Daugelis, susidūrę su „tikimybių teorijos“sąvoka, išsigąsta manydami, kad tai kažkas nepaprasto, labai sudėtingo. Bet tikrai ne viskas taip tragiška. Šiandien mes apsvarstysime pagrindinę tikimybių teorijos sampratą, išmoksime spręsti problemas naudodamiesi konkrečiais pavyzdžiais.
Mokslas
Ką tiria tokia matematikos šaka kaip „tikimybių teorija“? Jis pažymi atsitiktinių įvykių ir kiekių modelius. Pirmą kartą mokslininkai šiuo klausimu susidomėjo dar XVIII amžiuje, kai studijavo azartinius lošimus. Pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis. Tai bet koks faktas, kuris nustatomas patirtimi ar stebėjimu. Bet kas yra patirtis? Kita pagrindinė tikimybių teorijos samprata. Tai reiškia, kad tokia aplinkybių kompozicija buvo sukurta ne atsitiktinai, o tam tikram tikslui. Kalbant apie stebėjimą, čia pats tyrėjas nedalyvauja eksperimente, o yra tiesiog šių įvykių liudininkas, jis niekaip neįtakoja to, kas vyksta.
Renginiai
Sužinojome, kad pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra įvykis, bet neatsižvelgėme į klasifikaciją. Visi jie yra suskirstyti į šias kategorijas:
- Patikimas.
- Neįmanoma.
- Atsitiktinis.
Nesvarbukokie įvykiai stebimi ar kuriami patirties eigoje, jiems visiems taikoma ši klasifikacija. Siūlome susipažinti su kiekviena iš rūšių atskirai.
Tam tikras įvykis
Tai aplinkybė, prieš kurią buvo imtasi reikiamų priemonių. Norint geriau suprasti esmę, geriau pateikti kelis pavyzdžius. Fizikai, chemijai, ekonomikai ir aukštajai matematikai galioja šis įstatymas. Tikimybių teorija apima tokią svarbią sąvoką kaip tam tikras įvykis. Štai keli pavyzdžiai:
- Dirbame ir gauname atlyginimą kaip darbo užmokestį.
- Gerai išlaikėme egzaminus, išlaikėme konkursą, už tai gauname atlygį stojimo į mokymo įstaigą forma.
- Pinigus investavome į banką, jei reikės, atgausime.
Tokie renginiai patikimi. Jei įvykdėme visas būtinas sąlygas, tai tikrai sulauksime laukiamo rezultato.
Neįmanomi įvykiai
Dabar svarstome tikimybių teorijos elementus. Siūlome pereiti prie kito įvykio tipo, ty neįmanomo, paaiškinimo. Pirmiausia nurodykime svarbiausią taisyklę – neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.
Spręsdami problemas negalite nukrypti nuo šios formuluotės. Kad būtų aiškiau, pateikiami tokių įvykių pavyzdžiai:
- Vanduo užšalo ties plius dešimt (tai neįmanoma).
- Elektros trūkumas neturi jokios įtakos gamybai (taip pat neįmanoma, kaip ir ankstesniame pavyzdyje).
Daugiau pavyzdžiųCituoti neverta, nes aukščiau aprašytieji labai aiškiai atspindi šios kategorijos esmę. Neįmanomas įvykis niekada neįvyks per patirtį jokiomis aplinkybėmis.
Atsitiktiniai įvykiai
Studijuojant tikimybių teorijos elementus, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas būtent šiam įvykių tipui. Būtent tai tiria mokslas. Dėl patirties kažkas gali atsitikti, o gal ir ne. Be to, testą galima kartoti neribotą skaičių kartų. Ryškūs pavyzdžiai:
- Monetos metimas yra patirtis arba išbandymas, antraštė yra įvykis.
- Aklai kamuoliuko ištraukimas iš maišo yra išbandymas, raudono kamuoliuko pagavimas yra įvykis ir pan.
