Mažai tikėtina, kad daugelis galvoja apie tai, ar įmanoma apskaičiuoti daugiau ar mažiau atsitiktinius įvykius. Paprastai tariant, ar realu žinoti, kuri kauliuko pusė iškris toliau. Būtent šį klausimą uždavė du puikūs mokslininkai, padėję pagrindus tokiam mokslui kaip tikimybių teorija, kurioje gana plačiai tiriama įvykio tikimybė.
Kilmė
Jei bandysite apibrėžti tokią sąvoką kaip tikimybių teoriją, gausite štai ką: tai viena iš matematikos šakų, tiriančių atsitiktinių įvykių pastovumą. Žinoma, ši koncepcija tikrai neatskleidžia visos esmės, todėl būtina ją apsvarstyti išsamiau.
Norėčiau pradėti nuo teorijos kūrėjų. Kaip minėta aukščiau, jų buvo du, tai Pierre'as Fermat ir Blaise'as Pascalis. Būtent jie buvo vieni pirmųjų, kurie bandė apskaičiuoti įvykio baigtį naudodami formules ir matematinius skaičiavimus. Apskritai šio mokslo užuomazgos pasirodė jau anksčiauViduramžiai. Tuo metu įvairūs mąstytojai ir mokslininkai bandė analizuoti azartinius lošimus, tokius kaip ruletė, craps ir pan., taip nustatydami konkretaus skaičiaus iškritimo modelį ir procentą. Pagrindą XVII amžiuje padėjo minėti mokslininkai.
Iš pradžių jų darbo nebuvo galima priskirti dideliems pasiekimams šioje srityje, nes viskas, ką jie darė, buvo tiesiog empiriniai faktai, o eksperimentai buvo nustatyti vizualiai, nenaudojant formulių. Laikui bėgant pasirodė, kad pavyko pasiekti puikių rezultatų, kurie pasirodė stebint kauliukų metimą. Būtent šis įrankis padėjo išvesti pirmąsias suprantamas formules.
Associates
Neįmanoma nepaminėti tokio asmens kaip Christianas Huygensas, studijuojant temą, vadinamą „tikimybių teorija“(įvykio tikimybę aprėpia būtent šis mokslas). Šis žmogus labai įdomus. Jis, kaip ir aukščiau pateikti mokslininkai, bandė išvesti atsitiktinių įvykių dėsningumą matematinių formulių pavidalu. Pastebėtina, kad jis to nedarė kartu su Pascal ir Fermat, tai yra, visi jo darbai jokiu būdu nesikerta su šiais protais. Huygensas išvedė pagrindines tikimybių teorijos sąvokas.
Įdomus faktas yra tai, kad jo darbai pasirodė gerokai anksčiau nei pionierių darbo rezultatai, tiksliau, prieš dvidešimt metų. Tarp nurodytų sąvokų žinomiausios yra:
- tikimybės kaip atsitiktinumo dydžio samprata;
- tikimasi diskretiškoatvejai;
- tikimybių daugybos ir sudėjimo teoremos.
Taip pat neįmanoma neprisiminti Jacobo Bernoulli, kuris taip pat reikšmingai prisidėjo prie problemos tyrimo. Atlikdamas savo bandymus, nepriklausomai nuo nieko, jam pavyko pateikti didelių skaičių dėsnio įrodymą. Savo ruožtu mokslininkai Puasonas ir Laplasas, dirbę XIX amžiaus pradžioje, sugebėjo įrodyti pirmines teoremas. Nuo šio momento tikimybių teorija buvo pradėta naudoti analizuojant klaidas stebėjimų eigoje. Rusijos mokslininkai, tiksliau Markovas, Čebyševas ir Djapunovas, negalėjo apeiti ir šio mokslo. Remdamiesi didžiųjų genijų darbu, jie nustatė, kad šis dalykas yra matematikos šaka. Šios figūros veikė jau XIX amžiaus pabaigoje ir dėl jų indėlio atsirado tokie reiškiniai kaip:
- didelių skaičių įstatymas;
- Markovo grandinės teorija;
- centrinės ribos teorema.
