Matematika nėra nuobodus mokslas, kaip kartais atrodo. Jame yra daug įdomaus, nors kartais net nesuprantamo tiems, kurie nenori to suprasti. Šiandien kalbėsime apie vieną iš labiausiai paplitusių ir paprasčiausių matematikos temų, tiksliau, apie jos sritį, esančią ant algebros ir geometrijos slenksčio. Pakalbėkime apie tieses ir jų lygtis. Atrodytų, tai nuobodi mokyklinė tema, nežadanti nieko įdomaus ir naujo. Tačiau taip nėra, ir šiame straipsnyje mes stengsimės jums įrodyti savo požiūrį. Prieš pereidami prie įdomiausio ir aprašydami tiesės per du taškus lygtį, pažvelgsime į visų šių matavimų istoriją, o tada išsiaiškinsime, kodėl visa tai buvo būtina ir kodėl dabar šių formulių žinios nebus taip pat skauda.
Istorija
Net senovėje matematikai mėgo geometrines konstrukcijas ir visokius grafikus. Šiandien sunku pasakyti, kas pirmasis sugalvojo tiesės per du taškus lygtį. Tačiau galima daryti prielaidą, kad šis asmuo buvo Euklidas -senovės graikų mokslininkas ir filosofas. Būtent jis savo traktate „Pradžia“sukūrė būsimos Euklido geometrijos pagrindus. Dabar ši matematikos dalis laikoma geometrinio pasaulio vaizdavimo pagrindu ir mokoma mokykloje. Tačiau verta pasakyti, kad euklido geometrija mūsų trimatėje dimensijoje veikia tik makro lygmeniu. Jei atsižvelgsime į erdvę, tai ne visada įmanoma jos pagalba įsivaizduoti visus ten vykstančius reiškinius.
Po Euklido buvo kitų mokslininkų. Ir jie ištobulino ir suprato tai, ką jis atrado ir parašė. Galų gale pasirodė stabili geometrijos sritis, kurioje viskas vis dar nepajudinama. Ir jau tūkstančius metų buvo įrodyta, kad tiesės per du taškus lygtį sudaryti labai lengva ir paprasta. Tačiau prieš pradėdami aiškinti, kaip tai padaryti, aptarkime teoriją.
Teorija
Tiesioji linija yra begalinis abiem kryptimis atkarpa, kurią galima padalyti į begalinį bet kokio ilgio segmentų skaičių. Norint pavaizduoti tiesią liniją, dažniausiai naudojami grafikai. Be to, grafikai gali būti ir dvimatėse, ir trimatėse koordinačių sistemose. Ir statomi pagal jiems priklausančių taškų koordinates. Galų gale, jei pažvelgsime į tiesią liniją, pamatytume, kad ją sudaro begalinis taškų skaičius.
Tačiau yra kažkas, kur tiesi linija labai skiriasi nuo kitų tipų linijų. Tai jos lygtis. Apskritai, tai labai paprasta, priešingai nei, tarkime, apskritimo lygtis. Žinoma, kiekvienas iš mūsų tai išgyvenome mokykloje. Betnepaisant to, užrašykime jo bendrąją formą: y=kx+b. Kitame skyriuje mes išsamiai išanalizuosime, ką reiškia kiekviena iš šių raidžių ir kaip išspręsti šią paprastą tiesės, einančios per du taškus, lygtį.
Tiesių lygtis
Aukščiau pateikta lygybė yra tiesios linijos lygtis, kurios mums reikia. Verta paaiškinti, kas čia turima omenyje. Kaip galite atspėti, y ir x yra kiekvieno linijos taško koordinatės. Apskritai ši lygtis egzistuoja tik todėl, kad kiekvienas bet kurios tiesės taškas yra susijęs su kitais taškais, todėl egzistuoja dėsnis, susiejantis vieną koordinates su kita. Šis dėsnis nustato, kaip atrodo tiesės, einančios per du nurodytus taškus, lygtis.
Kodėl būtent du taškai? Visa tai yra todėl, kad mažiausias taškų skaičius, reikalingas tiesei dvimatėje erdvėje sukurti, yra du. Jei imsime trimatę erdvę, tai taškų, reikalingų vienai tiesei nutiesti, skaičius taip pat bus lygus dviem, nes trys taškai jau sudaro plokštumą.
Taip pat yra teorema, įrodanti, kad per bet kuriuos du taškus galima nubrėžti vieną tiesę. Šį faktą galima patikrinti praktiškai sujungus du atsitiktinius diagramos taškus liniuote.
Dabar pažvelkime į konkretų pavyzdį ir parodykime, kaip išspręsti šią liūdnai pagarsėjusią tiesės, einančios per du nurodytus taškus, lygtį.
Pavyzdys
Apsvarstykite du taškuskurios reikia tiesiajai linijai nutiesti. Nustatykime jų koordinates, pavyzdžiui, M1(2;1) ir M2(3;2). Kaip žinome iš mokyklos kurso, pirmoji koordinatė yra reikšmė išilgai OX ašies, o antroji yra reikšmė išilgai OY ašies. Aukščiau buvo pateikta tiesės per du taškus lygtis, o norėdami sužinoti trūkstamus parametrus k ir b, turime sudaryti dviejų lygčių sistemą. Tiesą sakant, ją sudarys dvi lygtys, kurių kiekvienoje bus dvi mūsų nežinomos konstantos:
1=2k+b
2=3k+b
Dabar belieka svarbiausia: išspręsti šią sistemą. Tai daroma gana paprastai. Pirmiausia išreikškime b iš pirmosios lygties: b=1-2k. Dabar gautą lygybę turime pakeisti antrąja lygtimi. Tai daroma pakeičiant b lygybe, kurią gavome:
2=3k+1-2k
1=k;
Dabar, kai žinome, kokia yra koeficiento k reikšmė, laikas išsiaiškinti kitos konstantos reikšmę - b. Tai daroma dar lengviau. Kadangi žinome b priklausomybę nuo k, pastarosios reikšmę galime pakeisti pirmąja lygtimi ir sužinoti nežinomą reikšmę:
b=1-21=-1.
Žinodami abu koeficientus, dabar galime pakeisti juos į pradinę bendrąją tiesės per du taškus lygtį. Taigi, mūsų pavyzdyje gauname tokią lygtį: y=x-1. Tai yra norima lygybė, kurią turėjome gauti.
Prieš pereidami prie išvados, aptarkime šios matematikos dalies taikymą kasdieniame gyvenime.
Programa
Tiesiosios linijos, einančios per du taškus, lygtis netinka. Bet tai nereiškia, kad mums to nereikia. Fizikoje ir matematikojetiesių lygtys ir iš jų išplaukiančios savybės yra labai aktyviai naudojamos. Galbūt net nepastebėsite, bet matematika yra visur aplink mus. Ir net tokios iš pažiūros neįspūdingos temos kaip tiesės per du taškus lygtis pasirodo labai naudingos ir labai dažnai pritaikomos esminiu lygmeniu. Jei iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai niekur negali būti naudinga, tada klystate. Matematika lavina loginį mąstymą, kuris niekada nebus nereikalingas.
Išvada
Dabar, kai išsiaiškinome, kaip nubrėžti linijas iš dviejų nurodytų taškų, mums lengva atsakyti į visus su tuo susijusius klausimus. Pavyzdžiui, jei mokytojas jums pasakys: „Parašykite tiesės, einančios per du taškus, lygtį“, jums nebus sunku tai padaryti. Tikimės, kad šis straipsnis jums buvo naudingas.