Tokių pavyzdžių gali būti neribotas skaičius, bet apskritai esmė turėtų būti aiški. Gautoms žinioms apie įvykius apibendrinti ir susisteminti pateikiama lentelė. Tikimybių teorija tiria tik paskutinį tipą iš visų pateiktų.
| titulas | definicija | pavyzdys |
| Patikimas | Įvykiai, kuriems suteikiama 100 % garantija tam tikromis sąlygomis. | Priėmimas į švietimo įstaigą su geru stojamuoju egzaminu. |
| Neįmanoma | Įvykiai, kurie niekada neįvyks jokiomis aplinkybėmis. | Snigo plius trisdešimt laipsnių Celsijaus. |
| Atsitiktinis | Įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti eksperimento / bandymo metu. | Pataikykite arba nepataikykite įmesdami krepšinio kamuolį į lanką. |
Įstatymai
Tikimybių teorija yra mokslas, tiriantis įvykio galimybę. Kaip ir kiti, jis turi tam tikras taisykles. Yra šie tikimybių teorijos dėsniai:
- Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija.
- Didžiųjų skaičių dėsnis.
Skaičiuodami komplekso galimybę, galite naudoti paprastų įvykių kompleksą, kad rezultatą pasiektumėte lengviau ir greičiau. Atkreipkite dėmesį, kad tikimybių teorijos dėsniai lengvai įrodomi kai kurių teoremų pagalba. Pradėkime nuo pirmojo įstatymo.
Atsitiktinių dydžių sekų konvergencija
Atkreipkite dėmesį, kad yra keletas konvergencijos tipų:
- Atsitiktinių dydžių seka suartėja tikimybe.
- Beveik neįmanoma.
- RMS konvergencija.
- Paskirstymo konvergencija.
Taigi, skrendant, labai sunku suprasti esmę. Štai keletas apibrėžimų, kurie padės suprasti šią temą. Pradėkime nuo pirmo žvilgsnio. Seka vadinama konvergencine tikimybe, jei įvykdoma ši sąlyga: n linkusi į begalybę, skaičius, iki kurio seka linksta, yra didesnis už nulį ir artimas vienetui.
Perėjimas prie kito rodinio beveik neabejotinai. Jie taip sakoseka beveik neabejotinai konverguoja į atsitiktinį kintamąjį, kurio n linkęs į begalybę, o P linkęs į reikšmę, artimą vienetui.
Kitas tipas yra vidurkio kvadrato konvergencija. Naudojant SC konvergenciją, vektorinių atsitiktinių procesų tyrimas sumažinamas iki jų koordinačių atsitiktinių procesų tyrimo.
Liko paskutinis tipas, trumpai pažvelkime į jį, kad galėtume tiesiogiai spręsti problemas. Paskirstymo konvergencija turi kitą pavadinimą - „silpna“, paaiškinsime kodėl toliau. Silpna konvergencija yra pasiskirstymo funkcijų konvergencija visuose ribinio pasiskirstymo funkcijos tęstinumo taškuose.
Būtinai įvykdykite pažadą: silpna konvergencija skiriasi nuo visų pirmiau minėtų dalykų tuo, kad atsitiktinis kintamasis nėra apibrėžtas tikimybių erdvėje. Tai įmanoma, nes sąlyga sudaroma tik naudojant paskirstymo funkcijas.
Didžiųjų skaičių įstatymas
Puikūs pagalbininkai įrodant šį dėsnį bus tikimybių teorijos teoremos, tokios kaip:
- Čebyševo nelygybė.
- Čebyševo teorema.
- Apibendrinta Čebyševo teorema.
- Markovo teorema.
Jei apsvarstysime visas šias teoremas, šis klausimas gali užsitęsti kelias dešimtis lapų. Mūsų pagrindinis uždavinys – tikimybių teoriją pritaikyti praktikoje. Kviečiame tai padaryti dabar. Tačiau prieš tai panagrinėkime tikimybių teorijos aksiomas, jos bus pagrindiniai pagalbininkai sprendžiant uždavinius.