Taigi, su mokslo gimimo istorija ir pagrindiniais jai įtakos turėjusiais žmonėmis viskas daugmaž aišku. Dabar atėjo laikas sukonkretinti visus faktus.
Pagrindinės sąvokos
Prieš liečiant dėsnius ir teoremas, verta išstudijuoti pagrindines tikimybių teorijos sąvokas. Renginys jame užima pagrindinį vaidmenį. Ši tema yra gana didelė, bet be jos neįmanoma suprasti viso kito.
Tikimybių teorijoje įvykis yra bet koks eksperimento rezultatų rinkinys. Šio reiškinio sąvokų nėra tiek daug. Taigi, mokslininkas Lotmanai,dirbantis šioje srityje, sakė, kad šiuo atveju kalbame apie tai, kas „atsitiko, nors galėjo ir neįvykti“.
Atsitiktiniai įvykiai (tikimybių teorijoje jiems skiriamas ypatingas dėmesys) yra sąvoka, apimanti absoliučiai bet kokį reiškinį, kuris turi galimybę atsirasti. Arba, priešingai, šis scenarijus gali neįvykti, kai įvykdoma daug sąlygų. Taip pat verta žinoti, kad atsitiktiniai įvykiai užfiksuoja visą įvykusių reiškinių apimtį. Tikimybių teorija rodo, kad visos sąlygos gali kartotis nuolat. Būtent jų elgesys buvo vadinamas „patirtimi“arba „bandymu“.
Tam tikras įvykis yra tas, kuris 100 % įvyks atliekant tam tikrą testą. Atitinkamai neįmanomas įvykis yra tas, kuris neįvyks.
Veiksmų poros derinys (įprastai A ir B atvejis) yra reiškinys, vykstantis vienu metu. Jie pažymėti kaip AB.
Įvykių A ir B porų suma yra C, kitaip tariant, jei įvyks bent vienas iš jų (A arba B), tada bus gautas C. Aprašomo reiškinio formulė rašoma taip: C=A + B.
Disjungtieji įvykiai tikimybių teorijoje reiškia, kad du atvejai vienas kitą nesuderina. Jie niekada negali vykti tuo pačiu metu. Bendri įvykiai tikimybių teorijoje yra jų antipodas. Tai reiškia, kad jei įvyko A, tai netrukdo B.
Priešingi įvykiai (tikimybių teorija juos labai išsamiai nagrinėja) yra lengvai suprantami. Geriausia su jais elgtis lyginant. Jie beveik tokie patys kaipir nesuderinami įvykiai tikimybių teorijoje. Tačiau jų skirtumas slypi tame, kad vienas iš daugelio reiškinių vis tiek turi įvykti.
Ekvivalentiški įvykiai yra tie veiksmai, kurių galimybė yra lygi. Kad būtų aiškiau, galime įsivaizduoti monetos metimą: nukritus vienai iš jos kraštų, taip pat tikėtina, kad kris ir kita.
Labingą įvykį lengviau pamatyti pateikus pavyzdį. Tarkime, yra B epizodas ir A epizodas. Pirmasis yra kauliuko metimas su nelyginiu skaičiumi, o antrasis – skaičiaus penktas pasirodymas ant kauliuko. Tada paaiškėja, kad A teikia pirmenybę B.
Nepriklausomi įvykiai tikimybių teorijoje prognozuojami tik dviem ar daugiau atvejų ir reiškia bet kokio veiksmo nepriklausomumą nuo kito. Pavyzdžiui, A yra uodegos praradimas išmetus monetą, o B yra domkrato ištraukimas iš kaladės. Tai nepriklausomi įvykiai tikimybių teorijoje. Šią akimirką tapo aiškiau.
Priklausomi įvykiai tikimybių teorijoje taip pat leidžiami tik jų aibėje. Jie reiškia vieno priklausomybę nuo kito, tai yra, reiškinys B gali atsirasti tik tuo atveju, jei A jau įvyko arba, priešingai, neįvyko, kai tai yra pagrindinė B sąlyga.
Atsitiktinio eksperimento, kurį sudaro vienas komponentas, rezultatas yra elementarūs įvykiai. Tikimybių teorija paaiškina, kad tai reiškinys, atsitikęs tik vieną kartą.
