampio taškai yra aprašytoje tiesėje.

Iš šiųdvi teoremos, išvados:

Bet kurį stačiakampį galima įrašyti į apskritimą. Yra ir kita pasekmė. Apskritimas gali būti apibrėžtas aplink bet kurį stačiakampį

Trapecija su vienodais klubais gali būti įbrėžta apskritime. Kitaip tariant, tai skamba taip: aplink trapeciją su vienodomis briaunomis galima apibūdinti apskritimą

Keli pavyzdžiai

Užduotis 1. Keturkampis ABCD įrašytas į apskritimą. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Reikia rasti _{<ABD. Atsakymas turi būti parašytas laipsniais.}

Sprendimas. Iš pradžių gali atrodyti sunku rasti atsakymą.

1. Turite atsiminti šios temos savybes. Būtent: priešingų kampų suma=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Geometrijoje geriau laikytis principo: raskite viską, ką galite. Naudinga vėliau.

2. Kitas žingsnis: naudokite trikampio sumos teoremą.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 3 75º=70º}

_<ABD ir _{<ACD yra įrašyti. Pagal sąlygą jie remiasi vienu lanku. Atitinkamai, jų reikšmės yra vienodos:}

_<ABD=_<ACD=70º

Atsakymas: _<ABD=70º.

2 uždavinys. BCDE yra įbrėžtas keturkampis apskritime. _<B=69º, _<C=84º. Apskritimo centras yra taškas E. Raskite - _<E.

Sprendimas.

1. Reikia rasti _{<E pagal 1 teoremą.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Atsakymas: _{< E=96º.}

Užduotis 3. Duotas į apskritimą įbrėžtas keturkampis. Duomenys pateikti paveikslėlyje. Būtina rasti nežinomas reikšmes x, y, z.

Sprendimas:

z=180º – 93º=87º (pagal 1 teoremą)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (pagal 1 teoremą)

Atsakymas: z=87º, x=82º, y=98º.

4 uždavinys. Yra keturkampis, įbrėžtas apskritime. Vertės parodytos paveikslėlyje. Rasti x, y.

Sprendimas:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Atsakymas: x=100º, y=109º.

Nepriklausomo sprendimo problemos

1 pavyzdys. Duotas apskritimas. Jo centras yra taškas O. AC ir BD yra skersmenys. _<ACB=38º. Reikia rasti _{<AOD. Atsakymas turi būti pateiktas laipsniais.}

2 pavyzdys. Duotas keturkampis ABCD ir aplink jį apibrėžtas apskritimas. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Raskite _{<CAD. Atsakymą parašykite laipsniais.}

3 pavyzdys. Duotas apskritimas ir įbrėžtas keturkampis ABCD. Jo du kampai yra 82º ir58º. Turite rasti didžiausią iš likusių kampų ir užrašykite atsakymą laipsniais.

4 pavyzdys. Pateiktas keturkampis ABCD. Kampai A, B, C pateikiami santykiu 1:2:3. Būtina rasti kampą D, jei nurodytą keturkampį galima įrašyti į apskritimą. Atsakymas turi būti pateiktas laipsniais.

5 pavyzdys. Pateiktas keturkampis ABCD. Jo kraštinės sudaro apibrėžto apskritimo lankus. Atitinkamai AB, BC, CD ir AD laipsnių reikšmės yra: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Turėtumėte rasti _{<Iš pateikto keturkampio ir užrašykite atsakymą laipsniais.}