Aksiomos
Mes jau susitikome su pirmuoju, kai kalbėjome apie neįmanomą įvykį. Prisiminkime: neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Pateikėme labai ryškų ir įsimintiną pavyzdį: snigo esant trisdešimties laipsnių Celsijaus oro temperatūrai.
Antras skamba taip: įvyksta patikimas įvykis, kurio tikimybė lygi vienetui. Dabar parodykime, kaip tai parašyti matematine kalba: P(B)=1.
Trečia: atsitiktinis įvykis gali įvykti arba neįvykti, tačiau tikimybė visada svyruoja nuo nulio iki vieneto. Kuo vertė arčiau vieneto, tuo didesnė tikimybė; jei vertė artėja prie nulio, tikimybė yra labai maža. Parašykime tai matematine kalba: 0<Р(С)<1.
Panagrinėkime paskutinę, ketvirtąją aksiomą, kuri skamba taip: dviejų įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai. Rašome matematine kalba: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Tikimybių teorijos aksiomos yra paprasčiausios taisyklės, kurias lengva atsiminti. Pabandykime išspręsti kai kurias problemas, remdamiesi jau įgytomis žiniomis.
Loterijos bilietas
Pirmiausia apsvarstykite paprasčiausią pavyzdį – loteriją. Įsivaizduokite, kad nusipirkote vieną loterijos bilietą dėl sėkmės. Kokia tikimybė, kad laimėsite bent dvidešimt rublių? Iš viso apyvartoje dalyvauja tūkstantis bilietų, iš kurių vieno prizas yra penki šimtai rublių, dešimt iš šimto rublių, penkiasdešimt iš dvidešimties rublių ir šimtas iš penkių. Tikimybių teorijos problemos yra pagrįstos galimybės suradimusėkmės. Dabar kartu išanalizuosime aukščiau pateiktos užduoties sprendimą.
Jei A raide pažymėsime penkių šimtų rublių laimėjimą, tada tikimybė gauti A bus 0,001. Kaip mes tai gavome? Jums tereikia padalyti „laimingų“bilietų skaičių iš bendro jų skaičiaus (šiuo atveju: 1/1000).
B yra šimto rublių laimėjimas, tikimybė bus 0,01. Dabar elgėmės pagal tą patį principą kaip ir ankstesniame veiksme (10/1000)
C – laimėjimas lygus dvidešimties rublių. Raskite tikimybę, ji lygi 0,05.
Likusieji bilietai mums neįdomūs, nes jų prizinis fondas yra mažesnis nei nurodyta sąlygoje. Taikykime ketvirtąją aksiomą: Tikimybė laimėti bent dvidešimt rublių yra P(A)+P(B)+P(C). Raidė P žymi šio įvykio tikimybę, jas jau radome ankstesniuose žingsniuose. Belieka tik pridėti reikiamus duomenis, atsakyme gauname 0, 061. Šis skaičius bus atsakymas į užduoties klausimą.
Kortų kaladė
Tikimybių teorijos problemos gali būti sudėtingesnės, pavyzdžiui, atlikite šią užduotį. Prieš tave yra trisdešimt šešių kortų kaladė. Jūsų užduotis yra ištraukti dvi kortas iš eilės, nemaišant krūvos, pirmoji ir antroji kortos turi būti tūzai, kostiumas nesvarbus.
Pirma, suraskime tikimybę, kad pirmoji korta bus tūzas, todėl keturis padalijame iš trisdešimt šešių. Jie atidėjo jį į šalį. Išimame antrą kortą, tai bus tūzas su trijų trisdešimt penktadalių tikimybe. Antrojo įvykio tikimybė priklauso nuo to, kurią kortą ištraukėme pirmiausia, domimėsbuvo tai tūzas ar ne. Iš to išplaukia, kad įvykis B priklauso nuo įvykio A.