Pagrindinės formulės
Taigi, sąvokos „įvykis“, „tikimybių teorija“,buvo pateiktas ir pagrindinių šio mokslo terminų apibrėžimas. Dabar atėjo laikas tiesiogiai susipažinti su svarbiomis formulėmis. Šios išraiškos matematiškai patvirtina visas pagrindines tokio sudėtingo dalyko kaip tikimybių teorijos sąvokas. Įvykio tikimybė čia taip pat vaidina didžiulį vaidmenį.
Geriau pradėkite nuo pagrindinių kombinatorikos formulių. Ir prieš pereinant prie jų verta pagalvoti, kas tai yra.
Kombinatorika visų pirma yra matematikos šaka, joje tiriama daugybė sveikųjų skaičių, taip pat įvairios pačių skaičių ir jų elementų permutacijos, įvairūs duomenys ir kt., dėl kurių atsiranda nemažai derinių. Be tikimybių teorijos, ši šaka svarbi statistikai, informatikai ir kriptografijai.
Taigi dabar galime pereiti prie pačių formulių pateikimo ir jų apibrėžimo.
Pirmoji bus permutacijų skaičiaus išraiška, ji atrodo taip:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Lygtis taikoma tik tuo atveju, jei elementai skiriasi tik eilės tvarka.
Dabar bus atsižvelgta į paskirties vietos formulę, ji atrodo taip:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ši išraiška taikoma ne tik elemento tvarkai, bet ir jo sudėčiai.
Trečioji kombinatorikos lygtis, kuri taip pat yra paskutinė, vadinama kombinacijų skaičiaus formule:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Deriniai yra pasirinkimai, kurie nėra išdėstyti atitinkamai, ir jiems taikoma ši taisyklė.
Paaiškėjo, kad suprasti kombinatorikos formules lengva, dabar galime pereiti prie klasikinio tikimybių apibrėžimo. Ši išraiška atrodo taip:
P(A)=m: n.
Šioje formulėje m yra sąlygų, palankių įvykiui A, skaičius, o n yra absoliučiai visų vienodai galimų ir elementarių rezultatų skaičius.
Posakių yra labai daug, straipsnis neapims visų, bet bus paliečiami svarbiausi iš jų, pavyzdžiui, įvykių sumos tikimybė:
P(A + B)=P(A) + P(B) – ši teorema skirta tik nesuderinamiems įvykiams pridėti;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) – ir šis skirtas pridėti tik suderinamus.
Įvykių atsiradimo tikimybė:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ši teorema skirta nepriklausomiems įvykiams;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) – ir šis skirtas narkomanai.
Įvykio formulė baigia sąrašą. Tikimybių teorija pasakoja apie Bayeso teoremą, kuri atrodo taip:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Šioje formulėje H1, H2, …, H yra užbaigti hipotezių grupę.
Sustokime čia, tada bus apsvarstyti formulių taikymo pavyzdžiai konkrečioms problemoms spręsti iš praktikos.
Pavyzdžiai
Jei atidžiai išstudijuosite bet kurį skyriųmatematika, neapsieina be pratimų ir sprendimų pavyzdžių. Taip pat ir tikimybių teorija: įvykiai, pavyzdžiai čia yra neatskiriama sudedamoji dalis, patvirtinanti mokslinius skaičiavimus.
Permutacijų skaičiaus formulė
Tarkime, kortų kaladėje yra trisdešimt kortų, pradedant nuo vienos nominalios vertės. Kitas klausimas. Kiek būdų galima sukrauti kaladę, kad kortos, kurių nominali vertė yra viena ir dvi, nebūtų viena šalia kitos?
Užduotis nustatyta, dabar pereikime prie jos sprendimo. Pirmiausia turite nustatyti trisdešimties elementų permutacijų skaičių, tam imame aukščiau pateiktą formulę, pasirodo, P_30=30!.
Remiantis šia taisykle, išsiaiškinsime, kiek yra galimybių įvairiais būdais nulenkti kaladę, tačiau iš jų reikia atimti tas, kuriose pirma ir antra kortos yra šalia. Norėdami tai padaryti, pradėkime nuo parinkties, kai pirmasis yra aukščiau antrojo. Pasirodo, pirmoji korta gali užimti dvidešimt devynias vietas – nuo pirmos iki dvidešimt devintos, o antroji – nuo antrosios iki trisdešimtosios, kortų porai išeina dvidešimt devynios vietos. Savo ruožtu likusios gali užimti dvidešimt aštuonias vietas ir bet kokia tvarka. Tai yra, dvidešimt aštuonių kortelių permutacijai yra dvidešimt aštuonios parinktys P_28=28!
Dėl to paaiškėja, kad jei svarstysime sprendimą, kai pirmoji korta baigiasi antrąja, yra 29 ⋅ 28 papildomos galimybės!=29!
Naudodami tą patį metodą, turite apskaičiuoti perteklinių parinkčių skaičių tuo atveju, kai pirmoji kortelė yra po antroji. Taip pat pasirodo 29 ⋅ 28!=29!
Iš to išplaukia, kad yra 2 ⋅ 29 papildomos parinktys!, o yra 30 būtinų denio kūrimo būdų! - 2 ⋅ 29!. Belieka tik suskaičiuoti.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30–2)=29! ⋅ 28
Dabar reikia padauginti visus skaičius nuo vieno iki dvidešimt devynių, o pabaigoje viską padauginti iš 28. Atsakymas yra 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Pavyzdžio sprendimas. Paskirties vietos numerio formulė
Šioje užduotyje turite išsiaiškinti, kiek būdų yra penkiolika tomų sudėti į vieną lentyną, tačiau su sąlyga, kad iš viso yra trisdešimt tomų.
Ši problema turi šiek tiek lengvesnį sprendimą nei ankstesnė. Naudojant jau žinomą formulę, reikia apskaičiuoti bendrą vietų skaičių iš trisdešimties penkiolikos tomų.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30–15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 ⋅ 16=202 843
Atitinkamai atsakymas bus 202 843 204 931 727 360 000.
Dabar atlikime užduotį šiek tiek sunkesnę. Turite išsiaiškinti, kiek būdų yra trisdešimt knygų išdėstyti dviejose knygų lentynose, jei vienoje lentynoje gali būti tik penkiolika tomų.
Prieš pradėdamas sprendimą, norėčiau paaiškinti, kad kai kurios problemos sprendžiamos keliais būdais, todėl šiame yra du būdai, tačiau abiejuose naudojama ta pati formulė.
Šioje užduotyje galite paimti atsakymą iš ankstesnio, nes ten suskaičiavome, kiek kartų galite užpildyti lentyną penkiolika knygųkitaip. Paaiškėjo, kad A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Antrą lentyną skaičiuosime naudodami permutacijos formulę, nes joje yra penkiolika knygų, o liko tik penkiolika. Naudokite formulę P_15=15!.
Paaiškėjo, kad bendra suma bus A_30^15 ⋅ P_15 krypčių, bet, be to, visų skaičių sandaugą nuo trisdešimties iki šešiolikos reikės padauginti iš skaičių sandaugos nuo vieno iki penkiolikos, nes rezultatas, visų skaičių sandauga nuo vieno iki trisdešimties, taigi atsakymas yra 30!
Bet šią problemą galima išspręsti kitaip – lengviau. Norėdami tai padaryti, galite įsivaizduoti, kad yra viena lentyna trisdešimčiai knygų. Visos jos dedamos ant šios plokštumos, bet kadangi sąlyga reikalauja, kad lentynos būtų dvi, vieną ilgą perpjauname per pusę, gaunasi po dvi penkiolika. Iš to paaiškėja, kad paskirties vietos parinktys gali būti P_30=30!.
Pavyzdžio sprendimas. Kombinacijos numerio
formulė
Dabar apsvarstysime trečiosios kombinatorikos problemos variantą. Turite išsiaiškinti, kiek būdų yra išdėstyti penkiolika knygų, jei reikia pasirinkti iš trisdešimties visiškai identiškų.