Kitas žingsnis – rasti vienalaikio įgyvendinimo tikimybę, tai yra, padauginame A ir B. Jų sandauga randama taip: vieno įvykio tikimybė padauginama iš sąlyginės kito įvykio tikimybės, kurią apskaičiuojame., darant prielaidą, kad įvyko pirmasis įvykis, tai yra, su pirmąja korta ištraukėme tūzą.
Kad viskas būtų aišku, tokį elementą suteikime kaip sąlyginė įvykio tikimybė. Jis apskaičiuojamas darant prielaidą, kad įvykis A įvyko. Apskaičiuota taip: P(B/A).
Tęskite problemos sprendimą: P(AB)=P(A)P(B/A) arba P (AB)=P(B)P(A/B). Tikimybė yra (4/36)((3/35)/(4/36). Apskaičiuokite suapvalindami iki šimtųjų dalių. Turime: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Tikimybė, kad ištrauksime du tūzus iš eilės, yra devynios šimtosios dalys. Reikšmė labai maža, vadinasi, įvykio tikimybė yra labai maža.
Pamirštas numeris
Siūlome išanalizuoti dar keletą užduočių, kurios tiriamos tikimybių teorijos, variantų. Kai kurių iš jų sprendimo pavyzdžių jau matėte šiame straipsnyje, pabandykime išspręsti tokią problemą: berniukas pamiršo paskutinį draugo telefono numerio skaitmenį, bet kadangi skambutis buvo labai svarbus, pradėjo rinkti viską iš eilės. Turime apskaičiuoti tikimybę, kad jis paskambins ne daugiau kaip tris kartus. Problemos sprendimas yra paprasčiausias, jei žinomos tikimybių teorijos taisyklės, dėsniai ir aksiomos.
Prieš žiūrėdamisprendimą, pabandykite jį išspręsti patys. Žinome, kad paskutinis skaitmuo gali būti nuo nulio iki devynių, tai yra, iš viso yra dešimt reikšmių. Tikimybė gauti tinkamą yra 1/10.
Toliau turime apsvarstyti įvykio kilmės variantus, tarkime, kad berniukas atspėjo teisingai ir iškart surinko teisingą balą, tokio įvykio tikimybė yra 1/10. Antrasis variantas: pirmasis skambutis yra praleistas, o antrasis yra tikslingas. Skaičiuojame tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginame iš 1/9, taip ir gauname 1/10. Trečias variantas: pirmas ir antras skambučiai pasirodė ne tuo adresu, tik iš trečio berniukas pateko ten, kur norėjo. Apskaičiuojame tokio įvykio tikimybę: 9/10 padauginame iš 8/9 ir iš 1/8 gauname 1/10. Pagal problemos būklę kiti variantai mūsų nedomina, todėl belieka mums susumuoti rezultatus, dėl to turime 3/10. Atsakymas: Tikimybė, kad berniukas paskambins ne daugiau kaip tris kartus, yra 0,3.
Kortelės su skaičiais
Prieš jus yra devynios kortelės, ant kurių kiekvienoje užrašytas skaičius nuo vieno iki devynių, skaičiai nesikartoja. Jie dedami į dėžutę ir kruopščiai sumaišomi. Turite apskaičiuoti tikimybę, kad
- atras lyginis skaičius;
- dviejų skaitmenų.
Prieš pereidami prie sprendimo, nustatykime, kad m yra sėkmingų atvejų skaičius, o n yra bendras parinkčių skaičius. Raskite tikimybę, kad skaičius yra lyginis. Nesunku suskaičiuoti, kad yra keturi lyginiai skaičiai, tai bus mūsų m, iš viso yra devyni variantai, tai yra, m=9. Tada tikimybėlygus 0, 44 arba 4/9.
Apsvarstykite antrąjį atvejį: parinkčių skaičius yra devyni, o sėkmingų rezultatų apskritai negali būti, tai yra, m lygus nuliui. Tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje bus dviženklis skaičius, taip pat lygi nuliui.