Sprendimui, žinoma, bus taikoma kombinacijų skaičiaus formulė. Iš sąlygos aiškėja, kad identiškų penkiolikos knygų eilė nėra svarbi. Todėl iš pradžių reikia išsiaiškinti bendrą trisdešimties penkiolikos knygų derinių skaičių.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: penkiolika!=155 117 520
Štai ir viskas. Naudojant šią formulę, tai buvo įmanoma per trumpiausią įmanomą laikąišspręsti tokią problemą, atsakymas yra atitinkamai 155 117 520.
Pavyzdžio sprendimas. Klasikinis tikimybės apibrėžimas
Naudodami aukščiau pateiktą formulę galite rasti atsakymą į paprastą problemą. Tačiau tai padės vizualiai pamatyti ir sekti veiksmų eigą.
Uždavinyje nurodyta, kad urnoje yra dešimt visiškai identiškų kamuoliukų. Iš jų keturi yra geltoni, o šeši - mėlyni. Iš urnos paimamas vienas rutulys. Turite išsiaiškinti tikimybę tapti mėlyna.
Norint išspręsti problemą, mėlyno kamuoliuko gavimą būtina priskirti įvykiui A. Ši patirtis gali turėti dešimt pasekmių, kurios, savo ruožtu, yra elementarios ir vienodai tikėtinos. Tuo pačiu metu įvykiui A palankūs šeši iš dešimties. Sprendžiame pagal formulę:
P(A)=6: 10=0, 6
Taikydami šią formulę išsiaiškinome, kad tikimybė gauti mėlyną rutulį yra 0,6.
Pavyzdžio sprendimas. Įvykių sumos tikimybė
Dabar bus pateiktas variantas, kuris išspręstas naudojant įvykių sumos tikimybės formulę. Taigi, atsižvelgiant į tai, kad yra dvi dėžutės, pirmoje yra vienas pilkas ir penki b alti rutuliukai, o antrajame yra aštuoni pilki ir keturi b alti rutuliukai. Dėl to viena iš jų buvo paimta iš pirmosios ir antrosios dėžės. Turite išsiaiškinti, kokia yra tikimybė, kad kamuoliukai bus pilki ir b alti.
Norėdami išspręsti šią problemą, turite pažymėti įvykius.
- Taigi, A – paimkite pilką rutulį iš pirmojo langelio: P(A)=1/6.
- A’ – paimkite b altą rutulį taip pat iš pirmo langelio: P(A')=5/6.
- B – pilkas rutulys jau ištrauktas iš antrosios dėžės: P(B)=2/3.
- B’ – paimkite pilką rutulį iš antrojo langelio: P(B')=1/3.
Pagal problemos sąlygą turi įvykti vienas iš reiškinių: AB' arba A'B. Naudodami formulę gauname: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Dabar buvo panaudota tikimybių daugybos formulė. Toliau, norėdami sužinoti atsakymą, turite pritaikyti jų sudėjimo lygtį:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Taip, naudodami formulę, galite išspręsti panašias problemas.
Rezultatas
Straipsnyje pateikta informacija tema „Tikimybių teorija“, kurioje lemiamą vaidmenį atlieka įvykio tikimybė. Žinoma, ne į viską buvo atsižvelgta, bet, remiantis pateiktu tekstu, teoriškai galima susipažinti su šia matematikos dalimi. Aptariamas mokslas gali būti naudingas ne tik profesiniame darbe, bet ir kasdieniame gyvenime. Su jo pagalba galite apskaičiuoti bet kokią bet kokio įvykio galimybę.
Tekste taip pat buvo paliestos reikšmingos tikimybių teorijos, kaip mokslo, formavimosi istorijos datos ir žmonių, kurių darbai buvo į ją investuoti, pavardės. Taip žmogaus smalsumas lėmė tai, kad žmonės išmoko skaičiuoti net atsitiktinius įvykius. Kadaise jie tuo tik domėjosi, o šiandien jau visi apie tai žino. Ir niekas nepasakys, kas mūsų laukia ateityje, kokių dar genialių atradimų, susijusių su nagrinėjama teorija, bus padaryta. Tačiau vienas dalykas aiškus – tyrimai nestovi vietoje!
